e -, 3 11 s ’ a & it don c de

trouver pour m et pour n des nombres entiers qui satisfassent à cette équation. Or on trouvera par les règles connues , que les plus petits nombres qui soient dans ce cas , sont 284 pour m , et 288 pour n . Il est facile d’avoic aussi les autres rencontres subséquentes.

NOTE (b).

' Quels que soient le nombre et la direction des forces données , on conçoit qu’on pourra toujours décomposer chacune d’elles en trois forces parallèles à trois lignes ou axes perpendiculaires entre eux. Par ce moyen toutes les forces données seront ramenées à trois systèmes de forces parallèles. Toutes celles qui sont parallèles à l’axe A par exemple , pourront comme on le fait voir dans l’article suivant , se réduire à une seule. 11 en sera de même de celles qui sont parallèles à l’axe B , et de celles qui le sont à l’axe C. On n’aura donc plus alors à considérer que trois forces , qui sont toutes les trois perpendiculaires entre elles. Deux de celles-ci peuvent être amenées dans un même plan , et alors se rencontrant , elles ont une résultante et se réduisent à une seule force. Maintenant pour que tout le système puisse avoir une résultante unique , il est nécessaire et il suffit que la troisième force qui est perpendiculaire au plan des deux autres , rencontre la résultante de celles-ci en quelque point de sa direction. Si cela n’arrive pas , le système des forces données ne peut pas être ramené à une seule force , et il a nécessairement alors deux résultantes , qui produisent , comme on a dit , un double mouvement dans le corps , au moyen duquel les deux résultantes parviennent à se trouver dans un même plan , et à se réduire enfin à une seule.

NOTE (c).

Le problème du mouvement perpétuel consiste à trouver une machine qui d’elle-mème, et sans le secours

d’aucun agent étranger , puisse quelque part quelle soit placée , se mettre en mouvement , et continuer à se mouvoir ainsi toute seule , par le moyen des forces naturelles qui résident en elle. La roue d’un moulin à eau tourne sans cesse ; mais son mouvement est produit par l'impulsion d’un agent extérieur : ce sont des molécules étrangères à la roue qui se succèdent sans interruption , entraînées par la pesanteur , et qui à chaque instant lui communiquent de leur vitesse. Ce mouvement sans fin n’est pas le mouvement perpétuel en question , parce qu’il est produit par une force qui n’appartient pas à la roue ; parce qu’il ne peut avoir lieu que là où il existe un courant d’eau ; et si l’on veut , parce qu’il cesserait aussitôt si le courant était tari ou détourné. La machine que l'on demande , doit avoir en elle-même le principe générateur et conservateur de son mouvement. Or ce principe ne peut être que quelqu’une des forces naturelles connues , ou agissant seule , ou concurrefhment avec quelque autre force semblable.

Ce que l’on a fait de plus ingénieux dans ce genre , c’est la belle invention de l'échappement dans les horloges. C’est un poids , comme chacun sait , qui dans ces machines entretient par sa chute lente et successive les oscillations du balancier , et les prolonge bien audelà du terme quelles auraient naturellement ; tandis que le balancier à son tour modère et ralentit la chute du poids , qui sans cela se précipiterait en peu d’instans. C est donc ici la pesanteur qui se sert de correctif à elle-même , et qui trouve en elle de quoi surmonter la résistance des milieux , et celle du frottement. Mais jRnlin le poids moteur arrive tôt ou tard au point le plug

4/|8 rr o t t g.

bas , et il faut alors employer une nouvelle force nom* le remonter , et le mettre dans le cas d’agir de nouveau. Mais ne pourrait-on pas imaginer quelque combinaison, au moyen de laquelle ce poids pût s’élever , sans aucun secours étranger , jusqu’à la hauteur d'où il est descendu? C’est en général ce que les chercheurs du mouvement perpétuel ont essayé de faire , et toujours sans succès. Car il est démontré en mécanique qu’un corps tombé d'une certaine hauteur , ne peut jamais par luimême remonter à toute cette hauteur , à cause des obstacles inévitables qui lui font perdre une partie de sa force. Cependant malgré cette vérité reconnue et non contestée , on a vu dans tous les temps des gens qui ont tenté de construire quelque machine qui pût se mouvoir d’elle-même , et par l’inégale action de la pesanteur sur ses différentes parties.

L’espèce de machine qui a paru la plus propre à résoudre le grand problème du mouvement perpétuel , c’est une roue qui dans toutes les positions quelle peut prendre dans un plan vertical , aurait toujours une de ses moitiés plus pesante que l’autre. Il est facile de voir qu'il résulterait de cette construction un mouvement circulaire sans fin. La difficulté a toujours été , et sera toujoursde trouver une pareille construction. Quelquesuns avaient cru pouvoir y parvenir, en faisant une roue creuse en forme de tambour, divisant son intérieur par des cloisons , et plaçant dans chaque cellule des poids égaux qui devaient alternativement se porter de la circonférence vers le centre , et du centre à la cireoniférence. Leur moment ou leur action pour faire tourner la roue , devait être plus grand ou plus petit suivant leur position. Mais l’on fit voir que si les poids vers lq

NOTES. 44g

circonférence avaient plus de force motrice , ils étaient aussi en moindre nombre que ceux qui étaient de l’autre côté plus près du centre : de sorte qu'ils devaient bientôt se distribuer de part et. d’autre de manière qu’il y eût équilibre. Ce moyen qui a été tenté par plusieurs mécaniciens , n’ayant pu donner le résultat attendu , on a essayé d’y arriver par quelque autre mécanisme , mais en tournant toujours , pour ainsi dire , autour de la même idée.

En 1720 il fut beaucoup question dans le monde savant d’une roue inventée par M. r Orfiréus de Hesse- Cassel , roue qu’on disait être le mouvement perpétuel. L’on raconte à ce sujet que le Prince de Hesse , ayant engagé le célèbre s’ Gravesande à venir voir cette machine , et à l’examiner , l’inventeur aima mieux la briser , que de la soumettre à l’examen de cet illustre savant. Cette invention ne fut point décrite , et n’a point été imitée. Tout ce qu’on peut présumer à ce sujet , c’est que la macliine était fort ingénieuse , et qu’elle était mue par quelque agent secret , que l’œil ne pouvait apercevoir , mais qui n’aurait certainement pas échappé à la sagacité de s'Graeesande. La lin de la machine Ôl Orfiréus , et l’oubli où elle est tombée, prouvent Suffisamment que cette invention n’était pas , comme le prétendait fauteur, et comme le crurent alors bien des gens , la solution du problème du mouvement perpétuel.

Avant la roue de Hesse , il en avait paru une autre en Angleterre, qui avait eu aussi beaucoup d’admirateurs. Voici ce qu’on trouve à ce sujet dans la Physique du I). 1 Désaguliers , et ce qu’il a tiré lui-même d’un livra publié parle marquis de TV or cestre en 1 6(55 sous le titra {le Centuries d’inventions. Telles sont, dit-il, les propres

45o jSOTES.

paroles de l'auteur : « Faire en sorte que tous les poids dtt côté descendant d’une roue soient toujours plus éloignés du centre , que ceux du côté montant , et qu’ils soient encore égaux en nombre de part et d'autre. La chose serait tout-à-fait incroyable si on ne l’avait pas vue : mais on en fit l’expérience dans la mer sous ma direction , en présence du feu Roi , de deux ambassadeurs extraordinaires , du duc de Richemond , du duc Hamilton , et de toute la cour qui les accompagnait. La roue avait quarante pieds de hauteur , et portait quarante poids de cinquante livres chacun. Guillaume Balfore , lieutenant de la Tour , et plusieurs autres peuvent encore l’attester. Ils virent tous qu’aussitôt que ces grands poids eurent passé le diamètre vertical du côté le plus bas , ils furent suspendus à un pied plus près du centre ; et qu’aussitôt qu’ils eurent passé le mémo diamètre du côté supérieur , ils furent suspendus à un pied plus loin. On peut juger des conséquences. » Telle est la relation du marquis de W orcestre , hotnmo très-digne de foi , et extrêmement habile en mécanique , puisque c’est à lui que l'on doit la première idée des machines à vapeur. On croirait d'abord d’après ce récit que l’on avait trouvé à cette époque une machine , qui pouvait se mouvoir d’elle-même et par le seul effet de» l’inégale pesanteur de ses parties. Cest cependant ca que l’auteur des Centuries ne dit pas formellement^ et ce que nie le D.' Désagidiers par des raisons fondées sur les lois connues de la gravité. Le marquis de Worcestre ne nous ayant pas fait connaître la construction do cette roue , et ne nous ayant point expliqué par quel moyen les poids qui s étaient approchés du centre t s’en éloignaient ensuite) nous ne pouvons pas analyser.

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cette machine , ni comparer l'avantage résultant de l’excès de distance des poids , avec l’effort qu’il fallait faire pour les éloigner ainsi du centre. Il est plus que* probable , en supposant que la pesanteur agissait ici toute seule , que ces deux choses étaient égales , et que par conséquent il ne pouvait résulter de la disposition des différentes parties de cette machine , un mouvement spontané et sans fin. C'est ce qui est encore suffisamment prouvé par l’oubli total où cette grande machine est tombée. Voilà donc deux inventions , et ce ne sont pas les seules , ayant pour but de produire un mouvement perpétuel , que le temps a jugées , et qui se sont évanouies comme un rêve : il n’en reste aujourd’hui qu’un léger souvenir , comme de tentative» infructueuses pour arriver à la solution d’un problème réputé impossible.

Cependant on a encore dans ces dernier temps montré à Lyon une petite roue , que l’auteur assurait se mouvoir d’elle-même et sans fin. Cette macliine a été exposée aux regards du public ; et chacun a pu voir , qu’aussitôt qu’on ôtait ce qui faisait obstacle à son mouvement, elle commençait à tourner sur son centre, et continuait ainsi pendant un temps en apparence indéfini. La construction d’ailleurs en était fort simple. C’était une roue à la circonférence de laquelle étaient attachés à charnière douze petits léviers de poids égal , qui d’un côté s’alongeaient dans le sens des rayons de la roue , et de l’autre demeuraient suspendus à sa circonférence. Par cette disposition , le nombre des léviers étant le même de part et d’autre de la verticale qui passe par le centre de la roue , il est visible que le poids de ceux qui sont développés , et qui agissent à une plus grande

45a NOTES,

distance du cehtre du mouvement , doit l’emporter sur la résistance des autres , qui se trouvent placés plus " près de ce centre ; et comme cela a lieu dans toutes les posi lions de la roue, il semble d'abord que le mouve* ment doit s’y établir de lui-même , et ne jamais s’arrêter. Mais si l’on fait attention que les leviers inactifs , étant arrivés vers le haut de la roue , doivent se redresser et tourner autour de leur point de suspension , peur devenir agissons en passant de l’autre côté ; alors on commencera à entrevoir que l’obstacle qu’ils opposent dans leur redressement , pourrait bien être équivalent à tout l’avantage qui résulte de leur développement. Une construction géométrique va nous faire connaître au juste la valeur de cet obstacle pour un lévier donné.

Dans la machine que nous examinons , les leviers se relèvent i.° au moyen d’un petit rouleau fort mobile, placé vers le haut de la roqe , un peu à gauche de son diamètre vertical , et tout-à-fait indépendant de celte roue ; z.° par le secours d’un crochet porté par chaque lévier tout près de son origine, et perpendiculaire , ou à peu près à sa longueur. Lorsque par le mouvement circulaire de la roue , le point d’attache du lévier est arrivé à une certaine hauteur , le crochet dont il est armé , saisit le rouleau ; et la résistance de celui-ci , qui peut bien tourner sur lui - même , mais non être déplacé, oblige le lévier de quitter la position verticale et pendante qu’il avait conservée jusque-là , et de tourner autour de son point de suspension. Ce lévier tourne donc en effet , et il a achevé à peu près une demi-révolution , lorsqu’il est arrivé tout-à-fait au haut de la roue , d'où il passe du côté opposé , et se développe îotalement pour agir comme puissance , de résistance

qu’il était auparavant. Deux rouleaux semblables sont placés des deux côtés du plan de la roue, parce qu’afin d’empêcher que les leviers ne se gênent mutuellement, ils sont distribués alternativement , six sur une lace , et six sur l’autre.

Maintenant nous trouverons facilement de la manière suivante l'effort nécessaire pour redresser un de ces léviers. Deux forces agissent ici autour du point où le lévier est attaché , le poids du lévier qui se fait sentir suivant la verticale menée par son centre de gravité , et la résistance du rouleau qui est dirigée par son centre et par le point où le crochet touche sa circonférence. Ces deux forces se faisant mutuellement équilibre à chaque instant , sont donc entre elles réciproquement comme les perpendiculaires abaissées de l’origine du lévier sur leurs directions. Ces perpendiculaires peuvent donc dans tous les cas servir à les représenter.

Soit donc SG ( fig. 97 ) un des léviers asccndans , qui commence à se relever. Par son centre de gravité G menons la verticale GR , et par le centre du rouleau et le point de tangence du crochet ST , la droite CR : ce seront là les directions des deux forces qui se font équilibre dans fce moment : leurs grandeurs sont réciproques aux perpendiculaires G K. et ST. Si donc de leur point de concours R on prend sur leurs directions les quantités RP égale à GK , et RN égale à ST , et qu’on achève le parallélogramme, on aura RQ pour la résultante des deux forces , ou pour la mesure de l’effort qui se fait sur le point S de la roue où le lévier est attaché. Cet effort se fait dans le sens SR , c’est-à-dire dans un sens contraire au mouvement de la roue ; et c’est là l’obstacle que le lévier oppose dans ce moment, et qui doit être

vaincu per le côté prépondérant. La direction de RQ passe nécessairement par le point S , et c’est à ce point que cette résultante doit être censée appliquée. On en aura facilement la valeur en cherchant combien de fois le côté PR du parallélogramme est contenu dans la diagonale RQ. 11 y est ici près de deux fois. Donc la résistance de notre lévier en redressement est équivalente à une masse deux fois aussi grande que celle du lévier , et qui agirait sur le point S dans la direction SR.

Si cette direction SR était tangente à la circonférence de la roue , cette valeur serait aussi celle qu’aurait à vaincre la puissance qui agit sur la roue ; et le lévier que nous considérons , opposerait au mouvement de cette roue dans la position où il est , le même obstacle qu’une masse deux fois aussi grande , qui serait appliqué à l’extrémité de son rayon horizontal. Mais si SR n'est pas tangente , on la décomposera en deux forces , l’une dirigée vers le centre de la roue , et dont le seul effet est d’augmenter la pression sur ce point , l’autre agissant suivant la tangente, et s’opposant toute entière au mouvement. On aura de même la grandeur de celleci en comparant la droite qui sert à l’exprimer , avec celle PR qui représente le poids du lévier. (t)

( i ) Comme les constructions géométriques ne peuvent pas être très-multipliées , on peut avoir ici recours au calcul , et chercher une formule générale qui soit applicable à toutes les positions du lévier en redressement. Or voici cette formule que l’on trouve aisément en plaçant l’origine des coordonnées au centre

de la roue ; R = ^ [x' (b ± 1 sin a cos a) ly' cos 1 " j. C’est

la valeur de la résistance qu’oppose un des leviers ascendans.

NOTES. /j55

La méthode que l’on vient d’exposer , sert à faire connaître à chaque instant quelle est la résistance qu'opposent les leviers en redressement ; et l’on peut ainsi dans toutes les positions de la roue , comparer la puissance des leviers descendans , avec la résistance des leviers montans. Il y a telle inclinaison de ceux-ci , où un seul résiste autant qu’une masse cinq ou six fois plus grande attachée à la circonférence de la roue. Or si l’on fait les constructions convenables , on trouvera que la somme des puissances qui agissent d’un côté de la roue , est tantôt plus grande , tantôt plus petite , que la somme des résistances qui agissent du côté opposé ; que par conséquent l’équilibre doit nécessairement s’établir entre elles , et qu’il ne peut eu aucune façon de la disposition ci-dessus résulter de mouvement qui soit de quelque durée.

Au reste nous ne sommes entrés dans tous ces détails , que pour donner un exemple de la manière dont une machine doit être analysée. Car pour prouver l’absurdité des prétentions de l’inventeur de celle-ci, et faire

P est le poids du lévier , r est le rayon de la roue , b est la longueur du crochet depuis l’origine du levier jusqu’au point où il touche le rouleau , 1 est la longueur du lévier depuis le point d’attache jusqu’à son centre de gravité, a est l’angle qu’il fait avec l’horizontale ; x' , y' sont les coordonnées du point de la roue où le lévier est attaché. Au moyen de cette formule on peut calculer la résistance qu’oppose un lévier montant à tous les instans de son redressement ; et en faisant une somme des résistances qui ont lieu d’un côté, on la trouvera en général équivalente à la somme des puissances qui agissent de l’autre côté.

voir que le mouvement devait y être produit par quelque agent étranger qu'il avait eu soin de dérober aux regards , il suffisait tle partir de ce principe immuable : que des poids tombés d’une certaine hauteur , ne peuvent jamais par eux-mêmes , ni par la manière dont ils agissent les uns sur les autres , remonter à toute la hauteur d'où ils sont tombés. Or dans la machine analysée , si l’on fait faire à la roue un douzième de sa révolution , et que chaque lévier prenne ainsi la place du lévier précédent , on reconnaîtra facilement , que la somme des hauteurs parcourues par les léviers descendans , est toujours égale à la somme des hauteurs dont s’élèvent les léviers montans : ce que ne peut faire la pesanteur seule des léviers , et qui était dû par conséquent à quelque action étrangère à la machine. 11 y avait donc ici une supercherie qui fut bientôt dévoilée ; et moins heureux , ou moins adroit qu 'Orfiréus , l’auteur fut obligé de disparaître , et d’aller cacher sa honte dans quelque coin.

NOTE (d).

L’expérience rapportée dans le texte est une expérience remarquable ; et il faut que nous fassions voir comment nous avons trouvé toutes les conséquences qui sont consignées dans cet endroit. D’abord nous ne connaissons ici que le temps pendant lequel la halle est demeurée en l’air : la vitesse de projection nous est inconnue , ainsi que la vitesse au retour. Tout ce que nous pouvons établir d’abord , c’est quelle a mis pour monter moins de dix secondes. Car c'eût été là le temps de son ascension , si elle n’avait eu que

WOTES. 4^7

ta pesanteur à combattre. La résistance de l'air en lui opposant un obstacle de plus , a été cause que son mouvement s’est épuisé plus vite , et la durée de son. ascension a du par conséquent être moindre que dix secondes.

Mais pendant combien de temps la balle est-elle <lonc montée ? C’est ce qu’on ne peut savoir que par le tâtonnement. On fait donc diûérentes suppositions , et l’on calcule d'après cela quel est l'espace que la balle a parcouru en montant , en ayant égard à la fois à la résistance de l’air , et à l’action de la pesanteur. L’on calcule de même la hauteur dont elle est tombée pendant le reste du temps par l’effet de la pesanteur seule , et en tenant également compte du ralentissement produit par la résistance du fluide atmosphérique. S’il y a égalité entre ces deux espaces , c’est une preuve que l’on a rencontré juste, et que le temps de la montée et celui de la descente sont tels qu’on les a supposés : sinon un petit nombre d’hypothèses mènera bien vite au résultat désiré. Il faut observer ici qu’il n’est pas nécessaire de connaître d’avance la vitesse de projection. On la conclut facilement d’après la durée de l’ascension ; de façon que la connaissance du temps suffit seule pour déterminer toutes les circonstances du mouvement de la balle.

On trouve dans les Traités de mécanique de MM. Francœur et Poisson , les formules nécessaires pour la solution du présent problème. (1) Mais avant d’en

(1) Formules pour l’ascension; T = — arc ( tang — «V) ;

E= dÿ Io S (i + «‘V*);V=i tang ( arc = ngT ).

£iire le calcul , il faut connaître la valeur de la résistance que l’air oppose au mouvement ; et celte connaissance ne peut être donnée que par l’expérience. C’est elle qui nous a appris qu’une surface plane d 'un pied quarré mue avec une vitesse à'iiu pied par seconde , éprouvait de la part de l’eau une résistance équivalente à 18 onces et deux tiers, ou d’onces. L’air étant 800 fois moins dense que l’eau , la résistance de ce fluide sur la même surface sera 800 fois moindre , ou de = o,oa 33 d’once. Mais la

balle de notre expérience n’ayant que 4 ~ lignes de diamètre , la surface de son grand cercle n’était guère que de 16 lignes quarrées : ce qui , en prenant la moitié , comme l’exige la théorie du choc sur la sphère , se réduit à 8 lignes quarrées , ou à de pied quarré. La résistance de l’air étant donc encore diminuée suivant le rapport des surfaces , on trouve finalement quelle n était pour notre balle , et en ne supposant à celle-ci qu'un pied de vitesse par seconde,

Formules pour la descente; T — — log t **

a -^x-iog(i-«‘V'*);V' =

T , E , V sont les initiales des mots temps , espace , vitesse. Ces lettres sont marquées d’un accent pour le retour, m est la résistance du milieu pour un pied de vitesse, g est la gravité , ou 3oP- de vitesse par seconde. C’est le poids du mobile , lorsque la résistance du milieu est exprimée

en onces.