M* = MV

c'est-à-dire que les quantités de mouvement, perdues ou gagnées par les deux corps, seront égales entre elles pour chaque instant infiniment petit du choc : et la même égalité aura lieu aussi entre les quantités de mouvement totales imprimées, à chaque corps, entre deux instants quelconques de leur réaction mutuelle, c'est-à-dire entre les quantités de mouvement totales , soit perdues , soit gagnées par chaque corps en particulier.

185. Du choc des corps pendant la compression» Nous supposerons ici que le corps (A') était au repos à l'instant où l'autre (A) est venu le rencontrer avec une vitesse finie et précédemment acquise, que nous nommerons V ; ces corps se comprimeront donc réciproquement en vertu de l'inertie de (A') qui tend à s'opposer au mouvement de (A), et, dès lors, la force de pression F agira pour diminuer, à chaque instant, la quantité de mouvement MV du premier corps, de quantités qui seront égales à celles qu'elle fera naître dans l'autre. Les choses continuant ainsi tant que (A) conservera , dans le sens de L vers N , une vitesse supérieure à (A'), on voit bien qu'il arrivera un instant où, la compression, la déformation des corps étant au maximum, ces corps auront acquis la même vitesse et marcheront, en quelque sorte, de compagnie, du moins pendant un très-petit instant.

136. Vitesse des corps au moment de leur plus grande compression. Nommons U la vitesse commune dont il s'agit, la quantité de mouvement gagnée ou acquise par (A') sera , au même instant, M'U, et celle qui a été perdue par (A) sera MV — MU, laquelle, d'après ce qui précède, devra être égale à la première M'U. La quantité de mouvement totale MY, primitivement possédée par le système des corps, se trouvant donc être augmentée, d'une part, et diminuée, de l'autre, de quantités égales, celle MU + M'U = (M -f- M') U

qui leur reste à l'instant dont il s'agit, sera aussi égale à la quantité de mouvement primitive MV ; de sorte qu'on aura

- (M + M')U=MV; d'oùUs™».

Ainsi, sans connaître la manière dont les corps se compriment et dont varie l'intensité de F à chaque instant du choc , on n'en peut pas moins calculer la vitesse qui a lien à l'instant de lapins grande compression : cette vitesse est égale à la quantité de mouvement possédée par (A) avant le choc, divisée parla somme des masses des deux corps*

157. Du choc pendant le retour des corps vers- leur forme primitive, La plupart des corps tendant à revenir (19 et 97), avec une énergie plus ou moins grande, vers leur forme primitive, quand ils ont été comprimés à un certain degré, on voit que les ressorts moléculaires vont, en se débandant, forcer (A) et (A') à réagir de nouveau l'un sur l'autre, mais pour s'écarter mutuellement , ce qui tend nécessairement à augmenter le mouvement déjà acquis de (A'), et à diminuer au contraire, de plus en plus, celui de (A) ; et, comme l'action est toujours égale à la réaction , il est clair, d'après ce qui précède (154) que les quantités de mouvement gagnées par (A') seront sans cesse égales à celles qui sont perdues par (A). Les choses continuant ainsi tant que la force de réaction F n'est pas nulle, on voit bien qu'il pourra arriver un instant où la quantité de mouvement MV , primitivement possédée par (A), soit entièrement détruite, après quoi la force F, qui continue à repousser ce corps , lui imprimera, en sens contraire, un mouvement de plus en plus rapide, et qui ne cessera d'augmenter que quand F sera nulle ; ce qui arrivera nécessairement à l'instant où les deux corps, ayant pris une

* forme telle qu'ils puissent la conserver naturellement sans qu'aucune force extérieure leur soit appliquée, se sépareront, l'un de l'autre, en vertu de leurs vitesses respectivement acquises.

158. Du mouvement des corps après le choc. 11 est clair, d'après ce qui précède, que ce mouvement ne peut , en général , se calculer, puisque nous ne connaissons pas non plus, en général , la loi que suivent les forces de compression F pendant la réaction des corps. Cependant le calcul est possible dans deux circonstances principales qui servent comme de limites à toutes les autres, et qui répondent,

nt MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

Tune, au cas où les corps seraient entièrement privés d'élasticité, l'autre, au cas où, au contraire, ils seraient parfaitement élastiques.

Premier cas, des corps non élastiques. Nous avons vu (17) qu'il n'existe réellement pas de corps qui soient entièrement privés d'élasticité, ou qui ne tendent, jusqu'à un certain point, à retourner vers leur forme primitive, quand ils ont été comprimés. Toutefois on doit remarquer que, non-seulement les corps mous, les liquides, etc., sont extrêmement peu élastiques quand ils ne sont pas maintenus, dans tous les sens, par des enveloppes solides ; mais qu'aussi la plupart des corps, qu'on regarde comme plus ou moins élastiques, peuvent perdre entièrement (20) cette élasticité par suite de la grande compression, de la grande déformation qu'ils éprouvent pendant le choc; or, pourvu qu'ils ne se divisent, ne se rompent, ou ne se séparent pas à l'instant de la plus grande compression, ils continueront à cheminer ensemble, en vertu de leur vitesse acquise, sans réagir désormais l'un sur l'autre ; do sorte que cette vitesse sera donnée, par la formule ci-dessus, toutes les fois que l'un des corps se trouvera au repos à l'instant où le choc arrive.

Deuxième cas, des corps parfaitement élastiques. Toutes les fois que les corps seront suffisamment élastiques pour revenir exactement à leur forme primitive, après l'instant de la plus grande compression, la force de réaction F reprenant , dans le débandement des corps, les mêmes valeurs (97) pour les mêmes positions relatives de ces corps, il est clair que les vitesses imprimées ou détruites seront précisément égales à celles qui l'ont* été pendant la compression, si, comme on le suppose ordinairement, les corps se séparent à l'instant même où ils ont repris leur forme primitive. Or de là résulte un moyen de calculer, à l'avance, la vitesse des deux corps après le choc.

Pour le cas qui nous occupe, par exemple, la vitesse perdue par le corps (A) à l'instant de la plus grande compression, étant (156)

Y — U, il perdra de nouveau (157), dans le débandement, une vitesse égale à Y — U, et par conséquent la vitesse qu'il conservera, après le choc, sera U — (V — U), ou âU — V, si V — U est moindre que U, ce qui indique que (A) continue à marcher dans le même sens après le choc, ou (V — U) — U = V — SU, si

V — U surpasse U, ce qui indique que (A) retourne en arrière après le choc. Quant au corps (A'), la force F lui a d'abord communiqué (156) la vitesse U ; elle lui imprimera donc, après l'instant

de la plus grande compression, un nouveau degré de vitesse égal à U, c'est-à-dire que sa vitesse, après le choc, sera 2U. Mais nous savons calculer (166) la vitesse U ; donc nous saurons aussi calculer celle des corps parfaitement élastiques au moment où ils se séparent ' après le choc.

Nommant W et W respectivement, ces vitesses des corps (A) et (A'), on aura, selon les cas spécifiés,

MV

169. Remarqués relatives à l'application des formules. Il est une infinité de circonstances où les corps marchent forcément de compagnie, avec la marne vitesse, après le choc, sans que, pour cela, ces corps aient été entièrement privés d'élasticité avant le choc, ou qu'ils la perdent complètement par l'effet de ce choc : c'est ce qui arrive, par exemple, quand une balle d'argile ou de cire molle, lancée contre un corps résistant et élastique, demeure collée après ce corps, ou quand une balle dure et élastique, lancée contre un bloc de bois suspendu librement au bout d'une corde ou d'une barre, demeure enfoncée dans l'intérieur de ce bloc. Or il est bon de remarquer que les conséquences qui précèdent, relatives au cas des corps totalement privés d'élasticité, demeurent alors exacte* ment applicables, parce qu'elles ne supposent uniquement que l'égalité de la vitesse U conservée, par ces corps, à la fin du choc. Quelle que soit en effet la cause ou la force qui oblige ces corps à demeurer réunis, comme cette force ne peut agir sur l'un d'eux, sans qu'une force égale et directement contraire agisse au même point et en même temps sur l'autre (64), on conçoit que, pendant toute la durée du choc, les quantités de mouvement perdues ou acquises par chaque corps, seront les mêmes pour tous deux ; de sorte que finalement (A') aura encore gagné précisément ce que (A) aura perdu (156).

Quant au cas où les corps se séparent après le choc, on ne peut jamais affirmer que les choses se passent comme le supposent les calculs ci-dessus, même pour des corps qui seraient parfaitement élastiques et qui reprendraient exactement leur forme primitive après ce choc; car il peut bien arriver, par exemple, que, pendant le débandement dea ressorts, les corps soient retenus momentané-

ment, l'un contre l'autre, par leur adhérence réciproque ou par toute autre force qui empêcherait que les quantités de mouvement, imprimées alors, soient aussi grandes que celles qui l'ont été en premier lieu. Enfin il peut aussi arriver que les corps aient subi, dans leur intérieur, des altérations moléculaires plus ou moins sensibles, sans qu'aucune trace ne s'en manifeste quant à leur forme extérieure, etc.

Ces considérations, jointes à ce qu'il n'existe, en réalité (17 et suiv.), qu'un très-petit nombre de corps qu'on puisse regarder comme parfaitement élastiques, expliquent pourquoi généralement les valeurs de la vitesse, à la fin du choc des corps solides, diffèrent toujours plus ou moins de celles que donnent les calculs, et se rapprochent plus ou moins de celles qui sont relatives au cas où les corps sont entièrement privés d'élasticité. Cependant il est des corps élastiques, telles que les billes de verre, d'ivoire, etc., qui, dans certaines circonstances de leurs chocs, présentent des phénomènes et acquièrent des vitesses qui s'accordent, à peu de chose près, avec ce qu'indiquent les calculs.

160. Exemples particuliers. Faisons maintenant connaître quelques-unes des conséquences de nos formules. Supposons, par exempie, que la masse M' du corps choqué (A'), fi g. 35, soit très-petite par rapport à celle M du corps choquant (A) ; la valeur de U sera

MV sensiblement égale à -rr- = V, c'est-à-dire que la vitesse de M

* sera très-peu altérée à l'instant de la plus grande compression ; et, comme, dans le cas des corps parfaitement élastiques (158), on a W = 2U — V, W == 2U, on voit qu'à la fin du choc, elle ne le sera pas davantage, mais que le petit corps s'éloignera de l'autre avec une vitesse W double. Supposons, au contraire, que la masse M du corps choquant soit très-petite par rapport à celle M/ du corps' choqué ; on voit que le dénominateur M -f- M' de U sera aussi trèsgrand par rapport au facteur M de son numérateur, et que par conséquent la vitesse U, à l'instant de la plus grande compression, sera également une très-petite fraction de la vitesse Y que possédait le corps choquant ; de sorte que, si M' est, pour ainsi dire, infiniment grand par rapport à M, la vitesse U pourra être considérée comme sensiblement nulle. Si donc les deux corps étaient doués d'une élas-

ticité parfaite, la vitesse W, acquise par le corps choqué, serait elle-même infiniment petite, tandis que celle W = V — 2U du corps choquant serait Y ; c'est-à-dire précisément égale et contraire à celle qu'il possédait avant le choc.

Ceci explique, entre autres, pourquoi les cordonniers placent, sur leurs genoux, une forte pierre pour recevoir les coups du marteau dont ils frappent les semelles de souliers, et comment il est possible de forger du fer sur une forte enclume posée sur le corps d'un homme ou sur le plancher flexible d'un étage supérieur, sans blesser cet homme, sans endommager sensiblement ce plancher et les murailles de la maison. On voit, en effet, que la vitesse communiquée à la pierre ou à l'enclume, et par suite aux corps qui les supportent, est 'extrêmement faible comparativement à celle que possède le marteau ; de sorte que la flexibilité, l'élasticité naturelle de ces corps suffit pour amortir les effets du coup sans qu'il survienne d'accidents.

On s'expliquera aussi facilement une infinité de phénomènes, relatifs aux corps élastiques ou non élastiques, qui se passent journellement sous nos yeux : il n'est personne, par exemple, qui n'ait observé que, quand une bille de billard vient à en choquer une autre directement, c'est-à-dire de la manière dont nous l'avons entendu précédemment (154), il arrive qu'elle s'arrête tout à coup dans la place même qu'occupait cette autre, tandis que celle-ci chemine avec toute la vitesse de la première ; or, c'est ce que montrent très-bien nos formules. Les masses M et M' de deux corps sont ici égales, l'élasticité, est pour ainsi dire, parfaite, de sorte que la vitesse U, commune aux deux corps à l'instant de la plus grande

MV compression, égale -^r-r- = | V, celle W de M après le choc égale

2U — V = 0, et enfin celle W de la bille choquée égale 2U ou V,

161. De la force vive desjorps après le choc. D'après ce que nous avons déjà dit, n 08 07 et 139, on peut prévoir que, dans le choc des corps parfaitement élastiques, la force vive perdue pendant la compression doit être précisément égale à celle qui est restituée dans le débandement, tandis que, dans le choc des corps qui ne reprennent pas exactement leur état primitif après l'instant de la plus grande compression, la somme des forces vives doit être altérée

m MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

d'une quantité précisément égale au double de la quantité de travail nécessaire pour produire l'altération de forme ou de constitution éprouvée par les deux corps ; quantité qu'on pourrait directement calculer (186 et 137) si Ton" connaissait, pour chaque instant du choc et pour chaque corps, la valeur moyenne de la force de réaction F et celle du petit enfoncement qu'elle produit dans ce corps. Il est évident, en effet, que le travail, relatif à cet instant, serait mesuré (72 et 86) par le produit de F et de la somme des enfoncements qui lui correspondent dans les deux corps. Mais, oommo on ne connaît ni la loi que suit cette force, ni celle de l'enfoncement, on n'a d'autre moyen de mesurer, soit le travail, soit la force vive développés ou perdus dans le choc des corps, qu'en les déduisant directement des vitesses que possèdent ces corps avant et après l'instant du choc, vitesses qu'on ne peut calculer rigoureusement d'ailleurs (159) que dans un petit nombre de cas*

Par exemple, ayant appris, dans les cas ci-dessus (186) où un corps en choque un autre au repos, à calculer la vitesse U qui leur est commune à l'instant de la plus grande compression, nous pourrons aussi trouver la force vive qu'ils possèdent à cet instant, et la perte de force vive due à la réaction de leurs ressorts moléculaires. En effet, la force vive totale (122 et 136) était, avant le choc, MV% et, à l'instant que l'on considère, elle est MU 2 -J- M'U' ou (M ~{~ M') U 2 ; donc la perte de force vive a pour valeur

Mais on a trouvé (186)

U-^5 r ;*-o{M+M')^-.(M + II') ï ^j ï -^

D'une autre part, MV a est la même chose que

(M + M')MV a M'V a . M'MV»

1 M + M' » ° UqUe MTÏ' + M+¥'

donc enfin la perte de force vive est égale à