De la pesanteur combinée avec une impulsion verticale

On a considéré le mouvement d’un corps qui se meut de haut en bas entraîné par la seule action de la pesanteur. Mais si le mobile avait reçu en outre une impulsion quelconque , il ne faut pas croire que cette force étrangère pût déranger en aucune façon l’effet de la gravité. Non : quelle que soit la'vitesse imprimée à un corps , dans quelque direction qu’il soit poussé , dès qu’il cesse d’ètre soutenu , il ne peut échapper à la force de la pesanteur , qui agit toujours sur lui en' toute liberté , et avec la même énergie que si elle était seule.

Si donc un corps a reçu d’avance une impulsion verticale de haut en bas , alors à la vitesse communiquée par la pesanteur au bout d’un certain temps , il faudra ajouter la vitesse uniforme due à cette impulsion , et cette somme exprimera toute la vitesse dont le corps

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jouit à ce moment. Quant à l’espace parcouru jusqu’alors , il se composera de l’espace décrit pendant ce temps par l’effet de la pesanteur , et de celui que l’impulsion supposée lait parcourir dans le même temps, (i)

Mais si l’impulsion verticale est donnée de bas en haut , alors la pesanteur loin d’ajouter à la vitesse du mobile , travaille au contraire sans cesse à la diminuer, et finit bientôt par la détruire totalement. Ainsi le mobile après s’être élevé jusqu’à une certaine hauteur , cessera de monter davantage , .et commencera à descendre de la même manière que s’il partait du repos* Il emploîra pour revenir au point d’où il Était parti , autant de temps qu'il lui en a fallu pour parvenir à sa plus grande hauteur , et il aura en arrivant en bas la même vitesse qu’il avait en partant. En effet , c’est la pesanteur qui détruit peu à peu toute la vitesse d’ascension : c’est elle aussi qui ramène en bas le mobile : son action , comme on sait , est la nvime dans tous les instans. Cette force rte peut donc donner dans un sens que ce quelle a ôté dans le sens contraire ; et il lui faudra évidemment un temps égal pour l’un et pour l’autre.

Supposons donc qu’un corps soit poussé de bas en haut avec une vitesse uniforme de ioo pieds par seconde , on demande pendant combien de temps ca corps montera , et quelle est la hauteur où il parviendra , abstraction faite de toute résistance.

(i) V étant la vitesse d’impulsion , les formules pour ce cas sont : v = V gt , et e = Vt -f- I gl*. Elles sont les mêmes que les précédentes , quand on fait V = o , ou qu’il

n’y a pas eu d’impulsion.

t46 Première Section. Chapitre VIT.

On voit d’abord que le mobile qui , à chaque seconde , devrait s’élever d’une centaine de pieds , si ce n’était la pesanteur , perdra par cette cause , 1 5 pieds dans la première seconde , trois fois i5 , ou 45 pieds dans la deuxième , et ainsi des autres , en augmentant à chaque seconde sa perte de 3o pieds. On peut déjà conclure de là qu’il montera pendant moins de quatre secondes , et qu’il sera de retour avant le commencement de la huitième.

On obtiendra une réponse plus précise en observant qu’une vitesse donnée ne peut être détruite que par une vitesse égale et contraire. La vitesse ascensionnelle de ioo pieds par seconde ne peut donc être anéantie par la pesanteur, qu’au bout du temps nécessaire pour . que cette force produise une égale vitesse. Or , par la quatrième question ci-dessus , on trouve facilement , » qu’il lui faut pour cela trois secondes et un tiers. C’est donc là le temps pendant lequel le mobile montera , après quoi il emploîra un temps égal pour descendre. Mais pendant ce temps de trois secondes et un tiers , un corps pesant descend de 1 66 pieds et deux tiers : c’est donc là aussi toute la hauteur où le mobile est parvenu. On a donc répondu aux questions proposées.

En général , on aura le temps pendant lequel le mobile est monté , en divisant sa vitesse initiale par 3o, qui est en pieds la vitesse que la pesanteur communique dans une seconde de temps ; et l’on trouvera la hauteur à laquelle il est parvenu , en divisant par 6o le quarrè de cette même vitesse initiale. ( 2 )

(2) Les formules pour le cas que nous considérons ici , sont jr = Y •— §t , , et e =. Yt — î gt*. La première donne à chaque

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Puisqu’un corps lancé verticalement de bas en liant , met autant de temps à monter qu’à descendre , si ou tire une balle dans cette direction , et que l’on compte le nombre de secondes qui s’est écoulé depuis le moment du départ , jusqu’à celui où la balle revient frapper la terre , on aura tout ce qu’il faut pour déterminer , soit la hauteur à laquelle la balle est parvenue, soit la vitesse quelle avait en partant. Celle-ci est égale à la moitié du nombre des secondes multipliée par 3 o; et l’autre se trouve , en multipliant la vitesse par elle-même et divisant par 60. Mais c’est ici surtout que les résultats de l’expérience doivent différer de ceux que donne le calcul.

La pesanteur n’est pas le seul obstacle qui s’opposo à l’élévation du mobile : la résistance de l’air retarde encore sa vitesse ascendante , et d’autant plus qu’il a été poussé par une plus grande force. Le mobile ne montera donc pas à toute la hauteur théorique , et la quantité dont il restera au-dessous , sera plus grande à proportion que sa vitesse initiale aura été plus consi-

instant , la vitesse qui reste au mobile , et l’autre la hauteur où il est arrive. Si l'on fait v — o , c’est-à-dire , si l'on suppose que toute la vitesse d'ascension est anéantie , • alors V — ; gt ,

d’où t = -, qui donne le temps nécessaire pour cela. Si

dans la seconde formule on fait c ;so , ce qui suppose que le mobile est revenu au point du départ , on a Vt = ’ gt* ; d’où 0 V

t — C'est le temps total , lequel est double du précédent.

La première valeur de t introduite dans la seconde formule

donne : e . C’est l’expression de la hauteur où le

piobile est parvenu.

1 48 Première Section. Chapitre VII.

dérable. Il n'aura pas non plus à son retour la même vitesse qu’il avait au moment de son départ ; et il emploîra pour descendre plus de temps qu’il ne lui en a fallu pour monter ; de sorte que les résultats donnés par le calcul , en négligeant la résistance de l’air , se trouvent entièrement fautifs lorsqu’on veut les appliquer au mouvement d’un corps qui est lancé au travers de ce fluide. C’est ce qui se verra clairement par le calcul de l’expérience suivante.

Expérience. Avec un fusil à vent, instrument connu des physiciens , on a tiré une balle de bas en haut dans une direction assez exactement verticale , pour que la balle soit venue retomber au même endroit au bout de 20 secondes. Si l’on considère cette expérience comme faite dans le vide , le temps de la montée et celui de la descente auront été chacun de 10 secondes : la balle sera parvenue à une hauteur de i5oo pieds ; et sa vitesse en partant était de 3oo pieds par seconde. A son retour vers la terre sa vitesse est encore égale à celle-là , et c’est avec toute cette force qu elle vient frapper le corps qui la reçoit. Tels sont les résultats que donne l’hypothèse du vide : c’est tout autre chose , quand on a é<*ard , comme il faut , à la résistance de l’air.

On trouve d'abord que le temps de la montée n est plus égal au temps de la descente : la balle s’est élevée pendant huit secondes et trois quarts à peu près, et elle a mis onze secondes et demie à descendre. Secondement elle est parvenue à une hauteur de 1 i3o pieds environ, ayant à son départ une vitesse de 685 pieds , et à son retour une vitesse seulement de x 44 pieds. Avec cette vitesse initiale de 685 pieds , la balle dans le vide serait montée pendant près de secondes ; elle serait arrivée à

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une liauteur de tSSo pieds : elle aurait mis le même temps à descendre , et sa vitesse finale eût été également de 685 pieds. La résistance seule de l’air a donc suffi pour lui faire perdre près des six septièmes de son élévation , et pour réduire sa dernière vitesse à moins d'un quart , et toute la durée de son mouvement à moins de la moitié. (*)

On a vu qu a la fin de la première'’ seconde la seule vitesse acquise était capable de faire parcourir au mobile pendant la seconde suivante un espace double du premier. La même chose a lieu à toutes les époques de la chute d'un corps : c’est-à-dire , qu’à la fin d’un temps quelconque , un corps qui tombe librement , a toujours une vitesse suffisante , pour décrire dans un temps égal un espace double de celui qu’il a décrit dans le temps écoulé. Un corps tombé d’une certaine hauteur , pourrait donc avec la vitesse qu’il a au terme de sa chute , parcourir un espace double de cette hauteur pendant le même temps qu’il a mis à descendre.

Si l’on conçoit donc qu’au moment où un corps tombant est arrivé en bas , la direction de son mouvement vient à changer , et qu’il est repoussé de bas en haut suivant la même verticale , le mobile dans un temps égal à celui de sa descente , parviendrait à une hauteur double de celle d’où il est descendu , et continuerait à monter avec cette même vitesse , en supposant que la pesanteur eût cessé d’agir sur lui. Mais comme lorsqu’il rejaillit ainsi et s’élève, cette force continue à se faire sentir de la même manière , il suit que le mobile ne pourra point arriver plus haut que le point d’où il

(*) Voyez la Note (rf).

i5o Première Section - . Chapitre Ali.

était parti , et qu’il y parviendra dans un temps égal h I celui de sa chute. Ainsi un corps pesant tombé d’une certaine hauteur , jouit lorsqu’il est arrivé au point le plus bas , d’une vitesse capable de le faire remonter à la même hauteur dans le même temps , nonobstant îaction de la pesanteur.

La règle qu’on vient d’établir , est certaine et vraie en théorie : mais dans la pratique on trouve que les effets ne sont pas exactement d’accord avec elle. Les corps tombés ne remontent pas tout-à-fait à la hauteur d’où ils sont descendus : et c’est encore la résistance de l’air qui en est la principale cause, line bille d’ivoire tombant verticalement sur une tablette de marbre bien horizontale , devrait rebondir jusqu’au point d’où elle est tombée : mais l’imperfection du ressort, et la résistance que l’air oppose , ne permettent pas quelle y puisse arriver. La bille monte donc un peu moins à chaque bond , et son mouvement alternatif qui semblait devoir durer toujours , se trouve bientôt arrêté.