Choc des corps élastiques

Cherchons maintenant ce qui doit arriver dans le choc des corps élastiques , et supposons pour plus de simplicité que leur élasticité est parfaite. Nous supposerons aussi que les corps qui se choquent , ont unç forme sphérique , et que le choc est direct , ou qu’il se fait suivant la droite qui passe par les centres des

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sphères. Ces suppositions établies , nous tirerons les lois qui concernent le cas présent , de celles que nous avons trouvées pour celui qui a précédé. En effet , la .vertu élastique dont jouissent nos deux mobiles , et qui , après qu’ils se sont aplatis par le clioc, leur rend leur forme première , cette vertu élastique peut être considérée comme un ressort placé entre les deux corps qui se choquent , lequel étant comprimé par l’effet du choc, doit se débander avec une force égale , et réagir de la même manière contre l’un et contre l’autre (*). Lelasticité les pousse donc tous deux en sens contraire : elle ajoute , par conséquent , au corps choqué une vitesse égale à celle que le choc lui a communiquée , et elle ôte au corps choquant tout autant que lo choc lui avait fait perdre ; de façon que le résultat se trouve dans tous les cas, en calculant d’abord comme ; si les corps étaient non-élastiques , et doublant ensuite 'T effet du choc pour l’un et l’autre des deux corps.

Les corps à ressort offrent une circonstance qui na point lieu pour les corps non-élastiques. Il peut arriver que la soustraction qu’il faut faire d’après ce qu’on vient de dire , pour avoir après le choc la vitesse du corps choquant , ne soit pas possible , parce que la quantité à retrancher est plus grande que celle qui restait. Alors on prend la quantité dont il s’en faut , et celle-ci ex-

(*) On fait voir en Physique que cela est ainsi , au moyen de deux anneaux de cuivre situés dans un même plan , et serres l’un contre l’autre par un gros fil. A l'instant où le fil est coupé ou brûlé , on voit les deux anneaux se repousser mutuellement avec une force égale à celle qui les tenait comprimés.

De la communication du Mouvement. 85

prime bien la vitesse absolue de ce corps , mais qui so fait en sens contraire de son premier mouvement , c’est-à-dire que dans ce cas le corps choquant retourne en arrière après le choc avec la vitesse ainsi trouvée. Les exemples suivans serviront à éclaircir ceci.

Considérons d’abord le cas où les deux corps sont 'égaux en masse , et où l’un d’eux est en repos. Le choe seul , comme on a vu , communiquerait à celui-ci une vitesse égale à la moitié de la vitesse du corps choquant, et ce dernier perdrait aussi la moitié de sa vitesse propre. Or l’élasticité devant doubler l’effet du choc t c’est-à-dire , la perte de l’un et le gain de l’autre , il suit que le corps choquant sera réduit au repos , et que le corps choqué prendra toute la vitesse qu’avait celui-là. Ainsi il n’y aura non plus rien de perdu ici , et le mouvement aura passé en totalité de l’un de ces corps dans l’autre.

Si l’on suppose que les masses sont inégales , et que celle du corps en repos ne soit , par exemple , que la moitié de l’autre ; la vitesse commune après le choc serait , ainsi qu’on a vu plus haut , les deux tiers de la vitesse primitive : le corps choqué aurait acquis une vitesse égale à deux tiers, et le corps choquant alirait perdu un tiers de la sienne. L’élasticité fera donc que la vitesse dupremierserade^Mafrefiers, et celle du second seulement d'un tiers , et la quantité de mouvement existante après le choc sera encore la même que celle qui existait avant , puisque les produits des deux masses par leurs vitesses respectives égalent ensemble le produit de la seule masse choquante par sa vitesse propre.

Enfin , si la masse en repos était le double de celle qui se meut ; dans ce cas , comme on peut se le rappe-

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1er , la vitesse commune serait réduite à un tiers. Ld corps choqué aurait donc acquis une vitesse d'un tiers , que l'élasticité augmentera d'autant, et qui sera par conséquent égale à deux tiers. Quant au corps choquant , il aurait perdu par l’effet du choc les deux tiers de sa vitesse propre : l’élasticité doit lui en ôter encore autant. Sa perte réelle est donc de quatre tiers : c’est un tiers de plus qu’il n’a ; et cela veut dire , qu’après le choc non-seulement il cessera d’avancer dans le sens de son mouvement primitif, mais qu’il retournera en arrière avec une vitesse égale à un tiers. Ici la quantité absolue de mouvement après le choc est plus grande que celle qui existait auparavant : mais l’un des mouvemens se fait dans un sens opposé ; de façon qu’on retrouvera l'égalité qui avait lieu dans les autres cas , si l’on considère le mouvement rétrograde du corps choquant comme devant être soustrait du mouvement direct du corps choqué, (i)

Cherchons maintenant ce qui doit arriver lorsque les deux mobiles sont tous deux en mouvement, et dans le même sens. Il ne peut y avoir de choc ici ,

(i)En appelant u la vitesse restante au corps choquant» et u' celle que prend le corps choqué , on a les formules pour

le cas présent : u' = mTm' > etu — "TH- M' • ’ PSt ‘ a vitesse du corps choquant avant le choc ; M et M' sont les niasses des deux mobiles ; les lettres accentuées sont pour le corps choqué. Si M rs M' , alors u' — V, et u — o , ce qui fait voir que le corps choquant est réduit au repos. Si M est plus petit que M' , u' est aussi plus petit que V , et la valeur de u devient négative , ce qui veut dire que dans ce cas , le corps choquant retourne en arrière.

De la communication du Mouvement . 8y

«ju'autant que le mobile suivant a plus de vitesse que celui qui précède. Pour trouver le résultat dans le cas présent , il faut , comme on a dit , soustraire d’abord la plus petite vitesse de la plus grande , considérer ensuite comme étant en repos le mobile à qui appartenait la première , et distribuer enfin entre les deux masses l’excès des deux vitesses. On a donc ainsi l'accroissement qu’aurait reçu la moindre vitesse, et la perte que la plus grande aurait éprouvée. L’élasticité doublera l’un et l’autre effet. Ainsi l’on aura la vitesse totale du corps choqué , en ajoutant à tout ce qu’il a acquis , la vitesse dont il jouissait avant le clioc , et l’on trouvera celle qui reste au corps choquant , en retranchant de la vitesse qu’il avait au moment de la rencontre , tout ce que le choc et l'élasticité réunis lui ont fait perdre. Il arrivera encore ici que le corps choquant , ou continuera de se mouvoir suivant sa première direction , ou s’arrêtera subitement au moment du choc, ou retournera en arrière dans le sens contraire à son mouvement primitif : cela dépend comme précédemment du rapport des masses , et de plus de celui des vitesses.

Supposons , pour en donner un exemple , que les deux mobiles , soient de masses égales , et que leurs vitesses sont dans le rapport de deux à un. Cela étant, l'excès de vitesse un devant se partager également entre eux , l’un d’eux gagnerait un demi degré de vitesse , et l’autre perdrait un demi degré. Mais en ayant égard à l’élasticité , le corps choqué acquerra un degré tout entier , et le corps choquant en perdra tout autant : de façon que le premier aura après le choc deux degrés de vitesse , et le dernier un seulement. Il se sera donc-

Digiti

88 Première Section. Chapitre V.

Êiit ainsi entre eux un échange de leurs vitesses antérieures. Si les masses sont inégales , on trouvera de la même manière ce qui doit résulter du choc pour l’un et pour l’autre ; et en ayant égard à l’observation cidessus , on trouvera encore que la quantité de mouvement est la même avant et après le choc. (2)

Il nous reste à examiner le cas où les deux mobiles vont en sens contraire , et viennent se heurter l’un l’autre. On sait qu’il y a ici une vitesse détruite par le choc : mais cette vitesse doit être restituée par l’élasticité, et dans un sens opposé. Ainsi en calculant d’abord la perte de chacun des mobiles , et la doublant , pour la retrancher ensuite de leur vitesse primitive, on aura la vitesse qui doit leur rester, et le sens suivant lequel ils doivent se mouvoir.

Pour donner un exemple de ce cas , supposons que les deux mobiles viennent se choquer d’abord avec des masses et des vitesses égales. L’effet du choc , s’ils étaient sans ressort , serait de les réduire tous deux au repos : mais comme la force élastique doit leur rendre ce qu’ils ont perdu par leur rencontre mutuelle , ils rejailliront en sens contraire , et s’éloigneront l’un

(a) Les formules pour le cas que nous considérons ici ,

- . , . , «MV-VVM-MT,;

sont, en faisant usage des memes signes : 11 — KiTTliê *’

etu= „- + jjj, i. Ces formules se ramèneraient aux

précédentes en faisant V' égal à zéro ; ce. qui serait supposer ( l’un des deux corps en repos. La valeur de u devient néga" tive, et le corps choquant retourne en arrière , lorsque M étant plus petit que M' , le produit V ( M— M' ) est plus grand que a M'V'.

De la communication du Mouvement. 89 de Fautre avec une vitesse égale à celle dont ils jouissaient au moment du choc. Chacun des deux mobiles dans ce cas est pour l’autre comme un obstacle invincible , et le mouvement devient ainsi un mouvement réfléchi.

Si les vitesses étant toujours égales, les masses sont dans le rapport de deux à un ; la vitesse commune après le choc , toujours en supposant les corps nonélastiques , serait égale à un tiers , et les deux mobiles iraient ensemble dans le sens du mouvement de la plus grande des deux masses. Celle-ci aurait donc perdu les deux tiers de sa vitesse : en ayant égard à lelasticité , sa perte totale sera de quatre tiers, c’est-à-dire, quelle retournera en arrière avec une vitesse de un tiers. Quant à l’autre masse , qui a déjà perdu par le choc toute sa vitesse propre , et qui de plus serait par cette seule cause , forcée de rétrograder avec une vitesse égale à un tiers , elle perdra encore par la réaction élastique une quantité égale , et sa vitesse rétrograde sera de cinq tiers. Les deux mobiles s'éloigneront donc l’un de l’autre avec les vitesses qu’on vient de déterminer , et dont la somme est égale à celle des vitesses primitives.

Enfin si les masses étant égales , les vitesses se trouvaient dans le rapport de deux à un , le mouvement dans le cas de la non-élasticité , se ferait après le choc dans le sens de la plus grande vitesse , et avec une vitesse commune égale à un demi. Le mobile repoussé auroit donc perdu trois demi : en doublant à cause du ressort , on a six demi , ou trois, pour sa perte totale : donc il retournera en arrière avec une vitesse égale à deux. L’autre mobile aurait également perdu trois

go Premiert: Section. Chapitre V.

demi, dont le double retranché de sa vitesse deux + donne un pour la vitesse avec laquelle il retournera pareillement en arrière. Ainsi les deux mobiles se seront mutuellement repoussés , et rétrograderont chacun de son côté , après avoir fait échange de leurs vitesses. (3)

On a observé que lorsque les deux mobiles vont dans le même sens , ou lorsque l’un d’eux est en repos , la quantité de mouvement après le choc était la même qu’avant le choc , au moins en ayant égard à la direction de ce mouvement , et regardant conune soustractif tout mouvement rétrograde. On exprime cette proposition en disant , que la somme des quantités do mouvement des deux mobiles est la même avant et après le choc. Mais lorsque les deux corps se meuvent en sens contraire, et viennent s’entre-choquer , c’est alors la différence des quantités de mouvement qui demeure la même avant et après , comme il est facile de s’en assurer , en faisant dans les masses et les vitesses des mobiles toutes les suppositions qu'on voudra. (4)

(3) Les formules pour ce troisième cas , sont

etu'=ï£L

-M’) + îMV, e . ,

M + M 1 Si le»

masses sont égales , la différence M— M' est nulle , et le terme où cette différence est facteur s’évanouit ; de sorte qu'alors u = V' , et u' = V.

(4) On a dans les deux premiers cas : MV*+-M'V'=Mu -j- M'u'; et dans le dernier : MV-— M'V' r= Mu— M'u'. Cette dernière égalité qui a lieu lorsque les deux mobiles rétrogradent tous deux après le choc , se change en l’équation suivante : MV — M'V'tr: Mu-f-M'u' , lorsque les deux mobiles après le choc vont tous deux dans le même sens.

De ta communication du Mouvement. 91 Une chose qui est particulière aux corps élastiques , c’est que la somme des forces vives est la même dans tous les cas avant et après le choc. On appelle ainsi le produit de chaque niasse par le quarré de sa vitesse. Il est facile de vérifier cette proposition sur les divers exemples apportés ci-dessus. ( 5 )

Ces lois du choc des corps à ressort peuvent également être confirmées par l’expérience , au moyen de l’appareil qu’on a fait connaître plus haut. A la place des boules de terre molle, on se sert de billes d’ivoire, que l’on fait choquer entre elles de la meme manière. Mais ici l’on observe que les résultats fournis par 1 expérience sont ordinairement inférieurs à ceux que donne le calcul. La raison en est que dans la théorie l’on suppose que le ressort est parfait , tandis que la nature ne nous offre que des corps dont 1 élasticité est imparfaite , sous ce point de vue que leur rétablissement qui paraît néanmoins complet , ne se fait pas avec une force et une promptitude égale à la compression. Il suit de là que la vitesse communiquée par l’élasticité n’est pas tout-à-fait aussi grande quelle devrait être , et que les mobiles ne vont pas aussi loin que le calcul le demande. On pourrait ajouter que diBerens obstacles, que nous ferons bientôt connaître , empêchent toujours que les effets physiques ne soient parfaitement conformes aux résultats théoriques , dans les-

(5) On a ici : MV* -+- M'V'* = Mu’ H- M'u*. On peut vérifier cette égalité , en élevant au quarré les valeurs de u et de u' données ci-dessus , et multipliant par les masses ■respectives. Ce résultat s’appelle le principe de la conservation des forces vives.

g-2 PrEMIÎïRE SeCTIOW. CHAPITRE V.

quels on fait abstraction de ces inconvéniens. Ces obstacles ont ici plus d’influence à cause de l'étendue des mouvemens. Malgré cela l’on peut dire que l’expérience suivra d’assez près la théorie , pour qu’on soit convaincu , que la différence observée entre l’une et l’autre vient uniquement des causes qu’on a indiquées ici.