APPLICATIONS PARTICULIÈRES RELATIVES AU CHOC DIRECT

166. Exemple du choc d'un corps qui tombe, d'une certaine hauteur, sur une substance plus ou moins 9 molle. Supposons qu'on laisse

tomber, d'une certaine hauteur, un corp9 cubique et très-résistant P, fig. 38, tel qu'an cube do fer pesant 300 kil., snr une substance pins ou moins molle, terminée par un plan de niveau AB, et dans laquelle il pénètre par une de ses faces ab, parallèle à ce plan. Soit l m ,30 la hauteur b'c d'où le cube est tombé avant d'atteindre AB, et m ,02 la quantité totale bc de l'enfoncement à l'instant où le choc est terminé ; il sera donc descendu réellement de la hauteur 1>»,$0 -f- m ,02 = l m ,32, et la quantité de travail développée par la pesanteur, dans cette descente, sera mesurée par le produit 300 k X l m r&2 — 396 km ; c'est donc là aussi la mesure du travail nécessaire pour produire l'enfoncement des m ,02 avec des circonstances semblables , ou pour produire un effet identiquement égal.

Cette conséquence résulte immédiatement de ce qui a été dit précédemment (158 et suiv.) sur le choc des corps durs qui rencontrent des corps mous ou privés d'élasticité; car ici le corps P atteint le plan AB avec une force vive égale à 2 . 300 k . l m ,S0 = 780 (122), et cette force vive peut être considérée comme presque entièrement consommée (162) pour produire le changement de forme de AB, attendu que l'altération du cube est négligeable, et que la niasse de la substance AB qui reçoit le choc, étant ici censée très-grande par rapport à celle de P, ou étant censée faire partie du sol, soit directement, soit par l'intermédiaire des corps qui la supportent , la vitesse, et par conséquent la force vive conservée après le choc, sera extrêmement petite (160 et suiv.), de sorte qu'on pourra la négliger par rapport à celle que possédait P avant le choc. Or cette dernière force vive se convertit , à partir de l'instant où le corps atteint le plan AB, en une quantité de travail égale (136) à la moitié de sa valeur, c'est-à-dire à 390*"* ; de plus, la gravité y ajoute, pendant que le corps s'enfonce, une quantité mesurée par le produit du poids 300 k de ce corps et de la hauteur bc de l'enfoncement; donc, au total, la résistance qu'éprouve le cube pendant qu'il pénètre dans la substance AB et de la part de cette substance, développe bien réellement, contre le mouvement, une quantité de travail égale à 390 km -{-300 k . m ,02 = S90 km + &*» = 396 km , quelle que soit d'ailleurs la manière dont varie l'intensité propre de cette résistance aux divers instants de l'enfoncement. t

Maintenant, si l'on pose doucement, sur AB, un prisme vertical R de même basé que le cube, et dout la hauteur et le poids soient

tels qu'au bout d'un temps plus ou moins long , il s'enfonce des mêmes 2 centimètres bo, la quantité d'action que la pesanteur aura développée , sur le prisme , pendant sa descente de cette hauteur, .et qu'aura oonsommée la résistance de AB, sera le produit de m ,02 par le poids R de ce prisme, c'est-à-dire m ,02 X R* Mais, comme les effets produits par le prisme et par le cube sont identiques, les quantités de travail que ces effets supposent, de la part de la résistance de AB, doivent être regardées aussi comme égales, et partant on a

R X m ,02 = 396 kœ ; d'où R = -^ = 19800™

Tel est donc le poids qui pourrait produire, dans un temps plus ou moins long, un effet égal à celui qui résulte, dans un temps généralement très-court , d'un poids 66 fois moindre , lancé avec la vitesse de S m ,05 due à la hauteur de l m ,80 (118).

16Ï. Calcul hypothétique de la durée de l'enfoncement produit par h choc. La valeur effective du temps que le corps P met à s'enfoncer des m ,02 ci-dessus, ne peut s'obtenir qu'autant que Ton connaîtrait, par des expériences spéciales, la loi que suit la résistance du sol aux divers instants, ce qui n'est pas. Mais, pour offrir un exemple de calcul, nous supposerons la résistance constante , ou plutôt nous la supposerons remplacée, dans les divers instants, par sa valeur moyenne (73) ; de sorte qu'elle sera censée (107 et 112) retarder Uniformément le mouvement du prisme ou du cube.

Or nous savons que, pendant la durée du choc, elle développe une quantité de travail égale à S96 km , donc (73) elle a pour valeur

moyenne -75-77» == ÎOBOO 1 " 1 ; c'est-à-dire qu'elle est précisément

égale au poids du prisme qui produit le même enfoncement ou le môme effet; ce à quoi on devait bien s'attendre en la supposant tout à fait constante*. Cette résistance étant directement opposée à l'action du poids de» SOO 1 " 1 du cube, ce dernier sera sollicité, pendant l'en-

* Puisque la résistance est iei égale au poids du prisme, ce dernier ne s'enfoncerait

pas , conséquence qui prouve assez que l'hypothèse d'une résistance constante n'est point

admissible ; cette résistance croit nécessairement à partir de l'instant où renfoncement

commence , et c'est ce qui parait évident en soi , vu la facilité qu'a alors la tnatiêre de m

déplace* latéralement ou sur les cotés du cube et du prisme.

Concernent, par une force motrice constamment égale à

19800 k — S00 k == ÎOBOO* 1 ,

et agissant , de bas en haut, pour retarder son mouvement primitivement acquis, ou pour détruire la vitesse de 8 m ,0S qu'il possède à l'instant où il atteint AB. «

Avec ces données, il ne sera pas difficile de trouver le temps que la résistance mettrait à éteindre complètement la vitesse en question ; car puisqu'on la suppose constante, elle imprimerait, au bout de l'unité de temps, une vitesse V, qui sera donnée par la formule

F = MV, ou V, = |j- , du n° 182 : or ici F = 19800™,

M=-^L = âO,58; donc V, « j£~ « 687",67. Mais, puis-

que la force constante est capable d'imprimer la vitesse de 637 m ,67 au bout d'une seconde, il est évident (110) qu'elle mettra, à imprimer ou détruire la vitesse de 8 m ,08, un temps t qu'on obtiendra au moyen de la proportion 6S7 m ,67 ; 1" :: 8 m ,08 : t; d'où

t = ^ 67 = 0",008, ou j25" d © seconde à peu près.

Les mêmes résultats s'obtiendraient immédiatement d'ailleurs au

moyen delà formule F = M - du n° 130, en observant qu'ici les

raisonnements sont applicables à une vitesse et à un temps quelconque ; car elle donne pour le temps t qui répond à la vitesse

de 8 m ,08, t = — ^ = 19 ^ Q = 0",008 environ ,

comme ci-dessus.

168. Cette durée est d'autant moindre que le corps choqué est plui roide* Nous venons de trouver que, dans l'hypothèse d'une résistance constante, le temps nécessaire pour produire l'enfoncement des 2°, est de 8 millièmes de seconde environ. Si la substance qui reçoit le choc était assez résistante, assez dure pour que l'enfonce-

ment fût seulement de O m ,001, dans les mêmes circonstances, on trouverait , en recommençant les calculs qui précèdent , que le poids R du prisme qui produirait cet enfoncement, serait de

— — - a=s 396000 kil , et que la force de réaction qui agit pendant le

choc , aurait pour valeur moyenne ces mêmes 396000 k diminués de 300 k ou 395700 kl! , qu'enfin la durée de l'enfoncement serait seulement de 0", 00089 , ou environ vingt fois moindre que dans le premier cas ; par quoi Ton voit combien doit être excessivement courte la durée du choc des corps roides tels que le marbre, l'acier, l'ivoire , dont les dépressions sont quelquefois si faibles qu'il est comme impossible de les apprécier par des moyens directs.

A la vérité , nous avons supposé, pour parvenir à ces résultats, que la résistance des corps à l'enfoncement était constante; mais la même conséquence peut se déduire de nos-principes quelle que soit la loi de la résistance ; car la force vive détruite , par exemple , pendant la première période (156) du choc de deux corps quelconques ou pendant leur compression, étant généralement très-comparable à celle qu'ils possédaient avant le choc, il en sera de même (136) du travail développé parleur force de réaction réciproque F. L'enfoncement étant donc extrêmement petit, il faut nécessairement (97) que la courbe du travail Oa'h'c'. . . . (pi. I, fig. 26), s'éloigne considérablement de Taxe OB des abscisses, du moins à compter d'une petite distance de l'origine ; de sorte que les ordonnées, qui mesurent les valeurs de la force de réaction F, devront aussi être extrêmement grandes. Or de là on conclut, sans difficulté , soit par la

formule t = -r=- déjà citée, soit par la construction de la courbe

des vitesses (134, fig. 32), que le temps, nécessaire pour produire l'enfoncement ou la compression, doit être , de son côté , d'autant plus petit que les valeurs v de F sont elles-mêmes plus considérables et l'enfoncement total moindre. Mais, attendu que l'aire comprise entre cette dernière courbe et l'axe des abscisses mesure effectivement les espaces décrits ou les enfoncements , il n'est pas métne nécessaire de recourir à la courbe des pressions, fig. 26, pour voir que, si l'enfoncement total est extrêmement petit tandis que la vi~

tesse conserve une grandeur donnée, la durée du mouvement doit elle-même être extrêmement courte.

169. Observations générales sur la communication du mouvement par le choc. C'est à cause de l'excessive petitesse de la durée du choc des corps très-résistants, que les mécaniciens se sont crus autorisés à regarder généralement comme entièrement nulle cette durée, et que, par suite, ils ont été conduits à supposer infinies les forces de réaction qui se développent pendant la compression réciproque des corps. Mais nous voyons bien clairement maintenant que, puisqu'il n'existe pas de corps infiniment durs, on ne peut dire, non plus, en termes absolus, qu'il y ait changement brusque ou instantané de leur vitesse ; la communication du mouvement par le choc ne diffère, en effet, de celle qui a lieu par les forces motrices ordinaires, telles que la pesanteur, etc. , que parce que généralement cette communication s'opère dans un temps réellement très-court, et que la force de réaction acquiert ainsi une très-grande valeur. Encore devons-nous remarquer qu'il arrive souvent que des corps réagissent, l'un sur l'autre, par leurs vitesses acquises, sans que la pression soit excessive, sans que la durée delà réaction soit très-courte; et que réciproquement des forces motrices , qu'on ne peut se refuser de regarder comme des pressions ordinaires, telles que celles qui résultent, par exemple, du ressort des gaz de la poudre, etc., communiquent cependant aux corps une vitesse très-grande dans un très-petit temps , attendu la grande. intensité de leur action. La distinction qu'on voudrait établir entre des phénomènes qui ont autant de connexion entre eux, ne pourrait donc servir qu'à compliquer l'étude de la Mécanique , en y introduisant , sans utilité immédiate, un ordre de considérations qui n'y est point indispensable.

170. Utilité du choc dans les arts ; battage despilots de fondation. Maintenant on doit bien concevoir comment il est possible de comparer les effets des chocs, sur les corps, à celui des pressions ordinaires qui produisent des mouvements plus ou moins lents; on conçoit très-bien aussi que, le choc produisant, dans un temps extrêmement court , un travail ou un effet comparable à celui que produisent , dans un temps généralement beaucoup plus long , les pressions ordinaires, il y ait souvent avantage, nécessité même

158 MECANIQUE liNDISTlUKLLK.

d'employer ce mode d'action dans les arts, malgré les inconvénients qui y sont attachés (162), Car, toutes les fois que la pression ou l'effort direct dont on pourra disposer pour produire un travail mécanique, sera au-dessous de la résistance à vaincre, il faudra recourir au choc qui développe des pressions considérables et toujours en rapport avec la force de réaction.

Ou s'expliquera encore aisément le but qu'on se propose en plaçant, sous les fondations des édifices très-lourds, tels que les piles de ponts, les palais, les remparts, etc., de forts pieux ou pilots affûtés vers le bas et enfoncés, sous le sol , à coups de mouton. Le poids dont est chargé verticalement chaque tête de pilot parles constructions établies directement au-dessus, représente celui R du prisme dont il a été question au n° 166, et le mouton remplace également le cube; seulement ici ce n'est pas renfoncement delà tête du pilot qu'il s'agit de produire, mais bien celui de sa pointe inférieure, dans le sol ; c'est pourquoi on cherche à éviter le premier enfoncement , qui consommerait , en pure perte, une partie notable de la force vire du'mouton , et l'on a soin de consolider la tête du pilot par une forte frette, quand la violence du choc pourrait la déformer rapidement ; et , comme il ne s'agit pas davantage d'en briser la pointe, on a l'attention de la durcir au feu ou de la coiffer d'un sabot enfer. Enfin on dresse, on arrondit , le mieux possible, les côtés du pilot pour diminuer les résistances qui s'opposent à son enfoncement : 'de cette façon, la plus grande portion de la force vive du mouton est transmise à l'extrémité inférieure du pilot, et serf immédiatement à l'enfoncer dans le sol jusqu'à ce que, arrivée sur le roc , le tuf ou quelque autre terrain solide , les coups redoublés du mouton ne puissent plus la faire descendre, d'une manière sensible, auquel cas on dit que le pilot est parvenu au refus.

171 . Conditions du battage de pilots et conséquences qui en résultent. On exige ordinairement, pour un pilot de m ,25 de diamètre et de 3 à 4 m de longueur, que l'enfoncement produit par chacune des dernières volées de 30 coups, d'un mouton de 300 à 400*", tombant d'une hauteur de l m ,30, soit, au plus, de 4 à 5 millimètres; moyennant quoi il devient permis, d'après les observations du célèbre Perronet , de charger chaque tête de pilot jusqu'à 25000*", sans qu'on ait à craindre aucun accident fàchcut pour la solidité des constructions.

Pour comparer cette donnée de l'expérience avec les résultats du calcul, nous observerons qu'ici les $0 coups de mouton équivalent (166) o une quantité de travail de 30 X 800 k X l m »3 = 1 1700 km au moins* Ce travail produisant un enfoncement de m ,005 nu plus, le poids qui , placé sur la tête des pilota, produirait le

même enfoncement, serait d'au moins ■ = 2840 000 kil : ce

poids est environ 94 fois celui que Pcrronet assigne comme limite de la charge des pilota; mais il faut observer 1° que les bois sont susceptibles de s'altérer plus ou moins à la longue , de sorte qu'ils peuvent alors s'écraser ou s'affaisser sous une charge moindre que celle qu'ils seraient capables de supporter momentanément ; 2° que l'élasticité naturelle du bois et du sol qu'on frappe à coups de mouton , empêche que toute la force vive soit employée contre les résistances de ce sol , et tend même à diminuer la profondeur de renfoncement , en relevant , à chaque coup , le pilot d'une certaine quantité ; 3° enfin qu'il ne convient pas non plus que l'on statue sur un abaissement de m ,005, pour les fondations d'un édifice qui doit présenter les caractères de la plus grande solidité, tel qu'un pont , etc. C'est pourquoi l'on peut admettre, d'après la règle posée par Rondelet, qu'en général , quand il s'agit de constructions monumentales, on ne doit prendre, pour charge des pilots, que la 94 me partie du poids qu'assigne la théorie.

Les calculs qui précèdent supposent d'ailleurs que la force vive du mouton soit tout entière consommée contre les résistances du sol , qui s'opposent à l'enfoncement, tandis que, dans la réalité (170), une portion plus ou moins grande de cette force vive est consommée pour écraser la tête du pilot : on peut même admettre que le ressort du bois est tout à fait négligeable dans les circonstances actuelles où le choc s'opère avec violence; de sorte que ce choc finit à l'instant même (158) de la plus grande compression éprouvée par la tête du pilot. Il est aisé déjuger, d'après cela, que les observations du n° 162 sont applicables au cas actuel ; c'est-à-dire que , pour diminuer, le plus possible, la perte inutile de force vive sur la tête du pilot, il convient de donner au mouton un poids qui excède de beaucoup celui de ce pilot ; on doit par conséquent employer des moutons d'autant plus lourde, que les pilots à chasser le sont eux-mêmes davantage. Dans la pratique, le poids du mouton

140 3IÉCÀMQUE' INDUSTRIELLE.

est assez ordinairement compris entre deux fois et trois fois celui du pieu , de sorte que (162) la perte de force rive est aussi comprise entre le j et le | de celle qui opère le choc : en se servant de moutons encore plus pesants, la perte diminuerait , mais la manœuvre deviendrait embarrassante dans bien des cas , et occasionnerait d'autres consommations inutiles du travail moteur.

La perte de force vive , provenant de la déformation de la tête des pilots, étant donc généralement une fraction assez faible, et d'ailleurs à peu près constante, de celle qui est imprimée au mouton, il résulte, de ce qui précède (166) , que les enfoncements oïl effets du choc de divers moutons doivent être proportionnels à leun poids ainsi qu'à leurs hauteurs de chute, ou aux carrés des vitesses qu'ils acquièrent au bas de ces chutes ; ce que confirme parfaitement l'expérience, non-seulement dans l'opération du battage des pieux de fondation , mais encore dans une infinité d'autres circonstances où les effets sont directement comparables, comme lorsqu'on laisse tomber un corps dur sur une pièce de bois, de fer, etc., posée horizontalement sur deux appuis.