LEAU

211. Préparation de la formule pour ce cas, calcul de la densité dê$ gaz. Les applications les plus ordinaires des règles précédentes con? cernent l'air et l'eau ; il est donc nécessaire de déterminer d'abord la valeur de la densité/? (199) qui leur correspond. Nous avons va (34) que , pour l'eau , on a sensiblement p = 1000 k dans les cas ordinaires ; quant au poids du mètre cube d'air, il varie (40) selon la température et la pression barométrique, et il est nécessaire de le calculer dans chaque cas particulier, comme il suit, Supposons que la température actuelle de l'air soit de 12° centigrades, et que la colonne de mercure qui, dans le baromètre (38), mesure la tension de cet air, soit de 75 e , ce qui est, à peu près, la température et la pression moyennes qui répondent à l'automne et au printemps dans notre climat. Selon la table du n° 40, la densité ou le poids du mètre cube d'air à 0° de température et à 76 e dépression, est de l k ,3991 ; cherchant donc, d'après la loi de Mariotte (16 et 87), et celle de Gay-Lussac (26), quel volume occuperait cette même quantité d'air à la pression et à la température ci -dessus, nous en conclurons aisément son poids sous l'unité de volume. Supposons d'abord que la pression m ,76 reste la même, et que la température s'élève à 12°, son volume deviendra (26), puisqu'ici le gaz est libre de se détendre sous cette pression,

l»c + J2 X 0«,0037B = l rac -f« 0*%045 = l» c ,048.

Cherchant, de même, ce que ce dernier volume devient à la pression de m ,75 ; on aura, d'après la première des lois citées, la proportioa

Mais ce volume d'air pèse l k ,2991 ; donc l mc d'air pareil pèsera « * „„^ l k ,2267 , et par conséquent c'est là aussi la densité de

Pair à la température de 12° et sous une pression barométrique de 75 e ; celle de l'eau étant 1000 k , on voit que la première est environ

* es iaaa = 0,001227 ou -srrde la seconde, tandis qu'à 0° et 1UUU olô

sous 76 e de pression, elle en est les * = ==tt& très-peu près.

Sous une pression plus faible que 75 e , et une température plus forte que 12°, il est clair que la densité de l'air serait encore moindre que nous ne l'avons trouvée. En général, si nous nommons n le nombre des degrés centigrades qui indiquent, à un certain instant, la température de l'air, et h la hauteur barométrique, en centimètres, qui répond à sa tension , on trouvera , en raisonnant absolument comme on Tient de le faire dans un cas particulier, que la densité jp,ou le poids du mètre cube de cet air, aura pour valeur la quantité

formule qui donnera, de suite, cette densité sans passer par la série des raisonnements qui précèdent, et qui permettra aussi de calculer la densité d'un autre gaz quelconque en y remplaçant le poids l k ,2991 de l'air à 0° et 76 e de pression, par celui qui, dans la table du n° 36 , répond au gaz dont il s'agit. 11 est d'ailleurs entendu, relativement aux vapeurs (3 et 5), que leur quantité est supposée rester la même, c'est-à-dire, que cette quantité n'est ni augmentée par la vaporisation d'une nouvelle portion de liquide, ni diminuée par la condensation d'une portion même de la vapeur.

D'après ces données, la formule générale du n° 202, qui sert à calculer la résistance des fluides, deviendra (118),

pour l'eau ordinaire, •

R = 1000 *AH = ^5° k AV* = 50,975 *ÀV» kilogr.,

lv,olo

et,pourl'airà 12° et 75%

» 1,2267 *AH = i^|^ *AV» = 0,06258 AÀV» kilogr.,

iy,oio

ce qui diminuera le nombre des opérations à effectuer dans chaque cas particulier.

212. Exemples concernant la navigation des bateaux sur les canaux et les rivières. Considérons un des grands bateaux qui naviguent sur la Moselle, et dont la forme, assez avantageuse, est a peu . près telle que l'indique la fig. 56, en plan, coupe et élévation.

Supposons que sa plus grande largeur, prise extérieurement et au niveau de l'eau ou de la flottaison , soit de 8 m ; que la profondeur du fond au-dessous de ce niveau, ou le tirant d'eau, soit de m ,70 ; l'aire A, de la section plongée dans le fluide, sera un peu moindre que3 m X m ,7 = 2 m *,10, soit l m *,60 la valeur exacte de cette aire. Les bateaux dont il s'agit ont une longueur qui est environ 5 à 6 fois leur plus grande largeur ; s'ils étaient sans proue ni poupe, ou que ce fussent de véritables prismes terminés par des plans perpendiculaires à leur axe , la valeur du multiplicateur k serait (205) environ 1,10, attendu qu'ici le bateau est censé se mouvoir dans le fluide, et que la longueur A B de la partie plongée se trouve comprise entre 8 fois et 6 fois la largeur moyenne. Mais, comme il y a une poupe, on doit d'abord (106) diminuer ce nombre de -^ de sa valeur, c'est-à-dire de 0,11, ce qui donne k =0,99 ; en outre, le bateau a une proue dont les faces latérales sont raccordées par des demi-cercles avec les flancs, et dont le dessous est un plan incliné d'environ | d'angle droit et raccordé pareillement avec le fond, on peut croire que la résistance ou la valeur de k se trouve réduite, au moins, à j de 0,99 ou à 0,33. Nous prendrons donc définitivement k= 0,33 pour les bateaux dont il s'agit ; de sorte que la résistance aura (211), pour valeur,

R = 50,975 X 0,88 X 1"S6 X V a = 25,20V a kilog.

Si le bateau se mouvait dans un canal qui eut moins de 5 à 6 fois sa propre largeur, il faudrait augmenter un peu le multiplicateur 25,20, conformément à ce qui a été expliqué à la fin du n° 208 : le contraire ayant lieu ici, nous conserverons ce nombre tel qu'il est. Supposant donc que le baleau se meuve, dans une eau tranquille , avec la vitesse de l m par seconde, on aura

V a = l m X l m = 1"S et R = 25 k ,20.

La quantité de travail que devraient dépenser directement, par seconde, des hommes ou des chevaux, pour faire avancer le bateau avec cette vitesse, serait donc de 25 k ,20 X ! m = 25 km ,20 : c'est ce qui aurait lieu, à peu près, dans les canaux intérieurs de la ville de Metz, parce que la Moselle n'y a qu'une vitesse insensible. Mais, s'il s'agissait de remonter la rivière dans des endroits où la vitesse de l'eau serait de l m ,2 par exemple, en faisant toujours avancer le bateau de l m par seconde par rapport aux rives, ce bateau étant

choqué (199) avec la vitesse relative de l m ,2 -f l m = 2 m ,* « V, la résistance deviendrait alors 25,20 X 2 m >2 X 2 m ,3 = lM k environ, et la quantité de travail à dépenser , par seconde, aurait pour valeur 122 kœ . Si, au contraire, le bateau devait descendre le même courant avec la vitesse propre de ce dernier, il n'y aurait point de travail à dépenser, car la vitesse relative V serait nulle nussi bien que R; mais, s'il devait descendre avec une vitesse de 2 m ,20 par seconde, la vitesse relative étant 2 m ,20 — l m ,2 = l", la résistance et le travail seraient, comme dans le premier cas, égaux à 25 k ,2, et 28 km ,2 respectivement; par quoi Ton voit toute l'influence qu'exerce la vitesse relative du corps et du fluide.

Ces chiffres montrent aussi combien le transport des marchandises, sur bateaux, est désavantageux quand il s'agit de l'effectuer, avec une certaine vitesse, par l'entremise des canaux et des rivières; car, à circonstances égales d'ailleurs, la résistance croît comme le carré de la vitesse relative, et le travail dépensé par seconde eomme le prodiflt de ce carré parla vitesse absolue du bateau ou du moteur. Plus le canal sera petit d'ailleurs par rapport à la section du bateau, plus la résistance sera considérable ; enfin cette résistance et par conséquent le travail, augmenteront proportionnellement à la largeur du bateau et au tirant d'eau.

Ce tirant d'eau se calcule aisément, à l'avance, quand on connaît le poids du bateau et de la charge qu'il contient. En effet, nous savons (voy. la note do la p. 24) que ce poids total égale celui du volume de fluide déplacé par le bateau , ou 1000 kil multipliés par ce même volume qui sera ainsi connu , et d'où l'on conclura, d'après la forme donnée de la carène du bateau, la hauteur delà flottaison au-dessus du fond, ou le tirant d'eau.

A l'inverse, on calculera aisément la charge du bateau quand on connaîtra son propre poids , et qu'on se donnera la hauteur dont son fond doit être abaissé au-dessous du niveau de l'eau. Supposons, par exemple, que, dans le cas ci-dessus, le poids de toute la charpente du bateau soit de 16000 kiI , et que la longueur réduite de sa carène soit de 2B m vers le milieu de la partie plongée ; sa section d'eau A, étant d'ailleurs d'environ l m< *,6, le volume total du fluide déplacé sera l m 9,6 X 25 = 40 mc , et son poids 40000 ku ; retranchant, de ce nombre, les 1 6000 k que pèse le bateau, il restera 24000* pour le poids de la charge utile qui correspond au tirant d'eau de m ,70, supposé ci-dessus.

SIS. Exemples concernant les volante à ailettes. Les tournebroches et les horloges , qui reçoivent le mouvement par la descente de contre-poids, sont armés, comme on sait, de volants à ailettes planes et minces, fixées à l'extrémité de tiges on de bras montés sur des axes de rotation ; ces ailettes , en se mouvant circulairement dans l'air, éprouvent, de sa part, une résistance qui croit rapidement avec la vitesse que leur imprime le poids moteur par l'intermédiaire des rouages , et servent ainsi à régulariser le mouvement, ou à empêcher qu'il ne s'accélère indéfiniment comme cela aurait lieu (US et suiv.) si aucune résistance ne s'opposait à la descente du contre-poids, ou si celle que lui opposent directement la broche, les rouages , etc. , était constamment au-dessous de l'action qu'il éprouve de la part de la gravité.

Soit A = O^Ob* X m ,06 = O^OOS Paire de la surface de la

palette, on aura, dans le cas présent (SOS), la palette étant à peu

près perpendiculaire à la direction du chemin qu'elle décrit ,

£=1,4 pour des vitesses comprises (210) depuis jusqu'à S m ,

fi^ k t= 1,4— !=— 1 } 45 pour des vitesses comprises depuis S m jus-

qu'à 3 mètres, h = 1,4 ' ft == 1,30, pour des vitesses comprise»

depuis 5 jusqu'à 10 m , etc. Supposons, par exemple , qu'ayant calculé la vitesse d'après le nombre des révolutions du volant, autour de son axe, en une minute, on ait trouvé V = 4 m ; on aura donc,

à peu près, h— 1,45, et (21 1)R = 0,0625 X M* X 0"MHtt X * m X *° »= k ,0044, résistance assez faible, mais qui deviendrait (210)

ou environ 109 fois plus forte, ai la vitesse était de 40 mètres au lieu de 4 m , et qu'il faudrait doubler s'il "y avait deux ailettes de même surface, octuplerau moins (2QS) si, en outre, les dimensions de ces ailettes étaient elles-mêmes doublées, etc.

214. Exemples relatifs au mouvement des moteurs animés, etc. On roit bien maintenant pourquoi la résistance de l'air peut être négligée toutes les fois que les corps, sans avoir une étendue de sur-

face excessive, ne possèdent pas une très-grande vitesse (90). Ainsi, par exemple, la surface de la projection verticale d'un homme ordinaire debout, étant au-dessous de m ,4 X 2 m = m ?,80, et le multiplicateur k de la résistance qu'il éprouve , étant nécessairement au-dessous de celui 1,20 qui convient (205) à un prisme très-peu allongé dans le sens du mouvement, puisqu'un le corps est arrondi en avant et en arrière , la résistance sera aussi moindre que 6,0625 X 1»20 X 0,8 V» = 0,06 X V a kil. Si donc la vitesse de cet homme était de l m par seconde, la résistance qu'il éprouverait; de la part de l'air , serait moindre que k ,06 ; pour 2 m de vitesse, elle serait moindre que 0,06 X 2 X 2 = 0*,24 ; par conséquent aussi le travail (71), dépensé par cet homme pour vaincre, à chaque instant, une telle résistance , serait au-dessous de km ,06 dans le premier cas, et au-dessous de 0*,24 X 2 m = km ,48 dans le second. Mais, si. la vitesse était de 6 m , ce qui est à peu près la plus grande vitesse qu'un coureur puisse s'imprimer d'une manière un peu soutenue, la résistance s'élèverait (210) à plus de

et le travail à plus de 2 k ,16 X 6 m = 12 kn »,96; ce qui est déjà considérable par rapport au travail que peut développer habituellement un homme, même robuste, et nous fait ainsi découvrir l'erreur de chiffres du n° 90 où Ton a écrit 5 à 6 m au lieu de 1 à 2 m .

Les chevaux ne présentent pas , à l'action directe de l'air, une surface beaucoup plus grande que celle de l'homme; et comme leur forme est plus allongée, mieux disposée en tous points, la résistance (206) égale au plus 0,04 X V a kilogrammes ; elle est donc très- faible pour une vitesse de 1 à 2 mètres, c'est-à-dire pour celle du pas et du trot ordinaires ; mais il en est autrement pour la vitesse de course qui , dans certains cas fort rares il est vrai , peut s'élever jusqu'à 12 et même I4 m ; en effet on a alors

et le travail par seconde = 7 k ,8<4 X l-4m= 1 ÎO 1 "* ; ce qui est énorme et approché du double de la quantité de travail que fournissent ordinairement (146) les bons chevaux de rouliers marchant au pas. Aussi les coursiers les plus agiles ne peuvent-ils soutenir un semblable travail pendant plus de 8 à 10 minutes consécutives, tandis que le cheval de roulier soutient le sien, sans se fatiguer à beaucoup près

autant, durant au moins huit heures chaque jour, c'est-à-dire pendant 48 fois autant de temps que celui dont il s'agit. Nous avons donc eu raison de dire (90 et 148) que la quantité de travail extérieur que produisent les moteurs animés, quand ils s'impriment la plus grande vitesse possible, peut être négligée par rapport à celle qu'ils développeraient si la vitesse était moindre. On doit aussi sentir combien il importe , dans les courses rapides, de diminuer, par des moyens convenables , l'étendue des surfaces qui reçoivent le choc de l'air ; de donner à ces surfaces la forme, la plus avantageuse , et d'éviter surtout (204) que des draperies et ornements quelconques, mal ajustés au corps ou qui ne flotteraient pas librement, viennent présenter , ainsi que le font les voiles de navires, constamment leur concavité à l'action du courant.

On ne s'étonnera pas d'ailleurs que les ouragans, dont la vitesse surpasse quelquefois 40 m par seconde, puissent renverser des arbres et des maisons. Considérons, en effet, un mur de jardin qui aurait 4 m de hauteur sur 12 m de longueur, et qui serait choqué directement ou perpendiculairement parle vent, avec une telle* vitesse : on aura A = 48 m * et k = 2,80 au moins (203 et 210), attendu qu'on peut ici négliger l'épaisseur du mur relativement à l'étendue de sa surface. Par conséquent (21 1) la résistance

R=0,068 X2,BX 48V 9 = 7,86V a =7S56X*0 m X*0 m = 12096™.

Si , au lieu de la résistance de l'air , on considérait celle de l'eau dont la densité est environ 818 fois plus grande (211), tous les nombres ci-dessus devraient être multipliés par 818, puisque la résistance R est, à circonstances égales, proportionnelle à la densité p du fluide.

218. Calcul de la résistance de l'air contre les boulets de canon. Pour dernier exemple, nous considérerons un boulet sphérique, en fer fondu, de m ,l8 de diamètre; la surface de projection A d'un tel boulet sera (177) de0 m ,017ô mètres carrés, son volume de A 0«,0176 X i 0"M8 = ï °' 15 X 0,0176 = 0™,00176, et son poids (88) de 7207 k X 0«,00176 = 12 k ,68. Ce poids surpasse un peu celui qui a été adopté au n° 178 ; mais on doit considérer qu'il ne s'agissait là que d'un à peu près, et que la densité de la fonte de fer n'est pas une grandeur J^ien constante ni parfaitement déter-

minée pour chaque eirconitance particulière*. D'après cet données, la résistance du boulet, dans l'air atmosphérique dont la tempéra* ture est d'environ 12° et la pression 76*, a (2ll)< pour mesure générale, R = 0,06153 X 0^,0176 X *V» = 0,001 UV' kilogrammes , dans laquelle k prend les différentes valeurs indiquées dans la table du n* 210, selon celles de la vitesse V.

Supposant, par exemple, la vitesse de l m , on aura k œ 0,89 et R = 0,0011 X 0,59 X 1 X 1 = k ,00065. «our V «= * , on aurait h = 0,6 et R = 0,001 1 X 0,6 X * X * — k ,0<»64$ continuant ainsi , on pourra former cette table :

Vit. 2«n, 4», 6m, 8m, 10», 13m, Unn, 16m, i&-, 20"

Rés. 0V)03, 0*011, 0*025, 0*045, 0*072, 0*103, 0*1 40, 0*183, 0*235, <^395

Vit. 25», 50m, 75m, 100», 125m, 150m, 200m, 800*», 406», 500", WS-

Rés. 0*461,1*898,4*33, 7*81, 13*55,18*7, 34*, 79*, 174*, 381*, 400*

On voit, par cette table, qu'à 1 25 mètres de vitesse, l'effort de l'air, contre le boulet, égale environ le poids de ce boulet ; qu'à 300", il en .est près du triple ; qu'à 500 mètres de vitesse, la résistance surpasse 22 fois ce même poids. Si le diamètre du boulet n'était que le f de m ,15 ou 5 e , la surface A qu'il présente à l'action de l'air, serait réduite au neuvième de sa valeur relative à O mq ,01 l 76 ou à mq ,Û019tf; par conséquent, à égalité de vitesse, la résistance serait aussi réduite au neuvième de la valeur qu'indique la table* Si ce même diamètre n'était que le { de m ,15 ou 3 e , la résistance serait réduite au Ts de sa valeur/ Le boulet étant toujours en fonte de fer, son poids diminuerait dans une proportion bien plus grande encore i il serait seulement ~j 12 k ,68 = k ,469 pour le diamètre de 5 e , et 74s 12k,r38 = 0*,!0U environ pour celui de «•.

Ces circonstances tiennent évidemment à ce que les tio/tsmel et les poids des sphères homogènes (38) sont entre eux comme les cubes des diamètres, et que les surfaces de leurs grands cercles, représentées par A, sont simplement entre elles comme les carrés de ces mêmes diamètres. Enfin, si, au lieu d'être en fonte de fer, lea boulets étaient en bois, ou en toute autre substance moins dense, lettre poiaV diminueraient en conséquence, mais la résistance de l'air resterait

* 11 paraîtrait que la densité des boulets français, tel» q**ea les fcbrknudt asrtrds», est seulement de 7166 kil., le mètre cube, tandis que celle des boulets anftaii tarait 7435*» environ ^ plus forte ( voyei le Mémoire déjà cité n° *oo) ; ce qui doit tew en partie au mode de coulage et de fabrication.

la même pour un même diamètre, parce qu'elle ne dépend que de la forme et de 1 étendue de la surface du corps»