DU TRAVAIL PRODUIT PAR IA DÉTENTE DES GAZ
181. Exemple de la manière de calculer ce travail* Reprenons maintenant la dernière des questions du n° 179, et appliquons-y la méthode qui précède, en négligeant d'ailleurs, comme nous l'avons fuit alors, le recul de la pièce qui est (175) presque toujours insensible. Cherchons, à cet effet, la loi que suivent les pressions de l'air à mesure qu'il se développe ou se détend en poussant le boulet en avant, c'est-à-dire (50) formons la table qui donne , pour chaque chemin parcouru par ce boulet dans l'intérieur de la pièce, la pression correspondante. Soit 0* (fi g. 41) la longueur totale de l'âme, Qa la portion de cette longueur occupée primitivement par l'air, supposé comprimé à 1200 atmosphères; d'après ce qui a été admis à la fin du n° 179, Oa sera le | de Oi, et le { de l'espace ai parcouru par le boulet ; divisant donc ai en 8 parties égales aux points b, c, d. . .. h, elles seront aussi toutes égales à Oa, et représenteront chacune des volumes cylindriques de l'âme, égaux à celai qu'occupe l'air comprimé. Ainsi , quand le boulet sera successivement arrivé en b, en c, en d, en e, . . . . en t, le volume primitif Os de cet air, sera double, triple, quadruple. . . . nonuple. Donc, selon la loi de Mariotte (16), la pression exercée par cet air, sur le boulet, qui d'abord était de 1200 atmosphères, n'en sera plus que la { 9
le ~, le £, • • • • le £ ; c'est-à-dire qu'elle «era respectivement
de 1200, 600, 400, 500, 240, 200, 171, 150, 133 atmosph.
aux points. .... a, b, c, d, e, f, g, h, i,
ayant pour no». . . 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, S, 9,
Élevant les perpendiculaires aa\ bb' 9 ce, .... iï, sur Ot, et portant, sur ces perpendiculaires, des longueurs proportionnelles aux pressions correspondantes , on formera la courbe a'b'c'. , . .t", nommée hyperbole équilatère. La surface de cette courbe, limitée aux ordonnées aa' 9 it et à Taxe ai, représente , d'après le n° 72, la valeur du travail variable développé par le ressort de l'air contre le boulet ; mais il n'est pas nécessaire de tracer la courbe elle-même pour obtenir la valeur de ce travail ; le tableau ci-dessus suffît, en y appliquant la méthode du n° 180, car l'intervalle total ai se trouve justement divisé en on nombre pair de parties égales par les diverses ordonnées.
On a ici, en effet, pour
la somme des ordonnées extrêmes, 1200 -4-153 = 1333» tn »
3 fois celle des autres ordonnées impaires, . 2(400 -4- 240 -+- 171) =s 1622
4 fois celle des ordonnées paires, . 4(600 -+- 300 -4- 200 -4- 150) = 5000
Total 7955**«
Il faudrait multiplier ce résultat (177) par l k ,083, puis par la surface de 176 centimètres carrés du cercle de section de l'âme , c'est-à-dire par 181 k ,81, pour avoir la somme des pressions véritables. Pour obtenir le travail total résultant de ces pressions, il faudra, de plus, multiplier cette somme par f ab = | Oa; le résultat sera donc \ Oa X 7955 al = 2651* ! ,7 X Oa multipliés encore par 181\81, ce qui donne finalement 48210o k ,6 X Oa.
La courbe des pressions tournant sa convexité vers Taxe 06 des abscisses, il est clair (180) que le résultat obtenu doit surpasser un peu le véritable ; on voit aussi que la courbe diffère beaucoup d'une ligne droite dans la partie qui répond aux points b, c 9 d, e; il y a donc lieu de craindre que l'excès dont il s'agit soit assez considérable pour qu'on ne puisse le négliger ; en conséquence, il conviendra de multiplier davantage les opérations vers les points b, c 9 d, e. Pour ne pas être obligé de recommencer tous les calculs, nous considérerons, à part, la portion de courbe comprise depuis aa' jusqu'à ee', et noua subdiviserons les intervalles primitifs des ordonnées en
m MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
deux parties égales aux nouveaux points m, n, p, q ; chacune d'elles sera donc égale à 7 Oa, et les espaces occupés successivement par le volume primitif Oa de l'air , seront respectivement Oa + j Oa = 4 Oa en m, (2 + i) Oa = | Oaenn, (3 + £) Oa = \ Oa en p, enfin | Oa en q. Par conséquent , d'après la loi de Mariotte, les pressions correspondantes seront les }, les }, les y et les | de la pression de 1200 at relative au point a; en joignant à ces pressions, celles déjà calculées plus haut relativement aux points b, c, d, e, on formera, pour la portion ae, la nouvelle table qui suit :
pressions 1200, 800, 600, 480, 400, 543, 300, 267, 340 atmosph.
points. .......a m b ne p d q e
nos 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Par conséquent,
somme des pressions extrêmes 1200 -4- 240 = 1440 ■*■
S fois celle des pressions impaires 2(600 + 400 •+- 300) = 2600
4 fois celle des pressions paires. . . 4(800 -+- 480 •+- 343 -+- 267) = 7560
Total 11*300***
qu'il faut d'abord multiplier par |aw=|Oa, ce qui donne pour -résultat \ 11600 X Oa= 1988 at ,8 X Oa, etensuitepar 181 k ,8i. Mais, comme cette dernière multiplication se reproduirait à la fin de chaque résultat, et que nous ne voulons ici que comparer entre eux les chiffres de ces résultats , nous négligerons de l'effectuer , dans ce qui va suivre, afin d'abréger les calculs; seulement orvdevra 'se ressouvenir, dans les applications particulières, que, pour obtenir le travail véritable , il restera encore à multiplier chaque nombre trouvé, par la pression totale qui répond à la surface de section de Tâme et à la pression atmosphérique moyenne.
En recherchant, comme on vient de le faire pour la partie oaVe, le surplus eei'i de la surface de la courbe, et bornant simplement les opérations aux points de divisions f, g, h, qui donneront alors une approximation suffisante, on la trouvera égale à
\ Oa [240 + lU + 2 . 171 + 4(200 + 150)]
= f 2115. Oa = 705 at X Oa.
Le total général est donc 19SS al ,S .Oa-f-705 at .Oa = 2688**,3 .Où, quantité très-peu moindre que celle 2651 a \7 . Oa trouvée précédemment ; ce qui prouve toute l'excellence de la méthode.
182. Pression moyenne de l'air, vitesse imprimée, etc. Puisque ai = 80a représente la longueur d'âme 2 m ,75 décrite par le boulet, il est clair que 2638"\8 . Oa, divisé par 8 Oa, ou 329 at ,8, est précisément (177) \» pression moyenne, sur chaque centimètre carré de surface , qu'exerce l'air dans sa détente contre ce boulet. On voit donc, sans aller plus loin, que la vitesse imprimée à ce dernier sur* passerait 800 m dans les suppositions actuelles , puisque l'effort moyen de la poudre, pour imprimer cette vitesse, s'élève, au plus, à 308 atmosphères (177).
11 est très-facile, au surplus, de calculer quelle est la tension que devrait recevoir le volume ou la charge d'air, représentée par Oa, pour imprimer au boulet la vitesse juste des 500 m , tout restant le même d'ailleurs et la pression des 1200 at étant seule changée , il est évident, en effet, que les résultats partiels et totaux des opérations ci-dessus demeurent proportionnels à la pression primitive. On posera donc la proportion
1 900 ^08 329,8 : 1200 :: 808 : * = "" ' „ =1121 atmosphères,
qui est la tension demandée. Pour obtenir un tel degré de tension à l'aide d'une machine à compression ou d'une pompe foulante, (179), il faudrait, d'après la loi de Mariotte, coercer, dans le petit espace représenté par Oa, un volume d'air, pris à la tension atmosphérique moyenne, qui serait égal à liai fois Oa,- et, comme les densités sont proportionnelles aux pressions (36), on voit que le mètre cube de l'air ainsi condensé, pèserait aussi 1121 foiscelui de l'air ordinaire dont lepoids est,à peu près(40), de l k , 3, c'est-à-dire 1457 kil : la densité de l'air du réservoir devrait donc égaler presque 1 7 fois celle de l'eau, et son poids, qui serait (179) de
mo ,006Xl^7 k = 8 k ,742,
surpasserait même le double du poids de la charge dans le tir avec la poudre (177). Or il pourrait bien se faire que , par suite d'un tel rapprochement des parties, l'air se convertit en un liquide véritable, ainsi qu'il arrive pour plusieurs autres corps gazeux et notamment pour les vapeurs (3 et 5), lorsqu'on les comprime seulement de quelques atmosphères.
Quoi qu'il en soit, il parait difficile d'admettre qu'on puisse, de longtemps encore , obtenir l'air à un pareil état de condensation ,
et il y a lieu de croire par conséquent que la pondre, qui noua représente également un grand volume de gaz coercés dans un petit espace , et dont la tension est neutralisée par la force d'affinité ou
d'agrégation des parties, que la pondre, qui est si facilement transportable, continuera, à moins de découvertes chimiques majeures, à remplir dans les combats le rôle qu'elle y joue depuis tant de siècles, malgré l'élévation de son prix comparé à celui des autres moteurs , et malgré l'inconvénient , quelquefois très-grave , qu'elle présente de rendre inhabitables les lieux clos où l'on en fait usage.
188. Des avantages de la détente prolongée et de sa limite utile* Nous avons supposé la pièce de la longueur ordinaire, mais on gagnerait nécessairement quelque chose, sur la tension primitive de l'air, en augmentant cette longueur ; car ici les effets du refroidissement (17S) ne paraissent pas , à beaucoup près, avoir autant d'influence que lorsqu'il s'agit des gaz de la poudre. Il n'en serait pas de même évidemment des pertes croissantes dues au jeu du boulet dans la pièce , au frottement, à la résistance de l'air atmosphérique extérieur, et il est probable que, passé un certain terme, on retirerait, en raison de ces pertes, fort peu d'avantages en augmentant les dimensions de l'âme : calculons néanmoins le surcroît d'effet produit parla détente prolongée de l'air, en négligeant tout à fait les pertes dont il s'agit.
Supposons d'abord que 0»' (fig. 41) soit augmentée de deux parties ij, jk, égale chacune à Oa ou à j de la longueur totale Os de Tâme, considérée dans le premier cas (183) ; on trouvera, pour les pressions exercées en i 9 j 9 k respectivement,
| 1200 al = 183 at , JL 1200 at = 120, •£ 1200* = 109*.
Donc (80 et 81) la surface de iih'h aura, pour mesure, i Oa (133 + 109 + A . 120) = Oa X i 722 = **°"> 7 X <>• environ ; c'est-à-dire qu'en donnant à l'âme une longueur totale de 8 m ,10 -f- | 3 m ,10 = 8 m ,80, la quantité de travail de l'air sers augmentée d'à peu près ~ de sa valeur 2688 at , 3 X O» relative à la longueur de 8 m ,10.
En prolongeant de nouveau l'âme de kr = ik «= 20a, on troaverait, de la même manière, que l'augmentation de travail du fluide serait de 200** X Oa; la somme totale du travail développé par ta
détente de ce fluide, pour la longueur d'âme de 4 m ,48 qui excède, de près de moitié, la longueur primitive, serait donc
(2638,8 -f 240,7 + 200) Oa = 8079* X Oa,
c'est-à-dire qu'elle surpasserait de ~ celle qui se rapporte à cette dernière longueur ; de sorte que la force vive imprimée au boulet serait aussi plus forte de |. Quant à In pression moyenne, dans le cas actuel, on la trouvera en divisant le travail total 8079** X Oa par ar= 12 Oa, longueur d'âme décrite par le boulet, ce qui
, 8079* X Oa Ma* a • ,*
donne — ^ n — == 256* ,6 environ : celte pression est, comme
on voit, moindre que celle qui répond au tir ordinaire avec la poudre (177), quoique la force vive imprimée soit réellement augmentée dans le rapport de la quantité de travail 8079** X Oaà celle 808* X 8 Oa = 2464* X Oa, qui est relative à ce dernier cas, la longueur d'âme étant alors 8 Oa.
S'il s'agissait seulement d'imprimer au boulet la vitesse de 500 m , comme dans ce dernier cas il suffirait (182) de comprimer l'air du
. > * • j 120( > X 2464 X Oa ftûA 4 ..
réservoir a la tension de aft , n w ' = 960 atmosphères
8079 X Oa
environ. Pour une vitesse moitié ou de 250 m , il suffirait (178 et 182) de donner le quart de 1200* ou 800 atmosphères de pression à l'air du réservoir, dans le cas de la pièce courte, et -J 960 = 240 atmosphères dans le cas de la pièce longue. En allongeant de plus en plus l'âme, il est clair que le travail, produit par la détente, irait aussi en croissant ; de sorte que , pour produire les mêmes effets, la pression absolue dans le réservoir pourrait être progressivement diminuée; mais on remarquera que, passé un certain terme, cet accroissement et cette diminution deviendraient extrêmement peu sensibles, considérés même abstraction faite de toutes les causes de pertes rappelées ci-dessus. Car nous avons trouvé, par nos diverses opérations, que le travail était proportionnel à 198S*,8, pour le point e (fig. 41), à 1988* 8 + 70»**» 2688*,* pour le point t, à 2638* 8 + 240*7 + 200* = 8079* pour le point r; de sorte que, dans la première partie oa de la détente , il est près du triple de celui qui répond à la seconde partie eï = oa , et près du quintuple de celui qui est développé dans la troisième
ir = ae. A une distance do point a égale à 100 fois ae, ou à 400
1200" fois Oa, la pression serait réduite à environ ■ = 3", et le tra-
vail, sur une longueur égale à ae on 40a, serait, au plus, 40a X 8" = 12" X O a > o u Trr^ e ce ' u * q«i est produit dans le premier intervalle ae, etc. Or on conçoit que les résistances et pertes de toute espèce suffiraient alors pour absorber ces faibles augmentations du travail.
En calculant d'ailleurs le travail total développé, par la détente de l'air, dans cette longueur d'à me de 100 fois ae, on le trouvera égal à environ 7200"* X Oa, quantité qu'il faut diminuer , tout au moins, de celle 1*' X 400 Oa = 400" X Oa, qui est absorbée par la pression de l'air atmosphérique extérieur ; ce qui la réduit à 6800" X ® a > *\ ul surpasse très-peu le double de la quantité de travail 8079" X Oa — 1" X 12 Oa = 8065" X Oa relative au point r; mais, attendu les autres genres de pertes, cette première quantité de travail serait bien moindre encore.
184. Examen particulier des différentes causes qui diminuent les effets de la détente des gaz. Nous avons déjà plusieurs fois remarqué que le frottement du boulet, dans l'âme de la pièce, est une quantité très-faible et qu'on peut toujours négliger, tandis qu'il en est tout autrement de la perte de gaz, occasionnée par le vent du boulet, laquelle tend continuellement à diminuer la densité et la pression intérieures, de manière à les faire différer de plus en plus de celles qui, selon la loi de Mariotte, auraient lieu, sans cette perte, pour chaque position du boulet. Connaissant le jeu de ce dernier dans Fâme , il ne serait pas impossible , à la rigueur, de calculer la perte de gaz dont il s'agit, d'après les lois de l'hydraulique qui seront enseignées dans la seconde année de ce Cours ; car cette perte est proportionnelle à la vitesse avec laquelle le fluide tend à s'échapper en vertu de la pression intérieure, et à la surface du videqni règne au pourtour du boulet, surface qui , à largeur égale, croit à . peu près comme le calibre des pièces ou la circonférence du boulet. Mais il est une autre cause de déchet de la force motrice, et qui exerce une influence peut-être plus grande encore sur la vitesse do boulet : c'est celle qui provient de l'inertie même du fjjiide. En effet, la force de ressort de ce fluide n'est pas uniquement employée
contre le boulet ; une portion sert à imprimer le mouvement à ses propres molécules , et il en résulte une perte de travail mesurée (136) par la moitié de la somme des forces vives qui leur correspondent. Or la vitesse de ces molécules et leur poids total (182) étant généralement très-comparables à la vitesse et au poids du boulet , on conçoit que la perte dont il s'agit est généralement aussi trèsappréciable, et mériterait d'être prise en considération , s'il s'agissait de calculer rigoureusement les circonstances du mouvement.
11 résulte de là d'ailleurs, que la pression éprouvée effectivement par le boulet, de la part des gaz, diffère plus ou moins.de celle, qu'il éprouverait, dans les mêmes positions ou pour les mêmes détentes, s'il était sans mouvement, ainsi que le suppose expressément la loi de Mariotte(16), que nous avons prise pour base de tous nos calculs; et cette remarque s'applique aussi à la tension qu'exerce le fluide sur les différents autres points des parois de la pièce ou sur luimême, laquelle, d'après le principe de Pascal (1-4), se trouverait répartie également et en tout sens, s'il y avait repos. Cette tension varie d'un point à un autre de la longueur de la me, conformément à la remarque du n° 68 : elle est plus faible là où le fluide éprouve plus de facilité à se mouvoir, c'est à -dire près du boulet ; elle est plus forte, au contraire, là où il éprouve le plus de résistance, c'està-dire vers le fond de l'âme , puisqu'elle doit y vaincre à la fois la résistance provenant de l'inertie du boulet et de tout l'air interposé. Enfin il n'est pas moins évident que la vitesse du fluide varie, de son côté, selon la distance du boulet au fond de l'aine, et qu'elle est plus forte près du boulet qu'à la culasse où elle peut même devenir tout à fait nulle quand le recul (174) est empêché.
On voit, d'après cela, qu'il existe une relation nécessaire entre la vitesse et la tension ou la densité (86) des molécules en chaque point; de telle sorte que, cette densité étant précisément la plus faible là où la vitesse est la plus forte et réciproquement, il en ré* suite nécessairement aussi que la force vive des différentes tranches élémentaires du fluide , comprises entre des sections perpendiculaires à l'axe de la pièce, est une quantité toujours très-faible comparativement à celle qu'auraient ces mêmes tranches, si, conformément au principe de Pascal , la densité du fluide était la même partout, et si sa vitesse était aussi, dans les différentes tranches, égale à celle du boulet; c'est-à-dire que la force vive totale possédée par le fluide est, en réalité, une fraction toujours très-petite du pro-
HÉCAIf. 1NDUSTR, T, I, H
duit de sa masse totale par le carre de la vitesse du boulet. Enfin il paraîtra non moins évident que, puisque la pression- contrôle fond de Tâme est plus forte que celle qui n lieu contre le boulet, la quantité de mouvement imprimée à la pièce (173) et qui produit le recul quand cette pièce est libre, doit être aussi plus grande que celle que reçoit le boulet ; de sorte que la vitesse du recul est, par an double motif (174), un peu plus forte que ne l'assigne le principe du n° 173.
185. Réflexions nouvelles sur la déperdition inévitable du travail dans la réaction des corps, et sur les courtes mais rapides détentes des gax. Ce ne serait pas ici le lieu d'entrer dans de plus grands développements sur les lois du mouvement et de l'action des fluides élastiques, lots qui se reproduisent, d'une manière analogue , dans le choc ou la réaction plus ou moins brusque (153 et suiv.) des corps élastiques; nous avons voulu seulement donner une idée de la nature des causes qui empêchent que la détente ait ton entier effet, et prouver surtout que l'inertie des molécules des gai, lorsque cette détente est rapide, peut exercer une certaine influence sur le mouvement transmis au boulet , et occasionner des pertes d'effet tout aussi appréciables que celles qui proviennent des fuites et des diverses résistances. Il est donc bien vrai de dire (140, 103 et suiv.) que la quantité de travail qui a été primitivement dépensée , pour changer la forme , la position ou en général l'état d'un corps , ne peut jamais être restituée d'une manière complète, ou sans qu'il y en ait une certaine portion de consommée, en pure perte, pour l'effet utile ; car il s'agit ici de gaz qui sont des corps éminemment élastiques.
A la vérité , on diminue considérablement les pertes de travail, occasionnées par l'inertie des molécules des gaz , en utilisant leur force de ressort contre des masses ou des résistances plus grandes que celles d'un boulet de canon ordinaire, et qui ne cèdent que lentement ou avec peu de vitesse à leur action ; mais alors les fuites augmentent rapidement avec le temps; et si, dans la vue d'éviter ces fuites, on cherche à supprimer le jeu du boulet, qui est véritablement indispensable, on augmente considérablement le frotte* ment de ce boulet contre l'Ame de la pièce. Enfin , en admettant même que ces différentes causes de perte n'existassent pas, il arriverait encore qu'on ne pourrait utiliser complètement le travail
recelé dans le volume primitif des gaz , puisque le cylindre où se fait la détente, ne saurait recevoir, dans l'exécution, qu'une longueur fort restreinte par rapport à celle que lui assigne la théorie pour le maximum d'effet.
Ces dernières réflexions sont principalement applicables à la détente de la vapeur, dont il sera fait mention an peu plus loin; mai s il ne faudrait pas en conclure généralement que la détente des fluides élastiques présente peu d'avantages, et que tout son effet est absorbé, dès les premiers instants où elle s'opère; car l'expérience prouve, même pour les gaz de la poudre dont l'action diminue" beaucoup (173) par le refroidissement, que, si cet effet a une limite nécessaire dans chaque cas, cette limite n'est pourtant point aussi rapprochée qu'on pourrait d'abord le présumer d'après ce qui précède. On peut admettre, par exemple , que la détente , dans le cas examiné ci-dessus, et quand le vent est réduit à ce qui est strictement nécessaire, ne cesse pas d'être avantageuse tant que le volume occupé par les gaz n'excède pas le 40* ou le 80 e du volume primitif. Nous verrons bientôt d'ailleurs que la limite relative aux machines à vapeur ordinaires est beaucoup plus restreinte.
On est obligé, dans l'artillerie, de se servir de pièces très-courtes, telles que les obusiers et mortiers qui servent à lancer des boulets creux ; il semblerait donc, au premier aperçu, que les effets de la détente devraient y être à peu près nuls, de sorte qu'à charge égale de poudre, la force viv-e imprimée au projectile y serait beaucoup moindre que pour les pièces longues, ce qui n'est pas. Mais on doit observer que , dans les premières pièces, la charge est toujours très* faible par rapport au poids de l'obus ou de la bombe, et que le rapport du volume occupé par la poudre au volume total de l'âme, ne diffère pas beaucoup de celui qui est relatif aux pièces longues : or il en résulte que les quantités de travail totales développées par la détente des gaz doivent, à circonstances semblables, être encore à peu près les mêmes dans les denx cas , et que la seule différence doit consister en ce que la force motrice, la pression sur le projectile, est glus grande dans le dernier et opère son effet total dans un temps beaucoup plus court. C'est ce que démontrent, en effet, les principes qui suivent.
186. Principes relatifs au travail produit par la détente des gas» L'on des plus importants d'entre eux consiste, lorsqu'on l'envisage
il*
sous son point de vue lé plus général , en ce que, quelle que soit la manière dont on fasse agir un volume donné de gaz comprimé à an certain degré, sur une résistance qui cède à son action , le travail développé sera, toutes choses égales d'ailleurs, constamment le même pour la même détente ou la même augmentation du volume primitif. Gomme ce principe a de nombreuses applications dans les arts, nous ne croyons pas inutile de nous arrêter un instant à sa démonstration , en prenant pour exemple le cas des mortiers.
On sait que, dans ces armes, la poudre est enfermée dans une cavité cylindrique particulière ABGD (fig. 42) , nommée chambre, et dont le diamètre est beaucoup plus petit que celui de l'âme ou du projectile; or, si nous faisons abstraction des propriétés physiques particulières de cette poudre , pour ne nous occuper que des effets de la simple détente des gaz qu'elle produit par son inflammation, si nous supposons , en d'autres termes, qu'elle soit remplacée par un volume égal de gaz comprimé à 1200 atmosphères, par exemple, comme dans le cas examiné plus haut , il nous sera facile de calculer la quantité de travail que , abstraction faite des pertes, ce gaz produira par sa détente dans l'intérieur de l'âme, en concevant toujours, pour la simplicité, le projectile remplacé par une sorte de piston ou cylindre de même diamètre que celui de l'âme, et qui serait terminé par une face plane MN du côté du fluide, hypothèse qui n'altère en rien les résultats, attendu qu'on prouve aisément , par les principes qui seront établis plus tard, que le travail , communiqué par le fluide, est indépendant delà forme du projectile pourvu qu'il remplisse exactement le contour de l'âme. Tout consistera donc encore à déterminer la valeur de la pression totale exercée, par le gaz , pour les diverses positions du plan M N.
Supposons, par exemple, que, le piston étant arrivé en h, le volume occupé alors par ce gaz soit égal à' 6 fois le volume- primitif ABCD; d'après la loi de Mariotte, la pression sur chaque centimètre carré de la surface de la section MN correspondante à b, sera aussi -de 1200 atmosphères ou 200"; par conséquent la # pression
MN a totale, sur cette section , dont la surface est y- . — 7— , que nous
représenterons par A, aura pour valeur A X 200", chaque atmosphère valant l k ,0$S. Supposons encore que le piston chemine joi<
qu'en V, de telle sorte que le volume devienne les ■!£££- de ce qu'il était en b, la pression sera donc aussi les "^ de A X 200*' ou A X 199", 8, et la quantité de travail , développée sur MN le long du petit chemin bb' que nous nommerons e, aura pour mesure très* approchée (72),
i W (A X 200at + AX 199»*,8) = iW',AX 599»t,8 = e X ÀXl99*t,9.
Maintenant , si nous considérons ce qui se passerait dans une pièce dont la section de l'âme serait beaucoup plus petite, et pour des positions du boulet répondant aux mêmes volumes du gaz ou aux mêmes degrés de détente ; que nous représentions pareillement par a l'aire de cette section , et par £ l'espace qui sépare les deux positions consécutives et correspondantes du piston , nous trouverons de même, pour la mesure du travail élémentaire développé par le gaz dans l'intervalle E dont il s'agit , E X a X 199*\9; de sorte qu'elle sera à la précédente dans le rapport de e X A à E X a * Mais ces produits mesurent les augmentations du volume des gaz dans les intervalles e, E, et nous avons supposé que ces augmentations étaient les mêmes; donc les quantités de travail développées, dans les deux cas, sont aussi égales entre elles; et, comme nos raisonnements sont indépendants du degré de petitesse de l'accroissement égal du volume des gaz, comme ils s'appliquent à tous les accroissements pareils successivement éprouvés par le volume primitif, et quelle que soit la manière dont varient les sections MN ou la forme des vases qui contiennent les fluides moteurs, il-en résulte une démonstration générale du principe ci- dessus qu'on peut énoncer ainsi :
Les quantités de travail totales, développées par un même volume de différents gaz sous une tension donnée , sont aussi les mêmes pour des détentes égales de ces gaz, quelle que soit d'ailleurs la manière dont s 9 opère cette détente par des moyens purement mécaniques, et pourvu que les circonstances soient semblables sous d'autres rapports.
Il est évident , en effet, que, si le jeu , le frottement des pistons et la vitesse de la détente n'étaient pas sensiblement les mêmes de part et d'autre, ou si la perte d'effet qui leur correspond différait beaucoup dans les deux cas, les quantités de travail , transmises à ces pistons , ne seraient pas non plus égales. Mais, quand il sera permis de négliger ces causes de pertes vis-à-vis de l'effet total, ou qu'on en tiendra compte, le principe sera rigoureusement vrai et
applicable, pourra toutefois que les gaz restent dans des circonstances physiques semblables ; car nous avons vu (26) que leur tension est susceptible de varier avec la' température , et que certains d'entre eux peuvent même se condenser ou se liquéfier par le refroidissement et la compression (8, 5 et 182).
La réciproque du principe ci-dessus se démontrerait d'une manière absolument semblable; et, en admettant les mêmes restrictions, on pourra dire que,
Pour* réduire de quantités égales un volume donné de différente ga% pris à une tension déterminée, il faut toujours dépenser la même quantité de travail, quelle que soit la manière dont on s'y prenne pour opérer mécaniquement cette réduction.
Ces principes sont évidemment des extensions de ceux des n° - 97 et 98, lesquels supposent également qu'il n'y ait aucun obstacle extérieur, aucune résistance étrangère, antres que ceux qui constituent la force de ressort et In force motrice directement opposée, qui viennent consommer inutilement du travail mécanique. Ces mêmes principes peuvent aussi être considérés comme de simples conséquences de celui de la réaction (64 et 68) ; car, puisque les gaz sont censés des corps parfaitement élastiques, il paraît, en quelque sorte, évident en soi que , pour amener leurs diverses molécules au même degré de tension ou de rapprochement , au même degré de mouvement , ou généralement au même état, il faut aussi dépenser la même quantité de travail de quelque façon qu'on opère mécaniquement ; et qu'à l'inverse, un gaz comprimé doit restituer, dans sa détente, une quantité de travail qui est uniquement relative à l'augmentation de son volume ou à la diminution de saten* sipn , toutes les fois que sa force vive n'a pas été sensiblement modifiée (142 et 184) ; mais c'est ce qui résulte aussi directement des propositions qui seront rigoureusement et généralement démontrées par la suite. Enfin, on conclut encore, de la démonstration ci-dessus, ainsi que des considérations mises en usage aux n*° 181 et suivants , que ,
Lorsque l'on comprime ou laisse détendre des ga% différents et pris à des tensions différentes, d'une même fraction de leur volume primitif, les quantités de travail développées contre la résistance, ou consommées par la puissance, sont directement entfe elles comme les produits de ces tensions et de ces volumes.
Cette proposition se démontre, en effet, aisément par la considéra-
tion géométrique de la courbe du travail relative à la détente des gaz (181, fig. 41), et elle servira utilement pour abréger les calculs dans certaines circonstances dont nous aurons des exemples dans ce qui va suivre.
DU TRAVAIL PRODUIT FAR l' ACTION MÉCANIQUE 01 LA VAPEUR.
187. Première idée du mode d'action de la vapeur dans les machinée. Le calcul du travail produit , par la détente de la vapeur, sur un corps qui cède à son action , s'effectue absolument de la même manière que pour l'air atmosphérique et les gaz permanents, quand on suppose que la vapeur ne subit point de refroidissement sensible pendant sa détente, et que par conséquent elle ne se condense ni en totalité ni en partie, ou ne se convertit pas à l'état liquide (S et 8). Cette supposition n'est pas permise dans tous les cas, mais elle Test sensiblement dans celui des machines ordinaires mues par la tapeur d'eau ; parce que la détente n'y est jamais poussée très-loin , et parce que , indépendamment des précautions qui sont prises pour empêcher le refroidissement extérieur des cylindres où se fait cette détente, la vapeur les traverse très-rapidement, et se renouvelle fréquemment ; de sorte qu'elle les maintient et les fait parvenir , au bout d'un certain temps, à un degré de chaleur très-peu différent de celui qu'elle possède elle -même* 11 est évident que cela n'aurait pas lieu pour des cylindres froids, et pour les premiers instants où Ton y introduirait de la vapeur; ces cylindres rempliraient la fonction des vases réfrigérante qui servent a condenser les vapeurs dans la distillation ordinaire par les alambics ; car, une partie de cette vapeur se trouvant réduite en eau, ce qui en resterait ne remplirait plus autant l'espace vide, et n'aurait plus le même degré de tension ; comme le prouvent très-bien les expériences entreprises par les physiciens, et dont les résultats seront exposés dans la seconde année de ce Cours. Ce que nous eu disons ici est seulement pour éviter qu'on fasse de fausses applications des calculs et des principes.
Concevez (fig. 48) un cylindre LMNO, en métal et parfaitement solide, dans lequel se meut verticalement un piston AD parallèle aux fonds inférieur et supérieur NO, ML, et dont la tige CD traverse ce dernier fond, par une petite ouverture bien garnie détoupes huilées et disposées de manière à empêcher la vapeur de se-
chapper. Concevez, de plus, que le fond du cylindre communique, par nn bout de tuyau EF, avec une chaudière fermée FJGH, demipleine d'eau et sous laquelle se trouve le foyer G, qui sert à chauffer cette eau et à la convertir en vapeur; supposez enfin que le tuyau EF puisse être fermé à volonté par un robinet en E , qui empêche la vapeur de se répandre sous le piston ÂB , quand cela est nécessaire. Enfjn, concevez un second tuyau IQK, muni également d'un robinet en I , et qui serve à faire communiquer le cylindre LMNO avec un second cylindre fermé (X), nommé cylindre de condensation ou condenseur, quand on veut se débarrasser de la vapeur que le premier contient , et opérer son refroidissement, dans(X), par une gerbe d'eau fraîche, très-di visée , qu'on y fait arriver ou qu'on y injecte continuellement; vous aurez ainsi une idée exacte, quoiqu'incomplète, de ce que c'est qu'une machine à vapeur à simple effet, mais qui sera suffisante pour comprendre parfaitement l'objet actuel de nos calculs.
188. Exemple de la manière de calculer le travail produit par la détente de la vapeur. Nous supposerons que la température, la capacité de la chaudière (26) et la génération delà vapeur y soient telles qu'en ouvrant le robinet en E (fig. 43), la tension de cette vapeur (37 et suiv.) se maintienne constamment à 3| atmosphères sous le piston AB; de sorte que chaque centimètre carré de sa surface inférieure sera pressé, de bas en haut, avec un effort de l k ,033 X^t = 8 k ,6155 = 3 k ,62 environ , pendant tout le temps où la communication sera établie entre le cylindre et la chaudière. Supposant, en outre, que le diamètre du piston soit de m ,8 ou 80 cent., sa surface sera de 3,1416 . (40) a = 6026,56 centimètres carrés, et la pression totale qu'il supporte de 5026,56 X $ k ,6155 = 1817-4 kil à très-peu près. En vertu de cette pression , il sera capable de soulever un poids ou de vaincre une résistance égale qui agirait à l'extrémité supérieure D du piston , et par conséquent de transmettre, à cette extrémité, une quantité de travail qui sera mesurée (71) par le produit de cette pression et du chemin parcouru , par le piston , pendant le temps où la communication avec la chaudière reste ouverte.
Par exemple si, à l'instant où le piston est arrivé en ÀB, à une distance aO du fond du cylindre, égale à m ,32, on ferme le robinet en E, la quantité de travail , produite par la vapeur agissant avec
toute sa tension de 3 al 7 sur le piston , sera égale à 18174 k X m ,32 = 5816 km environ. Maintenant, si nous admettons qu'on laisse détendre la vapeur jusqu'à occuper un volume égal à 4{ fois environ son volume primitif représenté ici par Oa, le dessous du piston s'élèvera aussi à une hauteur Oe égale à 4£ fois Oa = m ,32 , ou à l m ,44 ; or il sera facile de calculer, par la méthode du n° 180 , quel sera, dans cette hypothèse, le travail total communiqué par la vapeur au piston.
Pour cela, divisons la longueur ae = l m ,44 — m ,32 = l m ,12 de la course du piston , en un nombre pair de parties égales, par exemple en 4 parties, aux points b, c et a*; chacune d'elles vaudra doncf l m ,12 = m ,28 ou 28 centimètres. Et, en désignant par P la pression totale au point a, qui est de I8174 k , on pourra former, la table suivante des espaces parcourus et des pressions successivement exercées par la vapeur, aux différents points, en se rappelant toujours la loi de Mariotte (16) relative à la compression des gaz, et qui est ici applicable également (186) à la vapeur d'eau :
positions du piston , . . . a 9 b, c, d, e f
espaces parcourus, . • . 32°, 60<>, 88<>, 116c, 144o,
pressions correspondantes, P, 11 P, !i p, -Li. p, -J» P,
ou , simplifiant , P, -» 8P, -I-8P, J- 8P, -L.8P,
w * * 7 15 ' a a 7 ag ' 36'
ou enfin, 18174*, 9692^,8, 6608V, 5013Vj 4038^,7,
no des pressions, 1, 2, 3, 4, 5
Donc on aura
kii
somme des pressions extrêmes, = 18174^ -H 4038*,7 r= 32212,7
2 fois celle des autres pressions impaires, = 2 X 6608^,7 = 13217,4
4 fois celle des pressions paires, . . . . = 4(9692^,8 -+- 5013^,5) = 58825,2
Total 94255,3
Par conséquent la valeur approchée du travail produit par la détente de la vapeur, sera (180)=^ m ,28 X 9425& k ,8 =8797 km , en nombre rond. Kn y ajoutant le travail de 5816 km , produit, avant l'instant de la détente , comme on Ta trouvé ci-dessus, on aura, pour le travail total communiqué par la vapeur pendant la course entière du piston, H61â km = 146,13 -{-7 146, 13» 194,84 chevaux (82).
189. Méthodes abrégées de calcul employées dans l'industrie; cotn-
par ai son de ces méthodes avec la précédente* Si , pour obtenir une première valeur approchée du travail produit pendant la détente, on se fût borné à partager l'intervalle ae en deux parties égales au point c, on eût trouvé , pour cette valeur» . . • i ac (18174 k -f 4038 k ,7 + 4 X 6608\7) = 1 m ,86 X 48647 k ,8 = 9081 km , quantité de —• environ plus forte que celle 8797 km trouvée parla première opération, et à laquelle on pourrait, pour la simplicité des calculs, s'arrêter dans l'estimation pratique de la force des machines à vapeur. En effet , si on ajoute ce travail à celui qui a été développé avant l'instant de la détente , on trouvera au total 14897 km , qui ne surpasse que de-— environ le total relatif au premier mode d'opérer, et qui diffère extrêmement peu du véritable, comme on peut s'en assurer en subdivisant encore les intervalles ah, &c... en deux ou trois parties égales.
Les mécaniciens et les constructeurs de machines à vapeur se contentent souvent de prendre, pour la valeur du travail relatifâ la détente, le produit de la demi -somme ou de la moyenne des près» sions extrêmes par la longueur de l'espace parcouru pendant cette détente. Ainsi, dans notre cas, ils obtiendraient
{ae (18174* -f 4038\7) = 1»,12 X 11106 k ,3B = 12439^,
quantité qui surpasse de beaucoup celle 8797 km qui résulte de nos calculs, et qu'on ne saurait adopter que comme une approximation très-grossière, et d'autant plus insuffisante que, règle générale, il vaut mieux estimer la force des moteurs au-dessous qu'au-dessus de sa véritable valeur, afin de ne pas s'exposer à des mécomptes data l'établissement des machines de l'industrie.
On voit bien d'ailleurs que cette méthode, qui revient à prendre, pour l'aire du trapèze curviligne aa'cee (fi g. 43), la mesure da trnpèie rectiligne aaee, ou à supposer que le travail de la détente s'opère en vertu d'une pression constante (171), moyenne arithmétique entre les extrêmes, on voit bien, dis- je, que cette méthode n'est guère plus simple que celle qui consiste à considérer une troisième pression intermédiaire ce, et que nous avons proposée ci-dessus comme suffisamment exacte dans les applications ordinaires.
190. Notions plus étendue* sur les machinés à vapeur à simple et
à double effet* Nous avons laissé ci-dessus (187) le piston au moment où il est parvenu au haut de sa course : or il faut concevoir qu'à cet instant, le robinet en I s'ouvre et laisse passer la vapeur dans le condenseur (X) par le tuyau 1QK ; le robinet, en E, restant toujours fermé, et la tension diminuant considérablement sous le piston, ce dernier descend par son poids ou par le jeu de la machine qui reçoit le mouvement du sommet de la tige CD. Le dessous du piston étant donc arrivé au bas de sa course en NO, il faut supposer que le robinet, en I, se ferme aussitôt, et que celui, en £, s'ouvre pour laisser arriver, de nouveau, la vapeur de la chaudière sous le piston, et recommencer le même travail que dans l'ascension pré* cédente, et ainsi de suite alternativement. C'est, en effet, là ce qui se passait dans les anciennes machines à simple effet, diles de JVeto* comen; seulement la vapeur n'y agissait pas avec détente; elle affluait en plein, de la chaudière, pendant toute la course du piston ; enfin la condensation de la vapeur s'opérait dans l'intérieur même du cylindre LM NO, ce qui le refroidissait considérablement à chaque oscillation, et produisait (187) un déchet énorme de la force motrice.
On doit à Watt, célèbre mécanicien anglais, l'invention et l'usage du condenseur séparé (X) ; et on lui doit également l'idée d'avoir fait agir la vapeur aussi bien dans la descente que dans la montée du piston ; ce qui constitue véritablement les machines dites à double effet. Pour avoir une idée des moyens qu'il employa, afin d'atteindre ce but, il faut concevoir un troisième tuyau TSR, qui mette en communication la chaudière FHGJ avec le dessus du piston, au moment où celui-ci est parvenu au haut de sa course, et qui porte un robinet en R pour intercepter la vapeur à l'instant convenable de la descente du piston ; il faut aussi concevoir un 4 e tuyau UVZ avec un robinet en U, qui serve, comme le tuyau IQR, à évacuer la vapeur dans le condenseur (X) au moment où, le pistou étant arrivé au bas de sa course, il doit de nouveau remonter par Faction de la vapeur qu'on fait affluer au-dessous, à l'aide du tuyau EF, alors ouvert en E. Enfin il faut concevoir que les mêmes choses, que non* avons expliquées précédemment pour la montée du piston et la vapeur agissant en dessous, se reproduisent, de la même manière, pour sa descente et la vapeur qui agit alors au-dessus; de telle sorte que les robinets E, U, qui s'ouvrent simultanément pour la montée, restent au contraire fermés pendant toute la descente,
et qu'à l'inverse, les robinets, en I et R, qui se ferment à la fois pour toute la montée, s'ouvrent au contraire à l'instant de la descente.
191. Du travail effectif des machines à vapeur, à basse pression, sans détente, et des effets de la pompe à air. Dans les machines qui portent encore, de nos jours, le nom de Watt, la vapeur agit en plein, ou sans détente, pendant chaque course du piston, c'est-àdire au-dessous pendant la montée et en dessus pendant la descente, de sorte que sa tension est constamment la même que dans la chaudière; de plus, cette tension ne surpasse que, de très-peu, celle d'une atmosphère (d'un quart environ), ce qui a fait nommer ces machines, machines à basse pression et sans détente. On voit, d'après cela, combien leur calcul devient facile à l'aide du principe du n° 71, puisque le travail produit, soit pendant la montée, toit pendant la descente du piston, a pour mesure le produit de la longueur effective de sa course par la pression totale avfexerce, sur sa surface, la vapeur qui afflue de la chaudière, pression que nous savons bien calculer (188).
Toutefois, il est essentiel d'observer que, pendant sa montée comme pendant sa descente, le piston devant chasser, devant loi, la vapeur qui se rend dans le condenseur (X), il éprouve, de la part de cette vapeur, une certaine résistance dont il faut nécessairement tenir compte dans les calculs. En effet, cette vapeur ne se réduit pas instantanément ni complètement à l'état liquide ou en eau; le refroidissement n'est pas assez considérable pour que cela ait lieu; et, quand bien même il le serait assez, l'air atmosphérique, qui est amené continuellement, de la chaudière, avec la vapeur, et qui provient de ce que l'eau ordinaire en contient toujours une petite quantité entre ses molécules, de la même manière que le vin de Champagne mousseux, par exemple, contient du gaz acide carbonique (3), cet air, disons-nous, empêcherait encore que le vide (36) fût parfait dans le condenseur, ou que la tension y fût totalement anéantie. Bien mieux, l'eau et l'air s'accu roulant sans cesse dans ce condenseur, la tension y croîtrait de plus en plus, de manière à empêcher tout à fait le jeu de la machine ; c'est pourquoi on ne manque jamais, d'après Watt, de joindre à cette machine une pompe séparée, dite pompe à air, et dont le piston, mis en mouvement par elle, sert à aspirer l'air et l'eau du condenseur (X) an
moyen d'un petit tnyau de communication, débouchant en Y. Malgré cette précaution importante, il reste encore assez de vapeur et d'air dans la capacité (X). pour que la tension, exercée contre le piston moteur AB, s'élève dans les bonnes machines ordinaires, de rz à | d'atmosphère ou de k ,10 à k ,20 par centimètre carré de surface; il en résulte donc,* qu'il faudra diminuer la quantité de travail mentionnée ci-dessus, de toute celle qui est développée, en sens contraire du mouvement, par la pression dont il s'agit ; ce qui ne présente point de difficulté, comme on le verra tout à l'heure (193).
Mais ce n'est pas là tout encore, le piston AB laisse fuir une certaine portion 'de la vapeur qui produit son mouvement; il frotte contre le cylindre, quelle que soit la perfection avec laquelle son intérieur ait été dressp ou alèse, et ce frottement est ici très-considérable; enfin la machine se compose de beaucoup d'autres pièces qui frottent également, et elle doit, en outre, faire mouvoir la pompe à air; de sorte qu'il ne parvient réellement à la roue dont l'arbre porte le volant de la machine, et de laquelle se prend le mouvement-moteur dans les applications de la vapeur aux diverses machines industrielles, il ne parvient, disons-nous, à cette roue qu'âne portion assez faible du travail qui a été directement développé par la vapeur contre le piston *. Dans le cas des bonnes ma* chines à vapeur ordinaires de Watt, de la force effective de 10 à 12 chevaux, on devra compter seulement sur les 0,55 = 77 du travail de la vapeur, calculé comme il a été dit plus haut : pour les machines beaucoup plus fortes, les résistances et pertes sont proportionnellement moindres, parce que les plus influentes d'entre elles s'exercent simplement sur le pourtour ou la circonférence des pistons, tandis que la pression motrice agit sur la surface entière de ces mêmes pistons : on peut prendre alors, pour la valeur de la quantité de travail utile, les 0,6 ou { de celle que donne le calcul. Enfin, par un motif tout opposé, 011 devra, pour les machines de 6 chevaux et au-dessous, prendre les 0,5 ou ~ seulement de ce môme
* Nous n'avons pas mentionné l'influence qui pourrait être exercée par l'inertie propre des molécules de la vapeur (184)* parcelle du piston et des diverses autres pièces de la machine ; car, d'une part, le mouvement est toujours ici très-lent ou surpasse généralement peu la vitesse de i m par seconde (voy. la fin du n°4Hté ), et, de l'autre, ce mouvement se rapportant à ceux que nous avons nommés périodiques (49), il n'y a, sous ce double rapport (141 et i5*), aucun motif. d'en tenir compte dans les calculs.
travail. Ces chiffres doivent être considérés d'ailleurs oomme des données fondées sur la comparaison des résultats du calcul à ceux do l'expérience ; nous les rapportons ici pour que le lecteur puisse, dès à présent, appliquer utilement ces calculs à la pratique, et sans craindre, de commettre des erreurs ou des méprises graves.
193. Notions relatives aux machines à vapeur, à moyenne pre$$iôn, avec détente. On appelle ainsi les machines a double effet dans les* quelles la vapeur agit à une tension de 3 à 4 atmosphères au plus; ces machines ont pris le nom de IVoolf t\\\\, le premier, a réalisé et rois à profit les avantages de la détente déjà annoncés par Watt; elles sont aujourd'hui généralement adoptées en France, où elles ont été introduites, depuis 1815, par M. Edwards, mécanicien anglais très-habile, et elles ne diffèrent absolument des machines de Watt, dont il vient d'être question, qu'en ce qu'elles ont deux cvlindres et deux pistons moteurs distincts ; de sorte que la Tapeur, au lieu de se rendre tout d'abord de la chaudière au cylindre LMNO (fig. 4-4), n'y parvient qu'après avoir agi, sans détente, sooi le piston A'B'd'un premier cylindre L'M'N'O', dont la hauteur est k peu près la même, mais dont le diamètre est beaucoup plus petit et ordinairement moitié de celui» du grand. Le mouvement des deux pistons AB, à'B' est lié à celui d'une même machine par le moyen de tiges, de balanciers, etc., de façon qu'ils s'élèvent ou s'abaissent, à chaque instant, de quantités à peu près' égal es.
La vapeur arrive dans le cylindre L'M'N'O', et en sort exactement de la manière qu'il a été expliqué ci-devant (190), si ce n'est qu'en quittant la chaudière, elle se rend d'abord dans un réservoir particulier qui enveloppe, de toutes parts, les deux cylindres, et qui est formé d'une sorte de chemise, en fonte de fer, exactement fermée i l'objet de ce réservoir enveloppe est de garantir la vapeur qui agit sur les pistons des cylindres moteurs, de tout refroidissement extérieur et d'assurer ainsi (184 et 187) les effets de sa détente. Mais, comme c'est au détriment du calorique contenu dans la vapeur qui arrive delà chaudière, qu'on obtient un tel avantage, cette disposition, à laquelle Woolf et ses successeurs attachent une certaine importance, n'est pas très-heureuse en elle-même, et il semble qu'il eût été beaucoup plus convenable, dans tous lea cas, de faire servir au même objet, la vapeur qui a déjà produit son effet sur le$ pistons, en la faisant circuler dans le réservoir enveloppe après sa sor-
tie du grand cylindre LMNO. Quoi qu'il en soit, on remarquera que la vapeur arrive, du petit cylindre L'M'N'O', dans le grand cylindre LMNO, par le moyen des tuyaux l'G'L, U'G'O, qui mettent le dessous du piston AB en communication avec le dessus du piston A'B', ou réciproquement; et qu'après avoir agi par détente sous ce dernier piston, elle se rend directement au condenseur (X), par lea moyens déjà expliqués dans le n° précédent.
Il nous suffit ici que Ton comprenne bien le rôle que joue la vapeur dans cette disposition ; nous entrerons dans les détails descriptifs nécessaires quand il s'agira d'étudier spécialement les propriétés de la vapeur considérée comme moteur des machines de l'industrie. Or, d'après ce qui a été dit du cas (190) d'un seul piston, on conçoit très-bien, par exemple, que les robinets en R\ 1', I, étant fermés, et les robinets en U', U étant ouverts nu moment où les pistons A'B' et AB, après être arrivés à la fois au bas ou à la fin de leur course descendante, vont en recommencer une autre nécessairement as* cendante ; on conçoit, dis-je, très-bien que le piston A'B', tout en recevant par dessous l'action de la vapeur qui afflue constamment par le tuyau EF, va chasser devant lui la vapeur placée au-dessus et qui y est arrivée dans la course descendante, de manière à en être pressé, en sens contraire, et à la refouler de plus en plus sous legrand piston AB, à mesure que, l'un et l'autre, ils s élèvent d'un mouvement commun dépendant des résistances de la machine. Le piston AB va donc aussi être poussé, de bas en haut, avec un effort mesuré, à chaque instant, par la tension de la vapeur qui occupe à la fois les deux capacités A'B'L'M', ABON ; et cette tension qui, en vertu du principe de Pascal (14), se répartit encore uniformément sur tous les points, attendu que la vitesse du mouvement est ici trèsfaible (184 et 191), sera, par suite de la loi de Mariotte (16), toujours relative au rapport du volume qu'elle occupait d'abord dans la capacité entière du petit cylindre L'iYL'N'O', au volume total A'B'L'M' -f- ABON qu'elle occupe maintenant à la fois, dans les deux cylindres. Enfin on conçoit que le piston AB chassant devant lui, dans le condenseur (X), la vapeur qui est au-dessus, il s'en trouve pressé avec un effort répondant à une tension d'environ (191) k , 15 {fer centim. carré.
Maintenant, si Ton suppose les pistons arrivés au haut des cylindres, et que les communications qui étaient fermées s'ouvrent, et que celles qui étaient ouvertes se ferment, la vapeur de la chau-
dière affluera au-dessus du piston A'B' par le tuyau TR»et chassera, dans le second cylindre, celle qui est au-dessous, de sorte que les mêmes choses s'opéreront en sens inverse.
Quelle que soit cette complication apparente d'effets, le calcul dn travail transmis aux pistons ne présente pas plus de difficultés que dans les suppositions très-simples du n° 188 ; bien mieux, il n'y a absolument rien à y changer; car, en vertu des principes du n° 186, nous sommes sûrs que, si la tension et le volume primitifs de la vapeur, introduite, à chaque oscillation, de la chaudière dans les cylindres, sont les mêmes de part et d'autre, et qu'il en soit ainsi également du volume occupé par cette vapeur à la fin de son action, c'est-à-dire, à l'instant où elle va se rendre dans le condenseur (X), la quantité totale de travail, qu'elle aura transmises la machine par l'intermédiaire des tiges de pistons, sera aussi lt même dans les deux cas *.
* La vérité de cette conséquence particulière est très-facile à établir directement. Eo eflfft, soit A la surface, en mètres carrés, du piston AB, A' celle du piston A'B', 0» «*» les espaces infiniment petits Aa, ka', décrits, pendant un même instant très-court , par ces mêmes pistons; soit enfin p la moyenne valeur de la pression variable (7a) exercée , par la Tapeur, dans la durée de cet instant et pour un mètre carré de la surface des pistons, pression qui est la même pour tous deux («4)> et qui agit pour augmenter le travail de AB v etpour diminuer celui de A'B'; la pression totale sur AB sera/?A, et sur A'B',/>A'. Par conséquent, le travail total, produit pendant que le volume ABON+A'B'L'M' devient abON-\-a'b'L'M', ou augmente de la quantité a6BA— a'ô'B'A', aura pour mesure (7a) p. A X e — p . A' X «' = p ( A X « — A'X «*) ; mais les produits A X «, A'X* sont respectivement égaux aux volumes a6BA, a'o'B'A'; donc le travail dont il s'agita, pour valeur, le produit de la pression p par l'augmentation de volume de la vapeur comprise entre les deux pistons. Ce produit étant aussi (186) la mesure du travail qui serait développé, dans le cas d'un seul cylindre (188), par une égale détente d'un rolame égal de vapeur pris à la même tension , il est clair que tous les travaux partiels analogues seront aussi égaux , et que conséquemment le travail total sera le même , de part et d'autre , si la tension et le volume sont aussi les mêmes à la fin de la détente.
Cette proposition est , comme on le voit, entièrement indépendante des diamètres et de la longueur de course des divers pistons; et il en résulte, en particulier, que la mé« tbode fort simple que nous avons prescrite, dans le texte, pour calculer le travail des machines à détente et à deux pistons , doit , quant aux résultats , coïncider parfahemeat avec la formule approximative qui a été proposée, pour le même objet , par M. de Prony, •dans son intéressant Rapport sur les machines à vapeur du Gros-Caillou , à Paris, inséré au tome îa des Annales des mines, année 1826. Celte formule basée, comme dos règles de calcul, sur la méthode des quadratures de Thomas Simpson (180), suppose d'ailleurs qu'on partage seulement en deux parties égales l'intervalle relatif ans poritioas extrêmes de la course des pistons ; ce qui conduit naturellement (189) à des résultats aa peu plus forts que les véritables, principalement pour les détentes qui excèdent 4 fou to volume primitif de la vapeur.
193. Calcul de la force des machines à vapeur à moyenne pression avec détente. Supposons que la tension dans la chaudière soit la même que dans le n° 188, et que le volume de vapeur, à cette tension, introduite, par chaque demi -oscillation des pistons AB et A'B', dans le cylindre L'M'N'O', volume qui a pour mesure la surface de A'B' en mètres carrés par la longueur entière de la course, soit préciséinent égal au volume de vapeur introduit, de la môme manière et avant l'instant de la détente, sous le piston AB (fi g. 43), du n° 188. Supposons enfin que le volume de la détente soit également À 7 fois le volume primitif dans les deux cas, ce qui revient évidemment à admettre que le volume cylindrique de la course du grand piston AB (fig. 44), soit égal à 4 { fois celui de la course du petit piston A'B', et par conséquent aussi égal au volume cylindrique do celle du piston de la fig. 43, il en résultera (188) que la quantité de travail, transmise par la vapeur, à la machine, pendant la demi-oscillation dont il s'agit, aura pour valeur totale 14618 kna . Mais, attendu (191) que la vapeur du condenseur presse le dessus dupiston AB (fig. 44) avec un effort d'environ k ,15 par centimètre carré, il faudra diminuer la quantité de travail ci-dessus, de toute celle que développe, en sens contraire du mouvement, ce même effort pendant la course entière de AB ; or cette dernière Quantité de travail est précisément égale encore à celle que développe la vapeur du condenseur contre le piston de la fig. 43; donc elle a pour valeur, d'après les données du n° 188,
k ,15 X 5026,86 X l m M — 1086k m environ ;
de sorte que le travail de la vapeur se trouve réduit à
14613 k m — 1086 tm = 13527 k »
pour une demi-oscillation des pistons, et à 2 X ^3527t m = 27054k m pour une oscillation entière, puisque le travail produit pendant la montée est exactement le même que celui qui est produit dans la descente. Partant, si la machine fait régulièrement 15 de ces oscillations entières par minute ou par 60", le travail produit, dans* chaque seconde, sera égal à ££ 27054 km = £ 27054 km = 6768 km ,5, ce qui équivaut à une force de f 67,635 = 90,18 chevaux-vapeur. Les machines de Woolf, à deux pistons moteurs, étant composées d'un plus grand nombre de pièces que celles de Watt , qui n'en ont qu'un seul, le frottement y a aussi plus d'influence, et l'on peut
VÉCAIf. IÏUWSTR. T. !« > 19
admettre que le travail de la Tapeur y eut réduit aux 0,48 de sa Ta leur pour les machines de la force de 10 à 12 chevaux, aux 0,50 pour celles qui sont beaucoup plus puissantes, et aux 0,40 pour celles qui n'ont que la force de 15 à 6 chevaux. Nous avons trouvé ci-dessus, pour le travail développé, par la vapeur, dans chaque seconde, la quantité de 90,18 chevaux ; donc le travail effectivement transmis a l'arbre du volant de la machine (191), équivaudra à la force de 7 90, 18 = 45 chevaux au moins, puisque cette dernière quantité surpasse de beaucoup 12 chevaux.
C'est de cette manière qu'on devra se conduire dans tous les cas où il s'agira de' calculer la force d'une machine à vapeur, à détente, quelque compliquée qu'elle soit. On n'aura qu'a s'informer exactement ou à s'assurer, par des mesures directes, 1° de la tension de la vapeur dans la chaudière ; 2° du volume de cette vapeur introduit à chaque course des pistons; 3° du rapport de ce vol a me à celui qu'elle occupe à la fin de la détente; 4° enfin de la tension dans le condenseur, qu'on estimera d'ailleurs approximativement (191), si on manque de mesures directes. Cela étant, on supposera tout simplement que ce même volume de vapeur est introduit sous le piston d'un cylindre unique de diamètre quelconque, et l'on agira comme il est expliqué dans le n° 188 et celui-ci.
194. Des machines à haute pression, sans condenseur. Ces machines ne diffèrent des précédentes que parce que la Tapeur y agit à une tension de 6 à 10 atmosphères, et qu'on y a supprimé le condenseur, qui n'a d'utilité réelle que quand on peut se procurer, sans trop de difficultés, une certaine quantité d'eau fraîche; car cette eau devant être renouvelée à-chaque oscillation de la machine, il en faut souvent une masse très-considérable, ainsi qu'on le verra dans la seconde année de ce Cours. L'usage de ces machines s'est principalement borné, jusqu'ici, à mouvoir des chariots aur les chemins de fer, ce qui les a fait nommer locomotives, et c'est À l'iagénieur anglais Trevilhick qu'on doit celte application. Néanmoins Olivier Evans, dans les États-Unis d'Amérique, les a employées comme moteurs stationnaires des autres machines de l'industrie } mais elles sont peu usitées en France,, à cause des incorrvénienl* et des désavantages qu'elles présentent. On conçoit, en effet, que les dangers doivent augmenter avec la tension de la vapeur, et que les fuite», les frottements qui ont lien autour des pistons, doivent y être
aussi plus considérables que dans les machines à basse ou à moyenne pression ; et, comme la face du piston opposée à Faction de la vapeur y est en communication directe avec l'air extérieur par les soupapes U et I (fig. 43 et 44), qui sont alors ouvertes, il résulte, du principe de Pascal (14), que cette face est re poussée, en sens contraire du mouvement, avec une force (87) d environ l k ,033 par chaque centimètre carré de surface; ce qui occnsiogne un déchet de travail énorme, qui n'a pas lieu ou même degré (191), danè les machines avec condenseur.
D'après cette courte notice sur les machines à haute pression , on comprend que le calcul du travail qu'elles produisent peut s'effectuer absolument de la même manière que pour les autres machines, soit qu'il y ait ou qu'il n'y ait pas détente, et qu'il s'agit seulement de remplacer la tension k ,15, provenant du condenseur, par l k ,033 environ, et de diminuer le résultat obtenu dans une proportion un peu plus forte, vu l'augmentation du frottement des pistous, des fuites de la vapeur et du refroidissement beaucoup plus grand qu'elle éprouve à la haute température qui répond à 8 ou 10 atmosphères. Ce ne sera pas trop, sans doute , de supposer que l'effet utile est réduit aux 0,4 ou même aux 0,35 du résultat donné par le calcul , selon les circonstances plus ou moins favorables de l'établissement de la machine.
Un ingénieur français, M. Friraot, a imaginé, dans ces derniers temps, d'utiliser l'action de la vapeur qui , dans les machines à haute pression s'échappe, en pure perte, dans l'atmosphère, en la faisant passer directement, après sa sortie du cylindre moteur, sous le piston d'une machine à détente ordinaire avec condenseur. 11 est évident qu'on n'éprouvera pas plus de difficulté à calculer, pour ce cas, le travail utile de la vapeur, si on connaît bien les conditions de son emploi ; car il s'agit véritablement de deux machines distinctes, dont l'une reçoit directement la vapeur de la chaudière, et l'autre la reçoit de la première machine, sous une tension et un volume déterminés. On appliquera, d'ailleurs, aux résultats séparés des calculs, les différentes corrections qui, selon ce qui précède, sont relatives à chaque genre de machines, et au mode plus ou moins avantageux de l'emploi de la vapeur.
lôë. Limite ntile de la détente dans tes machines à vapeur. Revenons aux calculs et aux considérations très-simples du n» 188, il
nous sera facile ensuite d'étendre les conséquences de nos raisonnements au cas des machines à deux cylindres. Supposons donc que le cylindre LMNO (fi g. 43), étant prolongé indéfiniment rers sa partie supérieure, on laisse In vapeur se détendre, de plus en plus, au-dessous du piston AB ; il est clair que le travail s'accroîtrait sans cesse, si à mesure qu'elle augmente de volume , cette vapeur ne perdait pas de son énergie naturelle, par suite du refroidissement plus ou moins sensible qu'elle éprouve , ou des fuites qui se font toujours entre le piston et le cylindre; négligeons néanmoins ces causes de perte, et voyons jusqu'à quel point la détente peut être prolongée sans inconvénient.
S'il n'y avait pas de frottements dans la machine, ou si ces frottements étaient très-faibles, il conviendrait de laisser la vapeur se détendre jusqu'à l'instant où la pression deviendrait égale à celle, (^,15, qui a lieu dans le condenseur (191) : la tension qui a lieu dans la chaudière, étant (188) de 3 k ,615$, on voit que le volume de la vapeur introduite à chaque demi- oscillation , devrait être les
ak 6 |ug = qqTkk s== ï* environ de 1 espace cylindrique total décrit par le piston AB, ou, en d'autres termes, la hauteur totale de la course de ce piston , devrait être 24 fois celle qui répond à l'instant où la communication EF se ferme. Mais, comme les résistances de toute espèce, inhérentes à la machine, consomment ici environ la moitié (191 et 198) du travail de la force motrice, on comprend aisément qu'une telle augmentation de la détente serait non-seulement sans utilité, mais même nuisible à l'effet de la machine, vu que ces résistances resteraient à peu près les mêmes pour les diverses positions du piston. En effet, puisque les résistances en question absorbent, à elles seules (19S), la quantité de travail j 13B27 km = 6763 km ,5 pendant la longueur de course Oe= l m ,44, leur valeur moyenne (71), qui est sensiblement constante pendant cette même course, sera
environ lm ^ = 4697 kil ; or on voit , par le tableau du n* 188
et sans aller plus loin, que la pression, exercée par la vapeur, ne serait pas même suffisante pour vaincre cette énorme résistance à l'instant qui répond à la position e du piston , où le volume de la vapeur est devenu 4 f fois son volume primitif répondant as
point a de la course. A plus forte raison , serait-elle incapable de communiquer un excès de travail à la tige CD du piston , si sa détente était prolongée au delà du point e.
Ce serait donc une disposition très-vicieuse que celle où on laisserait développer la vapeur beaucoup au delà de 4 fois son volume primitif, dans une machine à un seul cylindre. A la vérité, on pourrait, dans la vue de diminuer le travail des résistances nuisibles, diminuer plus ou moins la longueur de course du. piston, et se contenter d'augmenter le diamètre du cylindre de façon que le volume de vapeur, primitivement introduit à chaque demi-oscillation, occupât moins de hauteur sous ce piston, par exemple une hauteur égale à la moitié ou au tiers de Oe, tout en produisant ensuite une • quantité égale de travail par sa détente; mais on augmenterait par là beaucoup aussi la surface frottante du piston contre l'intérieur du cylindre, et les pertes dues à l'augmentation des fuites ou à la pression produite par la vapeur du condenseur sur la face opposée de ce piston.
Ces divers inconvénients n'ont pas lieu, au même degré, dans les machines à deux cylindres (fig. 44); car il suffît, pour augmenter la détente, d'augmenter convenablement le diamètre du grand cylindre, sans rien changer au petit ; de sorte que la vapeur agit avec les mêmes avantages avant l'instant de sa détente, et n'éprouve une diminution d'effet qu'à partir de son entrée dans le grand cylindre. C'est là probablement un des motifs qui, en France, ont fait, malgré leur complication, accorder la préférence aux machines à deux cylindres sur les autres; d'autant plus que, dans ces machines, la pression varie moins que dans celles-ci , attendu , qu'au moment même où la pression est la plus faible sur le grand piston, elle est la plus forte sur le petit, et réciproquement; ce qui tend à régulariser beaucoup le jeu des pièces de la machine , et fait épargner (95 et 96) une portion plus ou moins grande du travail de la vapeur.
Toutefois l'augmentation de la détente , au delà d'un certain terme, n'en occasionne pas moins, dans les différents cas, un surcroît de pertes de travail , qui absorbe, en totalité, les avantages propres à cette détente, et ceci explique suffisamment pourquoi les artistes habiles, qui construisent les machines à vapeur d'après le système de Woolf, ne prolongent jamais la détente au delà de 4. à 8 fois le volume primitif, malgré l'exagération des promesses que leur font les théories abstraites de beaucoup d'auteurs, qui oublient
m MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
de prendre en considération, dans la recherche du mmsimum d'effet de la vapeur, l'énorme réduction qu'il éprouve de la part des résistances de toute espèce. Nous ne pouvons d'ailleurs présenter ici le calcul de ces résistances et du maximum d'effet qui y est relatif, il ne* serait pas à sa place; nous y reviendrons, avec quelques détails, dans la partie de ce Cours qui est spécialement destinée à 4'examen des moteurs *.
196. Méthode abrégée pour calculer le travail des machines à vapeur. Nous avons donné, dans ce qui précède (193), un exemple delà manière dont on doit s'y prendre pour calculer, dans chaque cas, la quantité de travail produite par un volume donné de vapeur agissant sur les pistons d'une machine ; mais il ne sera pas inutile de faire connaître un moyen d'abréger les calculs relatifs à la détente, en se servant du dernier des principes énoncés au n° 186. On voit en effet (192), qu'il suffira de calculer, une fois pour toutes , une table qui donne le travail transmis au piston d'une machine à détente quelconque, pur un certain volume do vapeur prise a une tension déterminée, et pour les diverses hypothèses qu'on peut faire sur cette détente ou sur le rapport du volume occupé par la vapeur au moment où elle va se rendre au condenseur, à celui qu'elle occupait à l'instant où elle s'est détendue sous le piston de la machine; car on en conclura facilement ensuite, dans chaque cas particulier et par une simple proportion , la valeur même du travail que, dam toute autre circonstance, elle serait capable de développer sur les pistons d'une machine différente.
Supposons, par exemple, que nous sachions, d'après la table, qu'un mètre cube de vapeur introduite , à la tension atmosphérique ordinaire, sous les pistons d'une machine dans laquelle la détente est de 4~ fois le volume primitif, communique à ces pistons, dans uns course entière ou demi-oscillation de la machine, une quantité de
* Voilà près de trois années que nous exposons les idées qui précèdent dans notre Cours de l'École d'application de l'artillerie et du génie ; nous avons même tente , dans les leçons de Tannée dernière, de donner la formule complète qui exprime l'effet utile des machines à deux .cylindres avec détente, en tenant compte de tous les genres de résistances. II en résulte que, pour chaque disposition particulière des pièces et pour une dépense du travail moteur déterminée , cette délente, ou le rapport des vol urnes da grand et du petit cylindre, a une limite a*sei rapprochée ; que la vitesse des pistous daift être généralement très-petite, sans nuire à la régularité du mouvement; que la longueur du balancier doit être au contraire la plus grande possible sans nuire à la solidité et sta* tntratfter dans de trop fortes dépenses, etc.
travail représentée par F, et qu'il s'agisse de calculer quel travail x produira, pour la même détente, un volume de vapeur de mc ,2b* , sous une tension de %~ =7 atmosphères, on n'aura qu'à écrire (186) la proportion
lmo xi»« : l«tX0mc,25 •/. F *. x; d'où a?= - 1 — - F = £ 0,25 F = 0,875F.
Restera à diminuer cette valeur de x de la quantité de travail que développe, en sens contraire , la vapeur du condenseur, dans une -course entière de celui des pistons, qui est en communication directe avec ce condenseur ; après quoi on achèvera le calcul comme il a été expliqué n os 193 et suiv. On conçoit très-bien au surplus, d'après tout ce que nous avons dit jusqu'à présent de la détente de la vapeur et des gaz en général , comment on peut former une telle table en prenant pour base des calculs, afin de simplifier les opérations subséquentes, le travail qui serait produit par l mc de vapeur, agissant à l at do pression sur un piston dont la surface, d'ailleurs arbitraire (186), serait, pour la commodité, prise égale a un mètre carré. C'est , en effet , ainsi que nous avons obtenu la table suivante.
Tables des quantités de travail totales produites , sous différentes détentes, par 1 mètre cube de vapeur d'eau prise à la tension de 1 atmosphère.
VOLUME
QUANTITÉ
VOLUME
QUANTITE
VOLUME
QUANTITÉ
APRES
DE TRAVAIL
APRES
DE TRAVAIL
APRES
DE TRAVAIL
LA
CORRESPON-
LA
CORRESPON-
LA
CORRESPON-
DÉTENTE
DANTE
DÉTENTE
DANTE
DÉTENTE
DANTE
km
km
km
Nota. Quand il 11*7 a pas détente on que le volume reste égal à 1, le travail produit par l'action directe du mètre cube de vapeur est 1033G 1 "».
197. application particulière. Pour montrer comment on doit se servir de cette table, nous prendrons encore pour exemple les données des n° v 188 et 193, où la vapeur est introduite dans la machine, sous la tension de 8j atmosphères, et doit se détendre jusqu'à occuper k{ = 4,50 fois le volume primitif. La première chose à calculer est la valeur de ce volume primitif, ce qui est toujours fii ci le quand on connaît bien la constitution de la machine : dans le cas du n° 188, ce volume est évidemment, en mètres cubes, 8,1416 X (0 m ,4) a X m ,S2 =0 m «,16085; la table donne, pour la même détente du mètre cube de vapeur à 1*\ la quantité de travail 25867 km ; donc, d'après ce qui vient d'être dit (196), celle qui répond à r- at et aux raO ,16085, sera les \ 0,16085 X 25867** ou 0,56297 X 25867 lm = 14562 km . Cette quantité est un trèspetit peu moindre (de-jj^- environ) que la valeur qui a été trouvée aun° 188 pour une demi-oscillation du piston; ce qui doit être (180), attendu que nous avons poussé très-loin le degré d'approximation pour les nombres du tableau.
Connaissant ainsi le travail développé par la vapeur dans une demi-oscillation de la machine, on achèvera le calcul de la manière indiquée n 0v 191, 198 et 194, c'est-à-dire qu'on aura soin do diminuer les résultats de tout ce qui est consommé par les résistances nuisibles; il faudra ne pas oublier, d'ailleurs (195), que pour les détentes qui excèdent 5 fois Je volume primitif, il s'en faut de beaucoup que les résultats soient aussi forts que l'indiquent les
nombres du tableau. On devra généralement supposer, au contraire, que, quand la détente est poussée au delà de 6 ou 7 fois le volume primitif, la quantité de travail utile est plutôt moindre que supérieure à celle qui répond à 5, fois ce volume.
198. Observations générales. Avant de terminer le sujet qui vient de nous occuper, je dois encore une fois prévenir les lecteurs qu'en parlant des principales machines en usage, je n'ai point eu l'intention d'en faire la nomenclature complète ni même une description qui suffise à l'intelligence de leur mécanisme : on les trouvera dans les recueils et traités spéciaux sur ces machines, ainsi que dans le t. III du Cours de M. Dupin , où elles sont décrites avec toute la clarté et les développements nécessaires pour en bien faire saisir l'ensemble. Quant à l'histoire de la découverte des machines à vapeur, on consultera, avec une entière confiance, l'excellente Notice
qui vient d'en être donnée, par M. Arago, dans Y Annuaire du bureau des longitudes pour l'an 1829*, et où ce célèbre académicien a rétabli, à t'aide de recherches critiques difficiles et impartiales, les droits que les mécaniciens français, notamment Salomon de Causa et Papin, ont acquis à cette importante découverte; on y trouvera également une description claire et précise des parties essentielles des machines à vapeur, et des perfectionnements successifs qu'elles ont reçus jusqu'à nos jours.
On ne doit pas oublier enfin que nous avons entendu nous occuper uniquement de Faction mécanique directe de la vapeur considérée dans l'état où elle parvient de la chaudière aux cylindres : en exposant, par la suite, les qualités physiques de cette vapeur par rapport au calorique qui la produit et dans Faction duquel réside véritablement la force motrice (99 et suiv.), nous ferons connaître quelles sont les autres modifications, les autres déchets que cette force éprouve avant d'être transformée en travail effectif et immédiatement applicable aux besoins de l'industrie. Pour le moment , il nous suffira de dire, comme résultat de l'expérience , que le travail d'un cheval coûte environ B k de bonne houille, par heure, dans les machines de Watt, bien construites et de force moyenne ; qu'elle en coûte moitié moins, ou environ 2^,5, dans les meilleures machines de Woolf; qu'enfin les machines à haute pression et à détente, telles que les construisait Olivier Evans, à Philadelphie, consommaient presque autant que les machines de Watt, et qu'on peut présumer que les machines locomotives de cette espèce, ou qui servent à traîner les chariots sur les routes en fer, en consomment de 8 à 10k, toujours par heure, par cheval et pour une force de 10 à 13 chevaux.
Quant aux machines à haute pression qui , telles que celles de M. Frimot (194), utilisent en plus grande partie Faction de la vapeur en la faisant détendre sous les pistons de plusieurs cylindres analogues à ceux des machines de Woolf; l'expérience semble démontrer qu'elles offrent , sous le rapport de la consommation du combustible, un avantage à peu près égal à, celui de ces dernières machines agissant sous des pressions moyennes de 3 à 4 atmosphères seulement.
* Ce petit ouvrage, qui se vend au prix modique de i fr., ne saurait être trop recommandé aux personnes qui n'en ont point encore la connaissance, pour la foule de données et de documents précieux qu'il contient sur les arts et les sciences d'application.
11 Là BÉSISTANC1 DBS FLUIDES H0M0GIHE8 IT INDEFINIS, OU PB l'àCTION Qu'lLf
EXB1CENT SUR LES COIM SOLIDES.
109. Lois générales de cette résistance. Quand un corps solide se meut, avec une vitesse constamment uniforme (48 et 52), dans un fluide indéfini et en repos, c'est-à-dire dans un fluide dont l'étendue est très-grande par rapport à celle de ce corps, tel que serait , par exemple, l'air atmosphérique relativement aux corps ordinaires qui le traversent , ou la mer , un lac , un étang , une très-large rivière par rapport aux vaisseaux ou aux bateaux qui les parcourent; dans cette circonstance, disons-nous, le corps éprouve, delà part du fluide et dans le sens môme de son mouvement , une pression, une résistance mesurable à chaque instant en kilogrammes , et qui varie, comme on l'a déjà dit (11$) a l'occasion de l'air, suivant la forme, les dimensions et la vitesse du corps.
Pour faire saisir à peu près les lois que suit cette résistance dans chaque cas particulier, nous supposerons qu'un corps (A), fi g. 45, de forme quelconque et qui est plongé dans un fluide indéfini, se meure parallèlement à lui-même, de A vers B, avec une certaine vitesse V et de manière, par exemple, à décrire constamment (48) le chemin e= V X 'dans le très-petit temps t ; il est évident que ce corps va pousser devant lui un certain nombre de molécules de fluide, et les forcer à s'éloigner, de part et d'autre de sa surface, avec une certaine vitesse. Or, à circonstances égales d'ailleurs, la somme de ces molécules sera d'autant plus grande que le corps occupera lui-même un plus grand espace dans le sens perpendiculaire au mouvement; c'est-à-dire que, si on'projette, par exemple, ce corps sur un plan CD perpendiculaire à AB, ce qui revient à lui circonscrire un cylindre parallèle à la direction du mouvement ei à couper ce cylindre par le plan CD, la quantité totale des molécules dé* placées ou repoussées croîtra, pour des surfaces ou corps semblables dans toutes leurs parties, et qui seraient mus de la même manière dans le fluide, avec l'étendue de la projection dont il s'agit.
Mais elle croîtra aujssi comme l'espace ou le chemin e décrit dam chacun des instants égaux à t; nommant donc Q le volume total, es mètres cubes, de ces molécules entraînées par le corps (A), et À l'aire ou la surface, en mètres carrés, de la projection de (A) toi* vant CD, on conclura, par un raisonnement analogue à celui qui s
été mis en usage dans les n os 71 et 78, que Q croîtra comme A X ty c'est-à-dire deviendra double, triple, etc., quand lésera double , triple, eto«, pour le même corps ou pour des corps différents dont la surface serait semblable et semblablement dirigée par rapport au mouvement.
D'un autre côté, le corps (A), en cheminant dans le fluide, imprime aux molécules de Q une vitesse d'autant plus grande que la sienne Test elle-même davantage : il est clair, par exemple, que, si le corps décrit , dans le même temps élémentaire, un chemin double ou triple, il faut bien aussi , toutes choses égales d'ailleurs , que les molécules de Q décrivent un chemin double ou triple dans ce temps, pour lui faire place ; conséqueminent la vitesse de chacune de ces molécules croît comme V, et leur force vive (122) comme V*. Nommant doncj» le poids, en kilogrammes, d'un mètre cube du fluide ou sa densité (83), et observant (35) que le poids total du volume Q de ce fluide est mesuré par pQ, la force vive, qui lui a été imprimée par le corps, sera proportionnelle (122)
à *— i X V a ou à - — X V a , puisque Q est lui-même proportion-
nel au produit Ae.
Le corps ayant donc communiqué une telle force vive au fluide qu'il chasse devant lui , il faut bien aussi (185 et suiv.) que l'inertie des molécules de ce fluide ait opposé , au mouvement uniforme du corps et dans le sens de AB , une résistance totale R qui , restant la même pour toute la longueur e du chemin décrit par le corps , ait détruit (71) une quantité de travail R X e proportionnelle
à 7 *— -V* ; de sorte qu'il faut bien encore que le nombre des kilogrammes, R , contenus dans cette même* résistance, soit propor-
pke • V a
tionnelàj £ — V a divisée par e, c'est-à-dire kpk — , ou simple-
ment à p . A . V a , puisque %g a la même valeur (117) pour tous les cas. Donc enfin :
La résistance que les fluides, en repos, opposent au mouvement des corps de figures semblables, dirigés de la même manière, omit comme la densité p de ces fluides, comme le carré de la vitesse V de ces corps , $t comme l'aire A de la projection de ces mêmes corps sur un plan perpentUoulaire mu mouvement.
V a On se rappellera (118 et 119) que la quantité— n'est autre chose
que la hauteur due à la vitesse V du corps ; de sorte que le produit de cette quantité par Taire A , représente le volume d'un
prisme ou cylindre qui a — pour hauteur et A pour base : £ *— V*
ou pk X -=— est donc (35) le poids d'un tel volume du fluide ; ce
qui fait dire ordinairement que la résistance est proportionnelle au poids d'un prisme de fluide qui a pour base la projection transversale du corps , sur un plan perpendiculaire au mouvement, et, pour hauteur, la hauteur due à la vitesse.
Nous venons de supposer que le corps seul était en mouvement; mais, s'il restait au repos (fi g. 46), et qu'une masse de fluide indéfinie, animée, dans tous ses points, de vitesses égales et parallèles , vînt , à l'inverse, le rencontrer ou le choquer, des raisonnements analogues seraient encore applicables, et conduiraient aux mêmes conséquences relativement à l'intensité de la résistance opposée , par le corps , au mouvement du fluide, ou à l'intensité constante de la pression qu'il supporte de la part de ce fluide. Enfin , si le fluide et le corps étaient à la fois en mouvement suivant une même direction rectiligne AB et avec des vitesses constantes U et V, ces conséquences auraient également lieu , pourvu qu'à la place des vitesses absolues U et Y qu'ils possèdent par rapport aux objets fixes (46), on ne considérât que leur vitesse relative , c'est-à-dire, la différence U — Y ou Y — U de leurs vitesses absolues, quand ils marchent dans le même sens, et la somme U -{- V de ces mêmes vitesses, quand ils marchent en sens contraire; à peu près de la même manière que nous en avons agi (168) dans la -question relative au cas général dfl choc direct des corps.
200. Modifications que ces lois subissent dans certains cas. Les expériences faites par les physiciens et les géomètres , sont venues confirmer ces aperçus de la théorie, a quelques restrictions près qui , pour chaque cas, ressortentde la nature même du pbénomène, et de la manière dont les choses se passent autour du corps.
1° L'adhérence des molécules fluides (28), soit entre elles, soit avec le corps, produit des effets d'autant plus sensibles que ce corps
a plus de longueur, dans le sens du mouvement, par rapport à sa largeur ou à sa hauteur, et que la vitesse relative est plus faible : elle fait croître alors la résistance un peu plus rapidement que le carré de la vitesse, parce qu'une plus grande masse de fluide participe au mouvement du corps, et agit par son inertie (199), pour le ralentir. 11 est clair, en effet, que le nombre des molécules entraînées par la force d'adhésion, augmente avec l'étendue de la surface latérale du corps, et que, quand la vitesse du mouvement est très* faible, cette même force qui unit entre elles les molécules voisines du fluide, a aussi plus de temps (57, 63, 129 et suiv.) pour propager la vitesse, de proche en proche et jusqu'à une certaine distance du corps. On voit également que, plus sera grande la force d'adhésion des molécules fluides soit entre elles, soit avec le corps, plus sera grande aussi la masse des molécules entraînées, à circonstances égales ; de sorte que* par exemple, pour une même vitesse, un même corps aura plus de peine à se mouvoir dans un fluide visqueux (2) tel que les huiles, les sirops, etc., dont les molécules ont beaucoup d'adhérence entre elles et avec la plupart des corps, qu'il n'en éprouverait dans l'eau, dont la densité p est néanmoins, à peu près, égale à la leur, ou même un peu plus forte.
2° Ces effets de l'adhérence, qui peuvent être totalement négligés pour des fluides tels que l'air et l'eau quand la vitesse relative surpasse 20 à 30 e par seconde, ce qui est le cas le plus ordinaire de la pratique, ne sauraient l'être, en aucune manière, pour des fluides beaucoup moins parfaits, beaucoup plus consistants, ou pour des corps mous, analogues aux pâtes, aux terres, aux bois de diverses espèces, etc., qui se laisseraient pénétrer avec plus ou moins de facilité par des corps très-durs animés d'une certaine vitesse. L'expérience semble prouver qu'alors, sauf pour les premiers instants de l'enfoncement du corps dans le milieu pénétrable, où l'étendue de la surface de contact, suivant laquelle la réaction s'opère, varie nécessairement en augmentant de plus en plus; l'expérience prouve, disons-nous, que cette résistance demeure à très-peu près constante, quelle que soit la vitesse et malgré le ralentissement continuel que cette vitesse éprouve, pourvu que le milieu soit partout homogène, et que les circonstances du mouvement ne changent pas.
11 paraît en effet, que, dans des cas pareils, le corps dur ne fait que refouler, en avant et sur les côtés, les molécules qui s'opposent à son passage, sans les entraîner, sans leur communiquer, dans le
sent de son propre mouvement, une vitesse relative appréciable; de sorte que la résistance dépend bien plus alors du frottement que le milieu exerce sur la surface du corps dur, de la ténacité, de la- force de cohésion et de la conteiture particulière de ce milieu, qne de sa densité ou de la vitesse du mouvement. Nous verrons plus loin coin* ment ces considérations s'accordent avec celles des n ot 153 et suiv., sur le tohoc des corps plus ou moins durs; contentons-nous ici de remarquer que, d'après l'expérience, la résistance, pour des corps durs sphériques, a été trouvée, à très-peu près, proportionnelle a Taire A de leur projection transversale ou à la surface de leurs grands cercles *, comme cela paraît assez naturel dans ce cas.
8° Pour des corps solides semblables dans toutes leurs dimensions et des fluides parfaits, tels que l'eau et l'air, la résistance, à vitesse égale, paraît croître un peu plus rapidement que la surface A de la projection transversale du corps; ce qui provient, Bans doute, de la plus grande difficulté qu'éprouvent les molécules fluides à fuir en avant du corps, et à remplir l'espace en arrière, par suite de la longueur du chemin, de plus en plus grand, qu'elles ont à purcourir: cette augmentation de la résistance n'est, au surplus, très-appréciable que pour les plans et surfaces minces qui, dans le fond, ne peuvent aucunement être considérés comme des corps semblables.
4° Quand un corps est plongé dans l'eau et qu'il se irieut parallèlement à sa surface de niveau, la résistance croit un peu plus rapidement que ne l'indique la valeur (199) du produit />AV*, à me* sure qu'il se rapproche de cette surface. Cette circonstance provient de ce que l'eau gonfle ou que son niveau s'élève, de plus en plus, en avant du corps, qu'elle s'abaisse ou se déprime, de plus en plus, en arrière, de sorte qu'alors elle pèse aussi sur lui ou le presse par son poids, un peu plus en amont qu'en aval,
5° Quand le corps flotte à la surface de l'eau, il se forme égale* ment à la partie antérieure ou d amont un remou, et à la partie postérieure ou d'aval une dépression, lesquelles se nomment en général dénivellation, et dont l'effet est aussi d'augmenter la pression efl
* Voyez l'ouvrage de Hutton déjà cité,n° 176, ainsi qu'on Mémoire iur ta péndtratk* et l'effet des projectiles, par M. le chef de bataillon du génie Augoyat, inséré au 7* B*di Mémorial de V officier du génie. Ce Mémoire est un résumé précis et complet dès données de l'expérience et de la théorie sur cette importante matière. Voy. plus loin n M si6 et suiv.
ayant, de diminuer la pression en arrière, et de faire oroitre la résistance plus rapidement que ne l'indique le produit /*AV% A étant toujours la projection de la partie du corps, qui est plongée audessous du niveau du fluide.
6° Quand le corps se meut dans un fluide très-compressible, tel que Fair, la densité de ce fluide augmente (86) en ayant du corps et diminue en arrière, à mesure que la vitesse devient de plus en plut, grande ; ce qui fait croître la résistance plus rapidement que le carré de cette vitesse.
7° Enfin, l'expérience prouve encore que, à circonstances égales d'ailleurs, la résistance n'est pas la même pour un corps qui se meut dans un fluide en repos, et pour un corps immobile dans un fluide en mouvement. Cette résistance est un peu plus forte dans le dernier cas que dans le premier : pour celui-ci, les molécules fluides, en mouvement autour du corps, décrivent des lignes telles que l'indique là fi g. 45, et, dans l'autre, ces lignes dont analogues à celles de la fig. 46.
SOI. Observations sur la résistance comparée des corps de formes dissemblables. Ces remarques concernent spécialement la résistance exercée, de la part des fluides, contre un même corps ou des corps semblables ; mais, quand les corps diffèrent totalement , soit par la forme, soit par la manière dont ils reçoivent l'action du fluide, les résistances qu'ils éprouvent, dans des circonstances semblables sous tout autre rapport, ne peuvent nullement se comparer. Ainsi, bien que, pour deux tels corps, la densité p du fluide, la section ou projection transversale A de ces corps, et la vitesse relative du fluide et de chaque corps, soient les mêmes de part et d autre, la résistance n'en est pas moins très-distincte, et il n'y a que l'expérience qui puisse la faire connaître pour chaque forme particulière : néanmoins il paraîtrait que, pour le cas des plans et surfaces minces, la figure du contour exerce peu d'influence, à circonstances égales d'ailleurs; de sorte que, par exemple, une palette^ {flâne et mince de l mq de surface, qui serait mue avec une vitesse donnée dans l'air ou dans Veau , éprouverait , à très-peu près, la même résistance, soit que son contour eût la forme d'un triangle, d'un cercle ou d un carré.
On juge aisément encore, d'après ce qui précède, que la forme de la partie antérieure du corps exerce une très-grande influence selon qu'elle est plus ou moins aiguë, et que sa longueur ou l'étendue
de sa surface, mesurée dans le sens du mouvement, en exerce également une, quoique bien moindre. Il n'est donc pas permis de confondre la résistance d'un plan mince avec celle d'un prisme ou d'un cube, de mémo base, bien qu'ils soient placés dans des circonstances entièrement semblables sous tout autre rapport ; mais, ce qu'il est surtout essentiel de remarquer, et ce qu'on ne prévoirait pas aisé* ment sans le concours de l'expérience, c'est que la face postérieure ou d'arrière du corps exerce non moins d'influence que les faces latérales, selon qu'elle facilite, plus ou moins bien , le dégagement du fluide à l'instant où il quitte le corps, et qu'elle remplit, plus ou moins bien, l'espace vide qui tend a se former vers cette partie. Cet espace croît nécessairement avec la vitesse relative et l'étendue de la section A du corps, et son effet est de supprimer tout à fait, dans certains cas où le mouvement est extrêmement rapide, et de diminuer plus ou moins en général, la pression qu'exercerait naturellement le fluide (14 et 37), par son poids et le poids de l'atmosphère, sur l'arrière du corps, s'il remplissait exactement le vide dont il s'agit comme dans le cas du repos; or, les mêmes circonstances n'ayant pas lieu sur l'avant du corps, on conçoit que cette diminution de pression augmente d'autant l'action qui est opposée au mouvement.
Nous croyons essentiel d'ajouter à toutes ces remarques, qu'il ne s'agit ici que de la résistance qui naît directement du mouvement horizontal relatif des corps solides et des fluides, et nullement de celle qui peut provenir (41) de la différence de leurs densités, ou plutôt de l'action du fluide en vertu de laquelle le corps est poussé, de bas en haut (note de la p. 2-4), avec une force égale à la différence de son poids absolu dans le vide, à celui du fluide qu'il déplace. Nous verrons bientôt comment cette force influe pour modifier le mouvement du corps quand ce mouvement n'est pas horizontal, et particulièrement quand il se fait suivant la direction de l'aplomb.
