M'MV» M' .

M + M'' V "M + M' c'est-à-dire à Ha force vive que possédait la masse M avant le ehoe,

multiplié* par le quotient de la ma$se M' et de la somme de ces musées *• La moitié de cette valeur sera donc aussi (188) la mesure du travail développé, parla force de réaction F, pour opérer la compression des deux corps.

Si le cli oc finit à l'instant de la plus grande compression, que les corps soient ou non sans élasticité (139), la quantité ci-dessus donnera encore la perte de force vive occasionnée par le changement d'état on de forme de- ces corps.

Mais, si le choc continue après l'instant dont il s'agit, une portion de cette force vive sera restituée dans le débandement des ressorte moléculaires; et, si les corps étaient parfaitement élastiques, cette même force vive serait entièrement restituée. C'est, en effet, ce qu'on trouve par des opérations analogues à celles ci-dessus, appliquée! aux valours des vitesses qui, selon le n° 188, ont lieu alors après le choc.

162. Conséquences particulières» Supposons que la masse M' du corps choqué (A'), fig, 35, et qui est au repos avant le choc, soit très-petite par rapport à celle M du corps choquant (A), M' sera aussi très-petit par rapport à M -j- M' } et par conséquent la perte

M' de force vive ■ -,. ■ M , MV% relative au cas où ces corps ne sent pas

élastiques, se réduira A une très-petite fraction de celle MV a qu'ils possédaient avant le choc. On peut, dans des circonstances semblables, négliger une telle perte dans le calcul des résistances d'une machine, pourvu que le choc ne soit pçs fréquemment répété (85) ; mais il en est tout autrement quand la masse M' du corps en repos est très-grande par rapport à celle M du corps choquant j car la

M' fraction j^ , > pourra approcher beaucoup de l'unité , et par

conséquent la perte de force vive, de la force vive MV a possédée par ce dernier corps avant le choc. Supposant seulement M' «= M, la valeur de cette fraction sera £ , et la perte s'élèvera déjà à la

* Nous engageons les lecteurs peu accoutumés aux calculs avec des lettres , à répéter la série des raisonnements sur un exemple particulier, en se rappelant (ia5) que la masse d'an corps est le quotient de son poids par g ou 9%8o88 n* g«,8i environ.

moitié de M Y 9 . On y oit donc combien il est essentiel d'éviter, dans la construction des machines, qu'on corps vienne inutilement choquer un antre corps en repos, dont le poids est comparable an sien propre.

Nous disons inutilement, parce qu'en effet, il est quelquefois utile d'opérer par le choc sur la matière à confectionner ; c'est ainsi, par exemple, que procèdent les forgerons pour donner différentes formes aux métaux, et que les cordonniers parviennent à étendre les semelles de cuir et à augmenter leur densité, leur roideur ou leur force de ressort ; mais alors même un ouvrier, qui a l'expérience de son art, ne manque jamais d'employer des marteaux, des enclumes bien aciérés et trempés, ou tout autre corps plus on moins élastique, conformément à la remarque qui en a déjà été faite n° 96; de sorte que la consommation de force vive qui a lieu alors (159), est, du moins en très-grande partie, employée à produire le changement de forme de la matière à confectionner.

C'est encore ici le lieu de rappeler (95) qu'il ne suffit pas que les corps soient élastiques pour qu'on puisse affirmer qu'il n'y ait pas eu consommation inutile de travail ; car il faut encore que la force vive, qui est restituée par les ressorts moléculaires après le choc, soit utilement employée. C'est bien ce qui arrive, par exemple, à l'égard du marteau des forgerons, puisque l'élasticité, en renvoyant le coup, sert à élever le marteau contre l'action de la pesanteur, et aide la main de l'ouvrier habile qui sait en profiter ; mais le contraire peut aussi arriver, si, par exemple, l'enclume est assise sur un terrain mou : la force vive qu'acquiert cette enclume est alors, en partie, consommée à produire l'enfoncement du sol ; aussi les maîtres de forge entendus ont-ils soin de placer de gros blocs de bois ou des charpentes très-élastiques sous leurs enclumes. Il n'est pas moins indispensable aux ouvriers de tous les autres états, de choisir, pour leurs chantiers et établis, des corps à la fois élastiques et peu flexibles; il faut en outre qu'ils soient suffisamment lourds, car alors ils prendront peu de mouvement (160), et, acquérant une force vive très-faible, ils auront très-peu d'action pour comprimer le sol ; de sorte que, malgré le peu de ressort que ce dernier possède, il se comportera néanmoins alors (19) comme un corps parfaitement élastique.

Formules relatives au cas le plus général du choc direct. Jns-

qu'ici nous nous sommes uniquement occupés du cas où l'un des deux corps est en repos; mais il n'est pas inutile de montrer comment on peut étendre immédiatement les raisonnements à celui où les corps seraient animés de vitesses quelconques avant le choc.

À cet effet, nommant M, M' les masses, V, V les vitesses respectives des deux corps avant le choc, et U leur vitesse commune à l'instant de la plus grande compression, on observera que, quand les corps cheminent dans le même sens, fig. 36, la force de réaction F (154), diminuant la quantité dé mouvement MV du corps (A) de ' quantités égales à celles qu'elle ajoute à la quantité de mouvement M'V de (A'), la somme MV -}- M 'V des quantités de mouvement primitives, reste encore la même à toutes les époques du choc. On a donc, à l'instant où la vitesse est U pour les deux corps,

MU+M'Uou(M + MOU = MV + M'V; d ' 0ÙP = mTm' ,

tandis que, dans le cas où les deux corps (A) et (A') vont à la rencontre l'un de l'autre, fig. 37, animés des quantités de mouvement MV, M'V, la force de réaction diminuant chacune d'elles de la même valeur (154), leur différence absolue MV — M'V ou M'Y' — M V demeure aussi la même à tous les instants ; de sorte qu'en supposant que MV surpasse M'V, on aura, à l'instant où la vitesse est U pour les deux corps,

MU+M'U ou (M -f MO U = MV - M'V ; d'où U= ^7^7' »

la vitesse U étant nécessairement dirigée dans le sens de celle V, qui répond à la plus grande quantité de mouvement primitive MV. Quant aux forces vives possédées ou perdues au moment de la plus grande compression, on les calculerait aisément an moyen de la vitesse U , mais on peut arriver immédiatement à la valeur de cette perte, qu'il est souvent essentiel de connaître, en observant que, dans les deux cas dont il s'agit, la réaction des corps s'opère uniquement en vertu des vitesses relatives (46 et 85) dont ces corps sont animés avant le choc ; de sorte que les valeurs de F et les changements d'état ou de forme qui lui correspondent sont, à chaque instant, les mêmes que si, le corps (A') 9 par exemple, étant au repos, le corps (A) venait le choquer avec une vitesse V — V' égale à la différence des deux vitesses pour le premier cas, et avec

MEC AN. llfDUST. T. I. 9

une vitesse V -f- V égale à la somme des mêmes vitesses pour celai où les corps marchent en sens contraire.

La perte de force vive, qui dépend uniquement (139) de l'intensité de la réaction des deux corps à chaque instant du choc , sera donc (161), an moment de la plus grande compression, pour le cas où les corps marchent dans le même sens,

MM'(V — V') a et, pour celui où les corps marchent en sens contraire,

mm'(v + \y

Cette dernière quantité est, comme on voit, de beaucoup supérieure à la première ; cela prouve combien il est surtout essentiel, dans la construction des machines , d'éviter que des corps se choquent inutilerrîent avec des vitesses contraires.

Enfin, si les corps étaient parfaitement élastiques, on trouverait tout aussi facilement les vitesses qu'ils conservent à la fin du choc : il suffirait, pour cela, de reprendre les raisonnements du n° 188, relatifs au cas où l'un des corps est en repos au commencement de ce choc. Mais, comme on aura rarement occasion d'appliquer ces résultats à la pratique, nous ne nous y arrêterons pas, non plus qu'aux diverses conséquences qu'on pourrait, dès à présent, déduire des formules qui précèdent. f

J64. Remarques relatives aux applications numériques. On devra se rappeler que, lorsqu'il s'agit de calculer, en nombres, les valeurs des forces vives perdues ou conservées par les corps après le choc, il conviendra toujours de prendre (145 et suiv. ), pour chaque masse, le quotient du poids du corps par g = 9 m ,8088, tandis qu'on pourra s'en dispenser dans le cas où l'on n'aura que les vitesses simples à calculer. Il est aisé de voir, en effet, qu'on pourra alors remplacer les masses par les poids mêmes des corps, dans les fraction! qui donnent ces vitesses, attendu qu'en supprimant la division de ces poids par g, cela reviendra tout simplement à multiplier à la fois, le numérateur et le dénominateur de la fraction dont il s'agit, par cette même quantité , ce qui ne change pas le résultat comme on sait. Ainsi, on aura, dans le cas général ci-dessus (163), Prêtant

les poids des deux corps dont les masses ont été nommées M et M',

PV-fp'V „ PV — FV

u - p+f ou D " -p + y '

selon le sens da mouvement des corps avant le choc.

C'est d'après de tels exemples, qu'on se croit quelquefois autorisé à prendre généralement le poids d'un corps pour sa masse (125)ç mais on commettrait une erreur grave si Ton en agissait ainsi dans les calculs relatifs à la force vive des corps.

Par exemple, dans les cas ci-dessus (168) de deux corps qui se choquent en marchant dans le même sens , nous avons trouvé que la perte de force vive, à l'instant de la pins grande compres* sion,qui répond à la fin du choc quand les corps ne sont pas élastiques, avait pour valeur