PREMIERE SECTION. CHAPITRE IIÎ

perpendiculaires P et Q , suivra donc la diagonale dit parallélogramme rectangle A B D C , et arrivera au point D dans le même temps qu’il aurait mis à parvenir en B ou en C , s’il n’avait obéi qu’à une seule force.

Puisque l’effet des deux forces P eT Q agissant ensemble et a angle droit sur un même mobile ,'est d’amener ce mobile en D , en lui faisant décrire la diagonale AD du rectangle ABDC ; il suit que l’on peut à ces deux forces substituer une force unique R , dont la grandeur et la direction seraient exprimées par cette diagonale. Celle-ci , comme on a dit, s’appelle la Résultante des deux autres , et elle est toujours située dans leur plan.

Réciproquement une force unique R qui agirait sur un mobile dans une direction déterminée AD , peut être considérée comme le produit de deux autres forces perpendiculaires entre elles , et telles que cette force unique puisse être leur résultante. Deux forces données de grandeur et de direction ne peuvent avoir qu’une résultante • mais une force entièrement connue peut être la résultante d’une infinité de couples de forces rectangulaires. On sent (pie sur une droite prise pour diagonale , et dans un plan donné , on peut construire un nombre infini de rectangles diffèrens.

Passons maintenant au cas plus général , où les deux forces font entre elles un angle quelconque. Soient en core P et Q ( fig. 3 et 4 ) les deux forces données , et soient prises sur leurs directions les parties AB , AC qui leur soient proportionnelles. Construisons le parallélogramme ABDC , et par le point A , et dans le plan de*

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forces , menons une droite perpendiculaire à la diagonale AD. On pourra considérer la force P comme produite par deux forces rectangulaires P' et P" , agissant l'une suivant la diagonale AD , et l’autre suivant la perpendiculaire. En prenant donc AB qui représente la force P, comme une diagonale, on construira le parallélogramme AEBF , et l’on aura les deux forces AD , AF pour celles qui dans le cas présent ont dû produire cette force P. En opérant de même , on décomposera la force Q en deux forces perpendiculaires , Q' et Q", agissant suivant les mêmes droites que les précédentes ; et l’on aura AG et AU pour exprimer ces deux forces. Ainsi au lieu de n’avoir que deux forces appliquées au point A , on en aura quatre , qui leur sont équivalentes , et qui concourent au même point. Or de celles - ci , il y en a deux P' et Q', qui sont égales et opposées , et qui par conséquent se détruisent mutuellement. Il ne restera donc que les deux autres P" et Q" , qui agissant dans le même sens et suivant la même droite , doivent s ’ ajouter l’une à l’autre. I.a première de celles-ci est , comme on a vu , exprimée par AF : la seconde l’est par Ali; et leur somme est égale à AD. Donc en vertu de l’action combinée des forces P et Q , le mobile décrira la diagonale du parallélogramme ABDC , et sa vitesse dans ce sens sera exprimée par AD. Le théorème énoncé ci-dessus adonc lieu , quel que soit Y angle formé par les directions des deux forces ; mais dans le cas où cet angle est aigu ( fig. 3 ) les forces s’entraident mutuellement , et elles se nuisent au contraire , lorsqu’elles font un angle obtus ( fig. 4 )•

Deux forces appliquées en un même point , et faisant entre elles tel angle qu’on voudra , ont toujours

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pourrésultante une force unique qui est dans leur plan, et dont il est facile de trouver la grandeur et la direction, lorsque l'on connaît celles des forces composantes. De même une force unique peut être dans tous les cas considérée comme produite par deux forces appliquées au même point que celle-là, faisant d'ailleurs entre elles tel angle qu’on jugera à propos , et ayant telles directions qu’on voudra : seulement la grandeur de chacune d'elles dépendra de ces deux dernières conditions ; et elle devra être telle , que la force donnée puisse être en effet la résultante des deux forces choisies , ou ce qui est la même chose , être la diagonale d'un parallélogramme, dont ces deux forces seraient les côtés adjacens. On voit encore ici qu’une même force peut être la résultante d’une infinité de forces différentes combinées deux à deux ; parce que sur la même droite prise pour diagonale , et dans un même plan , on peut construire un nombre infini de parallélogrammes différens.

Le résultat auquel nous venons d arriver, peut s’étendre à un nombre de forces quelconque. Supposons en effet que le point mobile A soit sollicité à-la-iois par les forces P , Q , S , ( fig. 5 ) renfermées ou non dans un même plan , mais qui lui sont immédiatement appliquées. On trouvera facilement la route du mobile , et la vitesse qu'il doit prendre , en procédant de la manière qui suit. On combinera d’abord deux de ces forces , P et Q , par exemple , et l’on cherchera par le moyen indiqué leur résultante 11. Ensuite combinant cette résultante II avec la troisième force S , on trouvera une seconde résultante T , qui sera en même temps celle des trois forces P , Q et S. En continuant de même , oa trouverait la résultante finale de tant

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d^ forces que l’on voudra. En vertu de l’action simultanée des trois forces données , le point mobile se mettra donc en mouvement suivant la droite AT , et avec une vitesse exprimée par AK ; et l’effet sera le même que si au lieu dus trois lbrces qu’on a représentées par les droites AB , AC , AG , il n’y en avait eu qu'une seule exprimée en grandeur et en direction par AK. Au reste le résultat demeure toujours le même , quelque ordre que l’on suive dans la combinaison des forces données.

Lorsqu’à deux ou à un plus grand nombre de forces , on en substitue une seule qui leur est équivalente , et capable du même effet , cela s’appelle composer les forces : et le problème qui a pour objet de trouver la résultante d’un nombre quelconque de forces , s’appelle le problème de la composition des forces. Le mouvement qui résulte de leurs actions combinées , est dit mouvement composé , quoiqu’il se fasse toujours , ainsi qu’on vient de voir , suivant une ligne droite , avec une vitesse uniforme , et de la même manière que s’il était dû à une action simple et unique.

Lorsqu’au contraire on considère une seule force comme produite par le concours de deux ou d’un plus grand nombre de forces , cela s’appelle décomposer la force ; et le problème qui a pour objet de trouver les forces capables de produire celle en question , est appelé le problème de la décomposition des forces. Le mouvement. du mobile est alors considéré comme le résultat de divers mouvemens qui n’ont pas pu avoir lieu séparément , mais qu'on peut supposer existans ■virtuellement dans ce mobile. Ainsi dans le cours des astres au dessus de nos têtes , on peut considérer deux

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sortes de mouvement , l'une dans le sens -vertical par lequel ils s’élèvent ou s’abaissent à 1 egard de l’horizon , et l’autre dans le sens horizontal , par lequel ils s’avancent constamment du levant au couchant. La composition et la décomposition des forces sont d’un usa^e • continuel en Mécanique.

l\. Preuves expérimentales.

Les résultats qu’on vient d’obtenir par le raisonnement , peuvent être confirmés par l’expérience , et c’est de cette dernière espèce de preuve que l’on fait plus volontiers usage en physique.

Première expérience. On a une tablette verticale , qui porte dans sa partie supérieure deux fils de métal, tendus parallèlement entre eux dans un plan horizontal. Une poulie à deux gorges est assujettie à se mouvoir le long de ces deux fils , et ne peut avancer , ni reculer, sans tourner en même temps sur elle-mêine. Enfin un poids est suspendu à un cordon , qui se roule sur une des gorges de la poulie pendant son mouvement en avant.

Les choses étant donc ainsi disposées , on voit que si l’on fait mouvoir la poulie horizontalement le long des ‘deux fils , le poids s’élèvera -verticalement et parallèlement à la tablette; et qu'au moyen de la simultanéité de ces deux mouvemens , son ascension se fera suivant une droite oblique à 1 horizon.

Le poids est ici soumis à «leux forces qui sont perpendiculaires entre elles : il est tiré de bas en haut par le cordon , qui s’accourcit à mesure qu’il se roule sur la poulie ; et il est forcé d’afancer de gauche à droite , en même temps que la poulie se meut dans ce sens.

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Pour obéir donc à ces deux, efforts à la fois , il suit la diagonale du rectangle construit sur les directions des deux forces , et dont les côtés leur sont proportionnels.

L’appareil qu’on vient de faire connaître , laisse peut-être quelque chose à dire , pour la rigueur de la démonstration. Le mobile est ici dans un état d'assujettissement , et n’est point libre pendant la durée de son mouvement. Les choses ont été arrangées d’avance pour obtenir un certain effet , et l’on peut douter qu’il eût été le même , si l’on avait laissé le mobile en toute liberté, et qu’on l’eût abandonné à lui-même, après avoir reçu les deux impulsions. Cependant il faut avouer que cette expérience est très - propre à faire voir, comment deux forces agissant sur un mobile dans des directions perpendiculaires entre elles, peuvent produire un mouvement simple suivant une direction moyenne ; et réciproquement comment un mouvement simple sur une droite donnée peut être décomposé en deux autres mouvemens dont celui-là serait le résultat. Au reste , voici une autre expérience , qui lèvera tous les doutes à ce sujet , et ne laissera rien à desirer pour l’entière démonstration de notre théorème.

Deuxième expérience. On trouve dans les cabinets de physique une espèce de billard , qui porte sur un de ses petits côtés deux plans verticaux , que fon peut incliner plus ou moins l’un à l’autre. Deux marteaux d’ivoire sont attachés à ces plans , et peuvent se mouvoir parallèlement à eux à la façon des pendules. Une bille d’ivoire est placée à leur point de concours , de manière que les deux marteaux en tombant puissent la frapper tous les deux en même temps , et dans deux

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directions différentes. On a donc ainsi un appareil au moyen duquel on peut se procurer deux forces instantanées de grandeurs égales ou non , agissant à la fois sur le même mobile , et faisant entre elles tel angle qu’on voudra.

Maintenant si l’on fait d'abord tomber séparément chaque marteau d’une certaine hauteur , et qu’on marque avec de la craie sur le tapis la route que la bille aura suivie à chaque fois : que l’on construise un parallélogramme sur ces deux droites , et qu’on en trace la diagonale ; on observera que la bille suivra fidèlement cette diagonale , lorsqu’elle sera frappée à la fois par les deux marteaux , avec la même force , et dans les mêmes directions qu'auparavant. Ici le mobile jouit de la plus entière liberté : il suit sans aucune contrainte la route qui lui a été tracée ; preuve incontestable que la loi qu'on a établie , est bien en effet la loi de la nature.