DES COURBES PLANES

180. Démonstration géométrique de la méthode. Soit a'd'gga (fig. 39) une aire plane limitée par une portion de courbe a'd'g', par la droite 06, servant d'axe des abscisses (51), et par les deux ordonnées extrêmes aa' 7 gg', perpendiculaires à cet axe. Supposons qu'on ait divisé la distance ag, de ces ordonnées, en un nombre pair de parties égales, par exemple en 6 parties, aux points b, c, d, e, f 9 et qu'on ait élevé, en ces points, les nouvelles ordonnées bb\ ce' y . . .. f, terminées â la courbe; on aura une première valeur approchée de l'aire mixtiligne aa'd'g'ga, en calculant les ' surfaces de chacun des trapèzes rectilignes aa'b'b, bb'c'c,. , . . ffg'g, dont

elle se compose, puis ajoutant entre eux tous les résultats ; ce qui revient à remplacer la courbe par le polygone rectiligne a'b'c'o¥....g' qui lui est inscrit. Mais on obtient, sans être obligé de multiplier davantage les points de division, une valeur beaucoup plus approchée de Faire cherchée en procédant comme il suit.

Ayant numéroté le rang des diverses ordonnées, comme on le voit sur la figure 89, on considérera, à part (fig. 40), l'aire raixtiligne ccd'e'ec, limitée aux deux ordonnées impaires quelconques ce', ee', qui se suivent et qui comprennent entre elles l'ordonnée dd' de rang pair ; la surface totale des trapèzes rectilignes correspondants cdd'e, dee'd', aura pour mesure, puisque de = cd,

i cd (ce' + dd) + i de (dd' + ee') = \cd (ce' -f Ud' -f ce').

Mais on obtiendrait évidemment une valeur plus approchée de Faire cc'd'e'e, si, partageant cette aire en trois autres aires trapézoïdes cmm'c, mnn'm' 9 nee'n', par des nouvelles ordonnées équidistantes mm, nn' , c'est-à-dire telles que cm = mn = ne = } cd, on prenait, pour cette valeur, la somme de trois trapèzes rectilignes inscrits correspondants, c'est-à-dire

{ cm (ce' -j- mm') -j- | mn (mm' -\- nn') -J- { ne (nn' ~J- ee') ,

ou, attendu que {cm = \ mn = \ ne = | ce = j cd,

| cd (ce' -J- %nm' -J- %nn' -]- ee).

Or, pour s'éviter la peine de tracer les nouvelles ordonnées mm, nn', et pour obtenir néanmoins une approximation égale ou même supérieure, on remarquera que la corde m'n' vient couper l'ordonnée intermédiaire dd', qui est à égale distance de mm! et de nn', en un point o tel que od= \ (mm' -|- nri), et que, par conséquent, Aod =%mm'-\- %nn' ; la valeur de l'aire rectiligne ce' m' n'e'e devient donc simplement | cd (ce' -{- Aod -{- ee').

Nous n'avons pas, il est vrai, l'ordonnée od immédiatement, mais elle diffère extrêmement peu de l'ordonnée véritable dd! de la courbe, que nous connaissons ; en remplaçant donc od par dd! dans les calculs, nous obtiendrons une mesure très-approchée, quoique un peu trop forte, de l'aire polygonale dont il s'agit. Mais, puisque cette aire est elle-même un peu plus faible que la véritable aire ter-

minée à la courbe, il se fera une sorte de compensation * si nous prenons, pour mesure de cette dernière, ia quantité

f cd (ce' + W + ee).

On aura de même, (fig. 89), ace' a' =jcd {aa f + W -f ce'), egg'e'e = \cd (ee' + \ff + gg) ; donc la surface totale agg'd'a' qu'il s'agit de calculer, a, pour mesure,

L cd (aa + M -f ce' -f ce' + W + ee' + ee' + kff + gg'),

on | ce/ [aa' + gg' -f 4(jM>' + dd' + /f ) + 1(cc' + ee')],

c'est-à-dire /e tiers du produit qu'on obtient en multipliant, par l'intervalle constant compris entre les ordonnées de la courbe , la somme des ordonnées extrêmes, augmentée de deux fois celle des autres ordonnées de rang impair, et de quatre fois celle des ordonnées de rang pair.

Les mêmes raisonnements demeurant applicables quel que soit le nombre des ordonnées équidistantes , pourvu qu'il soit impair,

* II est évident qu'en prenant dd' pour od, on augmente Taire polygonale de j cd . (\od '; mais, en traçant les nouvelles cordes m'd', n'd\ il sera aisé de voir que la surface du triangle rectiligne m'n'd' a pour mesure j- mn X od' ; car il se compose des triangles m'od't on'd', dont la somme des surfaces

«= \od' . md •+• - od 1 . rfn = •£• od'( md •+- nd) = - od' . mn:

et comme mn =» •- cd, la surface du triangle m'd'n' sera 1 1 .cd.od' =: -cd.od'. On a donc augmenté Taire du polygone rectiligne cc'm'n'e'ecàê 4 fois le triangle m'd'n', tandis qu'il faudrait l'augmenter de la somme des aires des segments compris entre la courbe et les cordes c'm' , trin' et nV. Par conséquent , si cette somme équivaut à 4 m'd? n' , la compensation sera exacte et la méthode rigoureuse; dans tous les cas, on ne risquera de se tromper que de la différence de cette somme et de 4 m'd'n', différence qui ne sera généralement qu'une petite fraction de chacune d'elles , excepté pour quelques points singutiers de la courbe.

On voit, d'après cela, que, quand il s'agit de calculer, avec une grande exactitude, l'aire d'une figure plane limitée par des contours quelconques, il convient, non-seulement de multiplier beaucoup les ordonnées et de bien choisir l'axe des abscisses pour éviter la trop grande obliquité de ces ordonnées par rapport aux courbes, mais encore de partager l'opération en plusieurs opérations distinctes, soit qu'on multiplie davantage les ordonnées dans certaines parties, soit qu'on rapporte les courbes à plusieurs axes différents ; en un mot, il faudra éviter que les trapèzes rectilignes ne diffèrent nulle, part, d'une trop grande quantité , de trapèzes curvilignes correspondants. Il parait bien clair d'ailleurs que, par la formule de Simpson, on approche, dans les circonstances ofdinaires, nonseulement plus de la vérité qu'en calculant les valeurs des trapèzes rectilignes inscrits et limités aux ordonnées souples, mais même davantage encore que si l'on calculait celle de» trapèzes relatifs à des ordonnées plus rapprochées d'un tiers.

on voit que la règle est générale; mais il est clair qu'elle ne donnera dos résultats très-approchés, pour les parties de la courbe qui s'écarteraient considérablement de la forme d'une ligne droite, qu'autant qu'on divisera les intervalles, compris entre les ordonnées extrêmes, en un nombre pair de parties égales , assez grand pour que les trapèzes rectilignes inscrits ne diffèrent nulle part beaucoup des trapèzes véritables , ou qu'autant qu'on resserrera convenablement les ordonnées vers les parties dont la courbure est très-prononcée.

Il est également essentiel de remarquer que le calcul donnera des résultats un peu trop petits pour les parties de la courbe qui présentent leur concavité à l'axe des abscisses {voyez fig. 39), et un peu trop grands pour celles où cette courbe tourne sa concavité vers cet axe, comme cela a lieu pour la courbe de la fig. 41, par exemple.