DU PLAN INCLINÉ

Nous avons déjà parlé du plan incliné , lorsque nous avons traité de la pesanteur. On a vu alors que lorsqu’un corps pesant était appuyé sur un plan incliné à l'horizon , la pesanteur n’avait sur lui qu’une partie de son effet ; et que cette partie était d’autant plus petite, que le plan s'éloignait moins de là position horizontale. Nous allons considérer ici le plan incliné comme une machine , au moyen de laquelle deux forces inégales peuvent être mises en équilibre.

i . Condition d'équilibre quand la puissance est parallèle au plan.

Soit un corps pesant M ( fig. 80 ) appuyé sur le plan incliné AB , et qu’une puissance P doit tenir en équilibre : il s'agit de trouver le rapport que cette puissance doit avoir avec le poids du corps M , pour obtenir l’effet désiré. Ce rapport , comme il est évident , dépend en partie de la direction suivant laquelle la puissance exerce son action. Si du centre de gravité G de la masse M , on abaisse la verticale GU , cette verticale nous donnera Ja direction de la pesanteur ; mais comme le corps ne

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peut pas suivre cette droite, et qu’il est contraint pour obéir à la force qui le sollicite , do glisser ou de rouler le long du plan , il est clair que ce qui convient le mieux à la puissance pour anéantir ce dernier effet , est d’agir dans un sens parallèle à la longueur de ce plan. Tout ce qu’il faut alors de force pour soutenir la masse en question , est mesuré par ce que nous avons appelé la pesanteur relative. Or celle-ci , comme on a vu , est à la pesanteur absolue , dans le rapport de la hauteur dit plan à sa longueur. Ce sera donc aussi là le rapport entre l’effort que la puissance doit faire , et le poids de la masse à soutenir ; et comme la hauteur du plan est toujours plus petite que sa longueur , cet effort sera toujours moindre que le poids du corps , pourvu que l’action se fasse parallèlement à la longueur du plan.

On peut vérifier mécaniquement la chose , en employant un plan incliné de bois ou de métal , et un petit chariot très -mobile qui peut rouler le long du plan «ans éprouver de frottement sensible. Le chariot est retenu par un cordon , qu’on peut rendre parallèle au plan , et qui va passer sur une poulie de renvoi fixée à sa partie supérieure. On attache à ce cordon les poids nécessaires pour tenir le chariot en équilibre ; et l’on remarque que si la hauteur du plan est la moitié , ou le bers, ouïe quarc de sa longueur , le poids du chariot et de sa charge étant supposé d’une livre , il ne faut pour l’empêcher de descendre que la moitié , ou le tiers , ou le quart d’une livre. Il y a donc équilibre dans le plan incliné , et dans le cas du parallélisme , lorsque les deux forces sont entre elles comme la hauteur et la longueur du plan.

Si l’on voulait rapporter le plan incliné au levier , on le pourrait faire aisément , eu abaissant du centre U<|

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gravité de M une perpendiculaire GD sur le plan ; et considérant la puissance P comme appliquée à ce même centre de gravité , GD serait un lévier ayant en D son point d’appui , tandis que les deux forces qu’il doit mettre en équilibre agissent toutes deux sur le point G, mais l’une dans le sens vertical GR , et l’autre dans le sens GR parallèle au plan. Les perpendiculaires abaissées du point d’appui sur ces deux directions , sont ici DE et DG. L’égalité des momens nécessaire pour l’équilibre donne donc : la puissance est à la résistance, comme DE est à DG. Mais ces lignes sont entre elles dans le même rapport que la hauteur du plan et sa longueur. Cette considération nous conduit donc au même résultat que nous avons eu tout à l’heure.

a. La puissance étant parallèle à l’horizon.

Si la puissance agissait dans une direction autre que celle qu’on vient de supposer , alors elle ne serait plus directement opposée à la pesanteur relative ; et une partie de cette puissance ne pouvant contribuer à l’effet désiré , il suit quelle devra être plus grande que dans le cas précédent.

Supposons par exemple , que la puissance agit ( fig. 8 1 ) suivant une droite parallèle à l’horizon , ou à la base du plan incliné. Pour connaître quelle sera la partie efficace de cette puissance , il faut la décomposer en deux forces, l’une perpendiculaire au plan , et par conséquent perdue , et l’autre parallèle à ce plan , et qui sera employée à retenir le corps. La pesanteur relative étant représentée par GF , on prendra donc GE égale et opposée à GF ; et du point E on abaissera une perpendiculaire au plan , qui rencontrera en R la droite

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horizontale GP , et déterminera ainsi la grandeur GK de la puissance P nécessaire pour tenir en équilibre la masse M sur le plan supposé.

Dans le cas que nous considérons ici , on a donc : la puissance est à la résistance , qui est la pesanteur relative du corps M , comme GR est à GE. Mais si l’on compare le triangle GER avec le triangle ABC qui lui est semblable , on reconnaît facilement que le rapport de GR à GE est le même que celui de AB à AC. D'un autre côté la pesanteur relative GF ou GE est à la pesanteur absolue GD, comme la hauteur du plan est a sa longueur. Donc en combinant ces deux rapports , on peut dire que dans le cas présent , la puissance est au poids du corps , comme la hauteur du plan est à sa base.

Il suit de là que lorsque la puissance agit parallèlement à la base du plan , elle est moindre que la résistance , tant que la hauteur du plan est plus petite que sa base. Lorsqu'il y a égalité entre l’une et l’autre , la puissance lie peut tenir en équilibre qu’une résistance qui lui est égale ; et enfin elle doit surpasser celle-ci , lorsque la hauteur du plan est devenue plus grande que sa base. La puissance devrait être infinie , si la base du plan devenait nulle , c’est-à-dire si le plan était vertical. En effet dans ce cas la pesanteur du corps M ne peut être détruite par aucune force quelconque qui agirait horizontalement, ou perpendiculairement à la direction de

cette pesanteur.

Si l’on veut rapporter les résultats obtenus dans les «deux cas qu’on vient d’examiner , les rapporter , dis-je , à l’angle que fait le plan avec l’horizon, on trouvera d abord pour la force qui agit parallèlement au plan , que cette Jorce est nulle lorsque le plan est horizontal , ou qu«i

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l'angle d'inclinaison est nul ; quelle devient déplus en plus grande , quoique toujours moindre que le poids du corps, à mesure que l’angle d’inclinaison augmente ; et quelle est enfin égale au poids du corps, lorsque cet angle est droit , ou que le plan est vertical. D’un autre côté on trouve pour la force qui agit parallèlement à Fliorizon, que cette force est zéro sur un plan horizontal, ou dont l’angle est nul. Elle augmente , mais plus rapidement que dans l’autre cas , lorsque cet angle augmente ; et elle est déjà égale à la pesanteur quand l’angle d’inclinaison est de 45 degrés , ou que le plan tient le milieu entre les positions horizontale et verticale. Audelà Je 45 degrés , la puissance doit surpasser la résistance absolue , et de plus en plus à mesure que l’angle est plus ouvert , jusqu’à devenir infiniment grande , lorsque cet angle est arrivé à son maximum , ou qu’il est droit.