EXERCICES ET DÉVELOPPEMENTS DIVERS

QUE8TI0NS CONCERNANT L'iNERTIE ET LA FORCE VIVE.

146. Travail nécessaire pour vaincre l'inertie d'une voiture* Considérons une voiture de roui ier' cheminant sur une route horizontale; supposons qu'elle pèse, en tout, 10000 kil. 9 et qu'elle doive être mise en mouvement, par des chevaux, avec une vitesse moyenne (40) de l m par seconde ; la consommation de travail pour vaincre, dans les premiers instants, son inertie indépendamment des autres résis-

tances, sera (186) £ MV» = £ - V a = 7^?rr X 1 M X l m « MO**,

g y,oA

puisque nous ayons P = 10000 k , V = l m , gr == 9 m ,81 environ.

Or on sait , par expérience , qu'un bon cheval de roulier, marchant régulièrement huit heures par jour, en 2 relais et avec la vitesse du pas ordinaire qui est d'environ l m par seconde, développe moyennement (81), un travail d'au moins 70*"* dans chacune de ces secondes. Si donc il y ep avait huit , de cette force, attelés à la voiture, ils donneraient au moins 560^ dans le même temps; de sorte que le travail que devraient dépenser les chevaux, pour mettre cette voiture en mouvement dans les premiers instants , ne serait pas même égal à celui qu'ils peuvent développer, d'une manière soutenue et par seconde, quand la voiture chemine régulièrement; d'où l'on voit le peu d'influence exercée alors par l'inertie propre d'une aussi grande masse.

Si la voiture devait aller avec la vitesse du trot 9 qui est de 2 m environ par seconde , alors le travail absorbé par l'inertie serait 510 X 2 X 2 = 2040 km , c'est-à-dire quadruple 5 si elle devait aller au galop ordinaire de 4 m par seconde, la consommation de

travail serait 810 X * X * = 8160 Wm , c'est-à-dire 16 fois celle qui répond à la vitesse de 1".

On voit , par là , que le travail nécessaire pour vaincre l'inertie dans les premiers instants, augmente très-rapidement avec la vitesse imprimée à la voiture ; ce qui tient à ce que la force vive croît ellemême comme le carré de cette vitesse.

147. Temps nécessaire pour imprimer le mouvement à la voiture. Il est essentiel de remarquer qu'on ne peut rien inférer, de ce qui précède, relativement à la durée du temps qu'emploient les chevaux pour mettre effectivement la voiture en mouvement à partir du repos. Car, d'un côté, nous avons fait abstraction de la résistance du terrain et des divers frottements, et , de l'autre, il peut bien arriver que la voiture acquière, au bout de la première seconde et «ous l'effort réuni des huit chevaux, une vitesse qui soit plus petite ou plus grande, par exemple, que celle de l m considérée dans le premier des cas ci-dessus : cela dépend principalement de l'intensié absolue de cet effort (129 et suiv.) dans chaque instant infiniment petit. ♦

Pour mettre la chose dans tout son jour, nous supposerons que l'effort des huit chevaux soit seulement de 560 kil. , c'est-à-dire égal à celui qui répond à l'allure du pas ordinaire, et qu'au lieu de varier, comme cela arrive effectivement au moment du départ , il demeure constamment le même ; on trouvera facilement , d'après la formule

F «p V, = — = £l- des n oa 132 et 184, la valeur de la vitesse qui serait

transmise, par cet effort, au bout de la première seconde de temps

P 10000 kiI écoulé. Car nous avons ici, F = 560 kil , M = - = V* o T = 1020

F environ; et la vitesse cherchée V, = — = m ,M9 : cette vitesse

est loin d'égaler un mètre ; mais aussi le chemin décrit et le travail développé, par les chevaux , pendant la première seconde de temps, sont bien moindres que l m et 560 km . En effet, nous savons que le chemin, décrit au bout de la première seconde sous l'action d'une force constante (110), est égal à la moitié de la vitesse acquise à la fin de cette seconde; c'est-à-dire qu'il est ici j m ,549 = m ,275,

de sorte que let chevaux n'ont réellement développé, dans la supposition ci-dessus, qu'une quantité de travail de 560 k X m ,278= 154 km , sous l'effort des 560 kil., censé constant.

Pour développer réellement, dans la première seconde, la quantité de travail qui répond à la vitesse de l m acquise par la voiture, il faudrait que les chevaux exerçassent , à partir du repos, un effort constant qu'on trouvera au moyen de la relation F = MV, ; car ici V, doit être égal à l m , et par conséquent F = MV, = 1020 kil.; ce qui donne, pour chaque cheval, j 1020 = 127 k ,5. Or on sait , par expérience, que l'effort d'un cheval ordinaire, contre un obstacle qui cède peu au mouvement , peut être beaucoup plus grand et surpasser même 350 kil. ; d'où il résulte qu'en réalité, nos huit chevaux mettraient beaucoup moins d'une seconde de temps à imprimer la vitesse d'un mètre à la voiture , s'ils n'avaient pas à vaincre , en outre de l'inertie, la résistance du terrain , des essieux , etc.

148. Observation générale sur le travail des moteurs. Ce que nous venons de dire du travail des chevaux , dans les premiers instants du mouvement de la voiture, s'applique, comme on le verra plus tard , généralement à tous les moteurs : l'effort qu'ils exercent sur les corps est d'autant plus grand que leur vitesse est moindre, et il diminue, d'une manière plus ou moins sensible, à mesure que la rapidité du mouvement augmente , jusqu'à devenir tout à fait nul quand enfin la vitesse égale la plus grande vitesse que ces moteurs peuvent s'imprimer ou acquérir par le développement libre et complet de toute leur activité. C'est ainsi , par exemple, qu'un homme, un cheval qui courraient ou se mouvraient, d'une manière quelconque, avec toute la vitesse qu'ils peuvent prendre, ne seraient susceptibles (86 et suiv.) d'aucun effort extérieur un peu soutenu.

On peut donc déjà prévoir que, pour toute espèce de moteur, il existe un degré de vitesse qui est le plus avantageux possible sous le rapport du travail produit , puisque ce travail devient sensiblement nul (90) dans les deux cas extrêmes dont il s'agit. Mais c'est ce "qui sera démontré plus clairement, par la suite, quand nous en viendrons à examiner les conditions du maximum d'effet , relatives à chacun des moteurs en usage dans l'industrie manufacturière.

149. Exemples relatifs à la force vive des fardeaux et des eaux courantes des rivières. Supposons qu'un moteur soit employé à élever,

■ÉCAN. INDUSTR. T. I. 8

à une certaine hauteur verticale, un poids de 5000 kih, toit directement, soit par l'intermédiaire d'une machine quelconque, et que la vitesse du mouvement, à l'instant où elle est la plus grande (1-48)* soit de m ,S par seconde, ce qui est déjà une vitesse considérable pour un si lourd fardeau ) le travail consommé par l'inertie, avant l'instant où ce degré de vitesse est acquis, aura pour Talent

£- V =* t jrjrr X 0,09 = 3» km environ. Si le moteur devait g y,ol

élever seulement le fardeau à l m de hauteur, il dépenserait 5000 k X l m = 5000 km , c'est-à-dire, au moins 210 fois le travail qui est nécessaire pour vaincre l'inertie dans les premiers moments ; encore arriverait-il que cette inertie restituerait (14$), dans le ralentissement du fardeau vers le haut de sa course, le travail qu'elle avait primitivement absorbé.

Considérons encore le mouvement des eaux d'une rivière, telle que la Moselle* par exemple : on sait qu'à Metz, en particulier, elle fournit , même dans les grandes sécheresses , au moins 10 mètres Gubes d'eau par chaque seconde , dont le poids (34) est environ 10000 kiL Or cette eau coule naturellement , soit au-dessous, soit au-dessus de la ville et dans les endroits où il n'existe pas de barrages ni d'obstacles, avec une vitesse qu'on a mesurée et qui est moyennement de m ,80 par seconde ; donc la force vive du volume de fluide qui passe par chacun de ces endroits , dans une seconde

de temps, est ^^ X m ,8 X m ,8 = 682^ environ ; oe qui

répond à une quantité de travail disponible (126 et suiv.) égale à i 6ôâ == 326 km , c'est-à-dire (8â), d'environ 4 j. chevaux-vapeur, et qu'on pourrait utiliser directement contre une roue de moulin, etc. Mais si 9 au lieu de se servir de la vitesse possédée par l'eau dans son lit naturel* on construit des barrages ou digues, comme un l'a fait à Metz, on pourra élever son niveau et l'obliger à descendre, du haut de ces barrages, pour opérer sur les machines par son poids ou de toute autre manière : si , par exemple, le barrage fait élever ce niveau de 2 m ,5 seulement, comme cela a effectivement lieu dans certaines parties de la ville, la quantité de travail disponible, ré- ]K>ndant aux mêmes 10 mo d'eau et qu'ils pourraient fournir, dans chaque seconde, par leur descente de la hauteur de 2 m , 5, sera égale

a 10000* X â ra ,B = 2B000 km = 833 j chevaux-vapeur; quantité qui est, comme on voit, presque 77 fois plus grande que celle qu'on obtiendrait en utilisant simplement la force vive naturelle des eaux de la rivière. Or cela explique suffisamment l'utilité des barrages artificiels dans la pratique des usines hydrauliques.

150. Exemples relatifs à Vart de lancer Veau à distance. Nous venons de montrer comment le mouvement acquis d'une certaine masse d'eau , qui coule et se renouvelle constamment dans chaque seconde, représente une quantité de travail mécanique qu'on peut immédiatement calculer en chevaux de machines à vapeur; recherchons, à Tin verse, combien il faudrait de ces chevaux pour imprimer continuellement une vitesse donnée à un certain volume d'eau qui devrait être extrait d'un bassin ou réservoir quelconque où le liquide est en repos. Ce problème trouve son application particulière dans le jeu des pompes à incendie, où il s'agit de lancer, sur des parties embrasées d'un édifice et d'une certaine distance, un volume d'eau qui suffise pour éteindre le feu, et dont la vitesse de projection doit ainsi être d'autant plus grande que le trou ou Vorifice par lequel sort l'eau, se trouve à une distance plus considérable du but qu'on veut atteindre. Supposons, par exemple, qu'il faille lancer cette eau, par l'orifice, avec une vitesse uniforme de 15 m par seconde, et qu'il doive en arriver continuellement , sur le lieu de l'incendie et dans chaque seconde de temps, un volume de 6 litres pesant 6 kil. ; la force vive à imprimer, dans ce même temps , sera donc égale à

? y^ 18 ) 1 = 137,6 environ, dont la moitié 68^,80 mesurera la

quantité de travail nécessaire pour imprimer le mouvement à l'eau* Ce travail devant se reproduire dans chaque seconde, nécessitera , comme on voit, la force de | 0,688 = 1,03 de cheval-vapeur environ : mais il est clair qu'il faudrait en appliquer davantage au balancier de la pompe, attendu les frottements et résistances de toute espèce, qui consommeraient, en pure perte (103), une portion notable du travail-moteur.

S'il s'agissait de lancer continuellement, ou dans chaque seconde, $n volume d'eau de 40 litres avec la vitesse de 30 m , on trouverait * par les mêmes calculs , que le travail strictement nécessaire a dépenser serait de 1835 km par seconde; ce qui équivaut à une force

de 24 et £ chevaux-Tapeur environ. On peut croire que, par l'intermédiaire d'une machine à pistons, analogue aux pompes à incendie, le moteur devrait développer le travail d'au moins SO de ces chevaux ; c'est-à-dire, qu'il faudrait employer une machine à vapeur de cette force, au moins, pour mettre la pompe en mouvement et produire l'effet désiré.

On remarquera que la vitesse de l'eau , à sa sortie de l'orifice, et le volume qui s'en écoule uniformément dans chaque seconde de temps, étant donnés, les dimensions de cet orifice et la grosseur du jet à sa sortie, ne sont pas arbitraires, et doivent être calculées suivant les règles de l'hydraulique qui seront enseignées dans la seconde année de ce Cours. On tronve, par exemple, que, si l'orifice est percé dans une paroi plane et mince du réservoir, et qu'il soit à une distance convenable des parois latérales, son diamètre devra être d'environ 28 millim. dans le premier cas, et de 52 raillira. dans le second*

151. Observations particulières sur les jets verticaux et inclinés. Au

V" moyen de la formule V» = 2grH du n° 118, qui donne H =— ,

on trouvera sans peine, qu'avec la vitesse de 15 mètres, relative au premier cas, l'eau pourrait s'élever verticalement à la hauteur de 1 l m ,47, qui est celle des étages supérieurs des maisons ordinaires, dans ce pays; et qu'avec la vitesse de 30 m qui répond au second cas, elle s'élèverait à une hauteur de 48 m ,88 ; mais, à cause de la résistance de l'air, le jet atteindrait véritablement des hauteurs un peu moindres. Il faudrait recourir à d'autres principes, que nous exposerons par la suite, pour calculer la distance et la hauteur auxquelles le jet parviendrait dans le cas où on lancerait l'eau sous une certaine inclinaison ; néanmoins, comme il conviendrait peu alors de revenir sur les applications particulières qui font le sujet de cet article, et que non-seulement ces applications sont utiles pour apprécier les effets des pompes à incendie , mais qu'elles ont trait encore à des questions d'une haute importance pour la défense des places de guerre, nous ajouterons, en faveur des lecteurs qui voudraient approfondir de telles questions, quelques remarques qui ne seront peut-être pas sans utilité.

Nous avons vu (118), qu'il est impossible qu'une nappe d'eau

retombe, même d'une hauteur médiocre, sans se diviser en parties plus ou moins fines ; or c'est un effet qu'on doit chercher à éviter quand on se propose de concentrer l'eau en masse sur un point déterminé. Car, non-seulement la divergence naturelle du, mouvement des parties ainsi désunies augmentera avec le chemin parcouru dans la descente, de sorte que l'effet sera disséminé sur une grande surface ; non-seulement la résistance de l'air aura alors (116) plus d'action pour retarder le mouvement et diminuer le chemin décrit; mais encore cet air absorbera ou s'appropriera , en vertu d'une de ses propriétés physiques bien connues, une portion beaucoup plus grande de la masse de l'eau ; de sorte que, si le trajet doit être tant soit peu long, il pourra, dans certains cas, arriver que rien n'atteigne le but* Ces considérations prouvent donc qu'il est indispensable de 'diriger l'eau sous un angle tel que le sommet de la courbe qu'elfe suit dans son mouvement s'élève très-peu au-dessus du point qu'on veut atteindre : la résistance de t'air ayant nécessairement peu de prise sur la portion ascendante du jet , on pourra la négliger, et calculer toutes les circonstances du mouvement, comme s'il avait lieu dans le vide, d'après les méthodes connues et que nous exposerons en lenr lieu.

Dans le cas ci-dessus, par exemple, où la vitesse de l'eau, à sonpoint de départ , est seulement de 80 m , on trouve que, la hauteur du but au-dessus de ce point étant de 15 mètres, la distance horizontale parcourue ou la portée atteindrait à peine 30 à 32 mètres; et que, si le but se trouvait de très-peu élevé au-dessus du point de départ , sa distance à ce point ne devrait pas surpasser de beau* coup 85 m , sans quoi la dispersion du fluide deviendrait considérable. Pour obtenir des portées plus grandes, doubles par exemple, il faudrait d'ailleurs augmenter la vitesse de projection de façon qu'elle fût de 42 mètres au lieu de 30 ; ou trouverait alors que la force de la machine propre à lancer, dans chaque seconde, les 40 litres d'eau à cette distance, devrait être d'au moins 60 chevaux- vapeur; de sorte que, si on ne pouvait réellement disposer que de la moitié de cette force, il faudrait aussi se résoudre à ne lancer qu'un volume d'eau de 20 litres par seconde.

152. Réflexions sur l'influence de l'inertie. Les exemples qui précèdent donnent une idée de l'influence qu'exerce l'inertie des corps dans certains travaux industriels, et des cas où il est permis de la

négliger ainsi <jue les variations de la force vive : on voit bien, par exemple, que, dans le mouvement lent des corps, le travail que représente cette force vive, a, presque toujours, une valeur très-faible même pour des masses considérables ; ce qui tient , ainsi que nous l'avons déjà dit, à ce que ce travail croit ou décroit comme le carré de la vitesse.

En général, lorsqu'un moteur est employé à faire mouvoir, pendant un certain temps , des corps ou machines quelconques pour produire du travail mécanique, ou pour vaincre des résistances autres que l'inertie propre de ces corps, on peut, sans inconvénient, ne pas tenir compte de cette inertie, toutes les fois que le mouvement sera constamment uniforme pendant la durée du travail , ou qu'il ne variera qu'entre des limites plus ou moins resserrées ; car, dans l'un et dans l'autre cas , la dépense de travail , pour vaincre l'inertie, se réduira (141 et suiv.), une fois pour toutes, à celle qui répond à la différence des forces vives possédées par les corps au commencement et à la fin de l'action du moteur ; différence qui sera nulle toutes les fois que ce moteur prendra ou laissera les corps dans le même état de mouvement, et qui sera généralement une fraction très-faible du travail total, quand le mouvement sera longtemps continué.

N'oublions pas néanmoins que cela suppose expressément que les pièces , qui agissent les unes sur les autres pour communiquer le travail du moteur aux résistances, n'éprouvent point d'altérations intérieures ou moléculaires sensibles pendant le mouvement (108), et surtout qu'il n'y ait pas de chocs plus ou moins violents, plus ou moins répétés qui, presque toujours, entraînent de pareilles altérations (139).

Gomme jusqu'ici nous n'avons parlé do la communication du mouvement par le choc que d'une manière générale, il convient de nous y arrêter quelques instants, et de montrer comment on peut, dans plusieurs des cas de la pratique, estimer, d'une manière suffisamment exacte, la perte de force vive qui en résulte et les circonstances particulières qui l'accompagnent.