Formules relatives au mouvement uniformément accéléré

Lorsque, dan» le mouvement que nous considérons, on se donne la vitesse ee f acquise au bout d'un temps quelconque Oe, par exemple au bout d'une seconde prise pour unité de temps, la loi du mouvement, ou la droite Oh' qui la représente, est entièrement déterminée ; c'est-à-dire qu'on peut la construire. On doit donc aussi pouvoir construire et calculer alors la vitesse et l'espace qui répondent à un autre temps quelconque.

En effet, représentons par e,, t>, le chemin et la vitesse qui répondent à la première seconde ; soient E , V le chemin et la vitesse qui répondent à un nombre quelconque de secondes, représenté par T, et qui seraient censées écoulées depuis l'origine du mouvement ; on aura d'abord, en vertu de la première des propositions ci-dessus,

puis , en vertu de la deuxième ,

e t : e :: i" x r : X xtouT-

d'où Ton tire

puis enfin , en vertu de la troisième ,

e t ou?v t : E :: f?, 2 : V 2 ; d'où V 2 == 2 v, X E.

Nous avons d'ailleurs, en vertu même de la définition du mouvement uniformément accéléré (107),

». : y :: î" : t ; d , oùV = t ?1 xT.

Ces différentes formules serviront à calculer la valeur de deux quelconques des quantités E , V, T quand on connaîtra celle de la troisième, ainsi que le chemin e, ou la vitesse v x qui correspondent à l'unité de temps 1"; il ne s'agira que de remplacer chaque lettre par le nombre d'unités de temps ou de longueur qu'elle représente, ei d'effectuer les opérations indiquées *.

* Là relafra E«7»i X T% et U relation V" «* %v X E qui indiqua que la vitesse V es? moyenne proportionnelle entre avi et E, ou entre le double du chemin décrit dont la première seconde et celui qui est décrit au bout du temps T, présentent seules quelques difficultés pour le calcul de T et de V; mais on peut parvenir au résultat par le

1 1 1 • Cas ou le corps part avec une vitesse déjà acquise. Dans ce qui précède, nous avons suppose que le corps partait du repos ou avec une vitesse nulle, de sorte que la droite Oh', qui donne la lot de son mouvement, passait par l'origine des temps; mais, s'il avait déjà une vitesse acquise antérieurement , cette droite passerait par le point (y (pi. I , fig. 28), extrémité de l'ordonnée 00' qui représente cette vitesse du départ. En menant la parallèle O'B' à OB, on verra que la vitesse ce', qui répond à un temps quelconque Oc, écoulé depuis l'origine du mouvement , se composera de la vitesse cc" f égale à la vitesse initiale 00", augmentée de la vitesse cV', que le corps acquerrait, sous l'action de la force motrice constante et au bout du temps correspondant Oc ou O'c", si le corps partait réellement avec une vitesse nulle, comme dans le cas précédent ; car la droite O'cT donne, dans ce cas, par rapport à O'B', prise pour axe des temps, la loi de l'accélération de la vitesse. Connaissant donc la vitesse que la force imprimerait au corps au bout de la première seconde, s'il partait du repos, on aura tout ce qu'il faut pour construire Od' par rapport à O'B', et par conséquent par rapport à Od; d'où il sera aisé de déduire toutes les circonstances du mouvement, et de les calculer même au moyen des propriétés géométriques de la figure, si Ton se rappelle les diverses notions déjà établies précédemment.

Qu'il s'agisse, par exemple, de calculer le chemin décrit par le corps au bout du temps Od , lequel est ici représenté par l'aire du trapèze Octô'O'; on apercevra, de suite, qu'il se compose du chemin 00 f d f, d, qui, pendant ce temps, serait décrit uniformément 9 en vertu de la vitesse initiale 00', augmenté de celui O'd'd", qui dans le même temps, serait décrit , sous l'action de la force motrice constante et d'un mouvement uniformément accéléré, si le corps partait du repos au lieu de partir avec une vitesse déjà acquise. Or, nous avons appris ci-dessus à calculer l'un et l'autre de ces chemins.

112. Du mouvement uniformément retardé* Si nous supposons maintenant que la force motrice constante, au lieu d'augmenter sans cesse et par degrés égaux la vitesse initiale 00' (fig. 29), la diminue au contraire à chaque instant , le mouvement sera alors uniformément retardé. En menant la parallèle O'B' à OB, on verra que la vitesse ce, qui répond à un temps quelconque Oc, écoulé depuis l'origine du mouvement , n'est autre chose que la vitesse

primitive 00' diminuée de la vitesse c'c" que le corps acquerrait , sous l'action de la force motrice, au bout du temps Oc, si ce corps partait du repos.

L'aire du trapèze OO'c'c étant encore ici la représentation du chemin décrit au bout du temps Oc, en vertu du mouvement retardé, on voit que ce chemin est égal à celui OOV'c qui serait décrit uniformément, pendant ce même temps, et avec la vitesse primitive 00', moins celui & c'c", qui, dans ce même temps, serait décrit, sous V action de la force motrice constante et d'un mouvement uniformément accéléré, si le corps partait du repos au lieu de posséder une vitesse déjà acquise. On pourrait donc encore calculer, dans le cas actuel et au moyen de la figure, toutes les circonstances du mouvement, si* seulement on connaissait la vitesse initiale 00', ainsi que la diminution de vitesse c'c", due à la force retardatrice, au bout d'un temps quelconque Oc, ou , si Ton veut , à la fin de la première seconde de temps écoulé.

Supposons , entre autres , qu'on veuille trouver le temps Oe' au bout duquel la force motrice aura éteint entièrement la vitesse du corps ; on aura , par les triangles semblables OVc" et OO'e, la proportion

00' X *" 00' " ~Vc'

de" : 0'c"ouOc = l" ;: OO' : Oe; d'oùOe=; -jp— — ^,.

Quant au chemin total décrit par le corps, depuis l'instant où la force retardatrice a commencé son action jusqu'à celui où la vitesse est devenue nulle, il sera donné par la surface du triangle OO'e, ou par le produit

iOO'XOe = iOO'X

Une remarque très-importante à faire, c'est que, si l'on .suppose que la force motrice constante, après avoir anéanti complètement la vitesse initiale du corps, continue à agir en lui imprimant à chaque instant des degrés de vitesse égaux à ceux qu'elle avait détruits d'abord , le corps retournera dès lors en arrière, en reprenant les mêmes vitesses quand il repassera par les mêmes positions. C'est ce qu'indique la ligne O'e, en supposant que les temps soient comptés à partir de e vers 0, c'est-à-dire de l'instant où le mouvement du corps est éteint; car la force motrice, qui est devenue accélératrice,

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aura imprimé, en sens contraire, la vitesse dd! au bout du temps ed $ la vitesse ce' au bout du temps ec, etc.