DE DA BAIDEUR DES CORDES

Les cordes dont on se sert dans les machines , opposent encore par leur raideur une résistance qu’il chercher à évaluer. Voici d’abord la maniée* de cevoir l’espèce d’obstacle qui vient de cette dmse.

Soient deux poids égaux P et Q ( fig. 96 ) , suspendus à une corde , et se faisant équilibre au moyen d’une poulie fixe. Tant qu'il n’y aura point de mouvement , les deux parties de la corde AQ , BP , seront tangentes à la poulie en A et en B , aux deux extrémités de son diamètre horizontal. Si l’on conçoit que la poulie vient à tourner sur elle-même dans le sens AFB , les deux cordons seront encore tangens aux points B et A , dans le cas où la corde aurait une flexibilité parfaite. Si au contraire elle n’en avait aucune, comme si elle était faite d’un métal rigide , le poids P dans ce cas serait forcé de rentrer eh dedans sous la poulie , et de se rapprocher de la verticale qui passe par l'axe , tandis que le poids Q s’en éloignerait , et se porterait en dehors. L'équilibre serait donc rompu , et pour le rétablir , il faudrait ajouter quelque chose à la puissance P. Or les cordes n’ont ni une flexibilité parfaite , ni une rigidité

438 Deuxième Section. Chapitre XVII.

absolue ; d’où il suit que dans le cas du mouvement supposé , le cordon BP rentre plus ou moins , et le poids P qu’il soutient, se trouve transporté sous quelque point b du rayon horizontal , plus rapproché du centre du mouvement ; au contraire le cordon AQ se courbe en dehors , et le poids qui y est attaché , se place sous quelque point d plus éloigné du centre. 11 résulte de-là que la puissance P doit être augmentée d’une certaine quantité , pour pouvoir faire équilibre dans cette position à la même résistance Q ; et la quantité dont il faut l'augmenter pour cela , dépend de l’inégalité des distances Ci et C d , c’est-à-dire du plus ou moins de flexibilité de la corde BPAQ.

i . Loi que suit cette espèce de résistance.

Le défaut de flexibilité d’une corde vient d’abord de la manière dont elle est fabriquée. On sait que les cordes sont faites de fils tordus ensemble , ou quelles sont composées de petits cordons tortillés les uns sur les autres. Or les élémens de la corde étant courbés de différentes manières entre eux , il n’est pas étonnant qu’ils ne ■puissent pas se prêter également à la force qui tend à les plier tous dans le même sens. C’est de là que vient la raideur naturelle de la corde.

La raideur des cordes est augmentée par différentes -circonstances. D’abord la tension que supporte une corde de la part de la puissance qui agit par son moyen, augmente cette raideur ; et l’on a trouvé que cette résistance était proportionnelle aux poids dont la corde est chargée.

De la Raideur des Cordes. 43g » En second lieu plus la corde a de grosseur , plus on a de peine à la plier. Ainsi la résistance qui vient de la raideur des cordes , est proportionnelle à une certains puissance de leur diamètre. L'expérience a donné le quarré , ou seconde puissance , quand la corde est neuve , ou peu usée , et la puissance trois demis , quand elle est vieille et fort usée.

Enfin la raideur augmente encore à mesure que le cylindre que la corde embrasse , devient plus petit ; et l’on établit quelle est en raison inverse du diamètre de ce cylindre. Telles sont les lois que paraît suivre cette espèce de résistance.

Maintenant si par une expérience faite avec soin l’on parvient à connaître la valeur delà résistance, qu’oppose par sa raideur une corde de grosseur connue, embrassant une circonférence dont le rayon est donné , et supportant une charge pareillement connue ; l'on pourra facilement au moyen d’une proportion fondée sur les trois lois qu’on vient d’établir , déterminer la résistance qui résulte de la raideur d’une autre corde dans des circonstances données.

L’expérience a appris qu’une corde de six lignes , ou un demi-pouce de diamètre , chargée d’un poids de cent vingt livres , et embrassant une poulie de Crois pouces de diamètre , fait par sa raideur une résistance de huit livres. Si l’on a donc une corde de neuf lignes , ou trois quarts de pouces , une charge de deux cents livres , et une poulie de quatre pouces , l’on dira : la résistance de cette dernière corde esc à huit livres , comme ~ multipliant -~g est à multipliant En faisant les opérations de calcul indiquées ici , on trouve

44o Deuxième Section. Chapitre XVII.

que la résistance cherchée est à celle qui sert de terme! de comparaison , comme 28 J- est à 10 , ou quelle est de 22 livres et demie. C’est là ce qu’il faut ajouter dans le cas présent à la puissance , pour quelle soit en état de surmonter la résistance de la corde , et de produire du mouvement : bien entendu qu’on l’avait déjà aug-. mentée de ce qui est nécessaire pour vaincre le frottement.

ri n.

NOTE (a).

Voici quelques problèmes à résoudre relativement au mouvement uniforme.

Deux courriers A et B partent en même temps de deux points éloignés l’un de l’autre de 12 lieues. Ils vont dans le même sens : mais B fait deux lieues par heure , et A en fait deux et demie dans le même temps. On demande où est-ce que celui-ci qui est le dernier , rencontrera l’autre qui est le premier.

Il est évident que la rencontre demandée se fera , lorsque les deux courriers auront marché assez longtemps, pour que le chemin fait par A surpasse de 12 lieues le chemin fait par B. Or le premier courrier ne gagne sur le second qu 'une detni-Xieue par heure. Il lui faudra donc a4 heures pour qu’il puisse gagner toute l’avance que celui-ci a sur lui. La rencontre se fera donc au bout de a 4 heures : B aura fait alors 48 lieues , et A en aura fait 60. ( 1 )

(1) La formule pour tou* les problèmes de ce genre est, t = a est l’intervalle des lieux de départ ; v est

la plus grande vitesse , v' est la plus petite , et t est le temps

au bout duquel la rencontre doit se faire. Le chemin e

, . va

fait par À jusqu’à cette rencontre est , e = y t — , et

celui fait par B sera , e' = 71

44a IT O T E s.

Si les deux courriers viennent au-devant l'un de

l’autre , il faut que la somme des chemins qu’ils auront

faits en même temps , soit égale à toute la distance

qui les séparait. Si cette distance était donc de 100

lieues , en leur supposant les mêmes vitesses que tout

à l'heure , on voit aisément que le temps nécessaire

est le même , que celui qu’il faudrait pour faire les

cent lieues , à un seul courrier qui ferait quatre lieues

et demie par heure. L’on diviserait donc 100 par 4 -j- j

et l’on aurait 22 heures pour le temps cherché ;

c’est-à-dire qu’au bout de ce temps A et B se seraient

rencontrés : A aurait fait 55 — lieues , et B en aurait

fait 44 - ; ce qui fait bien 100. (2)

Supposons maintenant que les deux mobiles se meu - 1 vent sur une même circonférence de cercle, ou sur des circonférences concentriques ; alors il pourra y avoir plusieurs rencontres successives , et le temps nécessaire pour que ces différentes rencontres aient lieu, se déterminera facilement par la méthode que nous venons d’employer. 11 est visible que les deux mobiles s’étant rencontrés pour la première fois , ils sont alors dans le même cas , que s’ils étaient séparés l’un de l’autre par une circonférence entière ; et par conséquent l’on calculera la deuxième rencontre d’après cette distance , et l’on fera de même pour toutes les rencontres suivantes. Ainsi on aura le temps à compter

a va 1

(a) Les formules sont ici, t = - -f-V * e== v e = v' a

NOTES. l\l\Z

du commencement du mouvement , pour une rencontre quelconque , en ajourant à la distance primitive autant de circonférences qu'il y a eu de rencontres avant cellelà, et divisant par la différence des vitesses. Quand les circonférences ayant toujours le même centre , ont des rayons differens , la rencontre est censée se faire lorsque les mobiles sont sur le prolongement du même rayon , et les distances ainsi que les vitesses , doivent alors être exprimées en degrés du cercle. (3)

Au lieu de deux mobiles tournant autour d'un même centre , on peut en considérer un plus grand nombre , et chercher l’époque de leur rencontre générale. Il est visible que le problème sera d’autant plus compliqué, et par suite d’autant plus difficile à résoudre , qu’il y aura plus de corps tournans. Pour nous borner au cas le plus simple après celui que nous avons déjà considéré, supposons trois mobiles A, B, C , qui commencent à se mouvoir en même temps avec des vitesses connues , et en partant de différens points dont les distances respectives sont pareillement données. Dans leurs révolutions dont le nombre est censé indéfini , ils se rencontreront tous les trois de temps en temps ; et si l’on veut avoir l’époque de la première rencontre générale , il faudra chercher toutes les rencontres successives de A avec B , et ensuite celles de A avec C ; et les deux rencontres différentes qui donneront le

(3) Laformulepour la rencontre m* tm 'est, t== — , .

Elle serait , t ;= 1 — r~~ > si les mobiles allaient en

sens contraire j c désigne la circonférence.

même temps , donneront aussi lepoque de la première

rencontre générale. (4)

Prenons pour exemple les trois aiguilles d’une pendule à secondes , et supposons-les placées comme il suit : l’aiguille des secondes sur 6o ou o , celle des minutes sur la, et celles des heures sur 36 . Dans une heure de temps , l’aiguille des heures parcourt cinq divisions du cadran ; celle des minutes en lait le tour entier , ou parcourt soixante divisions ; et celle des secondes en fait soixante fois soixante ou 36 oo. Les vitesses des trois aiguilles exprimées de la manière la plus simple, sont donc : i , 12 et 720.

Maintenant si nous cherchons la première rencontre de l’aiguille des secondes avec celle des minutes , d’après leurs vitesses et leur distance connues , nous trouverons que cette première rencontre aura lieu au bout de douze secondes et de seconde. Les autres rencontres successives se feront ensuite à des intervalles de temps tous égaux entre eux , et chacun do la durée de 61 secondes et En cherchant de même l’époque où l’aiguille des secondes atteindra pour la

( 4 ) Soient A , B , C les trois mobiles , a et a' les distances

du premier au second , et du premier au troisième , v , v' , v"

leurs vitesses respectives. Les rencontres de A avec B seront

données par la formule, t — — ^ " * — et celles do

A avec C, parla formule t “ n t L" — ^ 1 1 c . jl faudra trouver pour t deux valeurs égales : elles donneront la solution du problème proposé.

WOTKS. 445

première fois l’aiguille des heures , on trouve que cela doit arriver au bout de 36 secondes et £ de seconde. Quant aux rencontres subséquentes , elles doivent se faire aussi chacune après 60 secondes et 7 *°. En calculant ainsi les rencontres successives des deux premières aiguilles , et celles de la première avec la troisième , on en trouvera enfin deux qui seront arrivées au bout du même temps : c’est la 284' rencontre de l'aiguille des secondes avec l’aiguille des minutes , et la 288 e de la première aiguille avec celle des heures. Le temps nécessaire pour cette rencontre commune des trois aiguilles sera d’après leur position primitive , de 288 minutes , ou 4 heures 48 minutes. En effet au bout de ce temps, l'aiguille des heures sera sur 12 h. et celle des minutes sur 60 , comme aussi celle des secondes. ( 5 )

( 5 ) Le procédé indiqué dans le texte exigerait un long tâtonnement : les méthodes algébriques pour les problèmes indéterminés conduisent plus promptement et plus sûrement

au but désiré. On a ici , t = gL+CiLT 1 )! 0 = »+(”»-Q6o

710 — 1 710 — ii *

ou