DE LA PESANTEUR MODIFIÉE PAR USE RÉSISTAS CE.J

i. Mouvement des corps pesons sur un plan incliné.

Ijorsqu’un corps repose sur un plan parfaitement horizontal , il demeure en repos , ou plutôt en équilibre entre la force de la pesanteur qui le sollicite , et la résistance du plan qui est directement opposée à cette force, et la détruit complètement. Il n’existe ici aucune raison pour que le corps se mette en mouvement d’aucun côté ; et tout ce qui peut arriver , c’est que si le plan a quelque flexibilité, il cède un peu et se creuse «le quelque chose , lorsque le poids du corps est assez; considérable. C’est à cela que se borne alors tout l’effet de la pesanteur.

Mais si le plan «pii supporte le corps, n’est point parallèle à l’horizon , s’il lui est incliné «l'une manière quelconque , alors netant plus directement opposé à la

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pesanteur , l’action de cette force ne sera plus détruit» en totalité; et comme en dernier résultat son but est d’approcher les corps du centre de la terre , la chose pouvant ici avoir lieu, le mobile descendra donc le long du plan incliné , jusqu’à ce qu’il soit arrivé au point le plus bas ; et son mouvement se fera avec une vitesse, et suivant des lois qu’il est facile de déterminer , lorsqu’on connaît l’inclinaison du plan.

Soit AB(fig. 18) un plan incliné à l’horizon. Si par les points A et B on mène une verticale -et une horizontale qui se rencontrent en C , on aura BC pour la base du plan , et AC pour sa hauteur : AB en est la longueur. Supposons maintenant un corps M posé en un point quelconque de ce plan. Si du centre du corps on abaisse une verticale GX , elle indiquera le sens suivant lequel la pesanteur sollicite le corps ; et comme il n’est pas possible qu’il prenne cette direction , sut GP pris arbitrairement pour représenter la force de la pesanteur , et considéré comme diagonale , on construira un parallélogramme dont un côté GK soit parallèle au plan , et l’autre GH lui soit perpendiculaire. I-a force de la pesanteur sera ainsi décomposée en deux forces, dont l’une sera détruite par la résistance du plan , et l’autre aura son effet tout entier , puisque le plan ne lui oppose aucun obstacle. C’est donc à la force GK que le mobile obéira. Quant à la force GII , elle exprimera la pression que supporte le plan.

La quantité GP prise arbitrairement sur la verticale GX , ayant servi à représenter l’effet de la pesanteur sur un corps qui lui obéit librement, s'appelle la pesanteur absolue. La quantité GK prise sur la parallèle au

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plan , et qui sert à exprimer l’effet de cette force contrariée par le plan , se nomme la pesanteur relative. Lorqu’un corps libre descendrait verticalement de la hauteur GP , un corps posé sur le plan AB, ne parcourrait que l’espace GK. dans le même temps. Si l’on veut avoir le rapport entre la pesanteur absolue , et la pesanteur relative , on n’a qu’à comparer ensemble les deux triangles GPK et A1JC , et l’on trouvera facilement que la pesanteur relative est à la pesanteur absolue comme la hauteur du plan est à sa longueur. Comme à mesure que le plan s'incline davantage à l’horizon , sa hauteur devient plus petite^ar rapport à sa longueur , la pesanteur relative diminue donc de plus en plus à proportion que lç plan approche plus d’être horizontal.

D’après le principe qu’on vient d’établir , si l’on veut avoir la valeur de la pesanteur relative sur un plan dont l’inclinaison est connue, ou ce qui est la même chose , la vitesse qu’un corps acquiert le long du plan en une seconde de temps , on multipliera la pesanteur absolue que nous avons trouvée ci-dessus de 3o,a pieds, par la hauteur du plan , et l’on divisera ensuite par sa longueur , l’une et l’autre exprimées de même. Si la hauteur n’est que la moitié , le tiers ou le quart de la longueur, 1» vitesse acquise en une seconde ne sera que la moitié , le tiers ou le quart de 3 o, 2 pieds ; et cette vitesse n’est pas dans le sens vertical de haut en bas , mais dans le sens du plan , et inclinée de même à l’horizon.

L’inclinaison du plan étant uniforme sur toute son étendue , l’obstacle qu’il oppose à la pesanteur est par-

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tout le même , et doit par conséquent diminuer son action de la même manière sur tous les points de sa longueur. Il suit de là que la pesanteur relative qui agit continuellement sur le mobile et avec la même énergie , doit accélérer son mouvement le long du plan incliné de la même manière , et suivant les mêmes lois qui règlent le mouvement d’un corps qui obéit librement à la pesaqteur. Pour résoudre donc toutes les questions que l’on peut proposer à ce sujet , on fera usage de ce qui a été dit ci-dessus : le seul changement à faire consistera à mettre à la place de la pesanteur absolue , la pesanteur relative déterminée , comme on a dit, d’après l’inclinaison du plan, (i)

Si l’on veut donc comparer le mouvement des corps qui descendent par des plans inclinés dilférens , on trouvera i:° que ce mouvement est d’autant plus lent, que la hauteur du plan est .plus petite en comparaison de sa longueur ; i. 9 que les espaces parcourus en même temps sur des plans de même hauteur , sont en raison inverse des longueurs des plans 5,3." que les temps nécessaires pour parcourir les longueurs de ces plans qui ont une égale hauteur , sont en raison directe de ces longueurs ; 4-° que si les plans ont des hauteurs différentes et une égale longueur, les espaces parcourus en même temps .seront proportionnels à ces hauteurs, et les temps nécessaires pour desccn-

(i) En appelait g' la pesanteur relative , h la hauteur du plan , et 1 sa longueur , on a d’abord : g' = -p. Ensuite v'

gV , et e' ss v g't ' 1 , en marquant d’un accent tout ce qui est relatif au plan incliné.

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tire par ces plans , seront en raison inverse dès racines quarrées des mêmes hauteurs. (2)

On peut vouloir aussi comparer le mouvement d’nn corps qui descend le long d'un plan incliné , avec celui d’un autre corps qui tombe librement suivant une ligne verticale. Soit donc un plan incliné AB ( fig. 19 ) dont la hauteur est AC. On peut demander dans quel - rapport sont les temps qu’il faut à deux corps descendant l’un par AB et l’autre par AC , pour arriver à la même droite horizontale BC. On voit de suite qu’il faudra plus de temps au premier de ces corps , parce qu’il a plus de chemin à faire , et parce que la force qui l’anime est moindre. En ayant égard , comme il faut , à ces deux raisons , on trouve que le temps par la hauteur du plan est au tems par la longueur , comme la hauteur du plan est à sa longueur. ( 3 ) Quant aux vitesses que les deux mobiles ont acquises , quand ils sont l’un et l’autre arrivés en bas , il est facile de s’assurer que ces vitesses sont égales. Car si les forces accélératrices qui entraînent les deux mobiles , sont différentes , il y a aussi la même différence et en sens contraire , dans la durée de leur action , ce qui doit donner le même résultat final. Ainsi donc un

(2) Les formules précédentes donnent : e' := • ^ t' t , d’où

l’on tire : t' es

, , ï/ ah le : t ss V

pesanteur relative nous donne : t'= C’est ,

( 3 ) La pesanteur absolue nous a donné : t — V La

en mettant

pour g' sa valeur : t' = Qu conclura de là , t:t' ::h : 1 .

gU

î58 Première Section. Chapitre Vlfï.

corps qui tombe le long (l’un plan incliné , a dans le sens de ce plan , lorsqu’il est arrivé au point le plus bas , la môme vitesse qu’il aurait eue dans le sens vertical , s’il était tombé librement de toute la hauteur du plan. ( 4 )

Si l’on veut savoir en quel point du p^in incliné est le mobile qui le parcourt , lorsque celui qui descend par la hauteur du plan , est arrivé en bas ; on observera que les espaces parcourus en même temps en vertu de forces accélératrices différentes , sont nécessairement dans le rapport de ces forces ; c’est-à-dire ici comme la hauteur et la longueur du plan. Si donc de l’extrémité C de AC on abaisse une perpendiculaire sur AB , le point D où aboutit cette perpendiculaire , sera le point cherché. Ainsi tandis que l’un des mobiles est descendu de toute la hauteur AC du plan incliné , l'autre a parcouru sur ce plan seulement la partie AD.

Si l’on prend pour diamètre la verticale AC (fig. 20), hauteur commune de tant de plans inclinés qu’on voudra , et qu’on décrive sur cette droite une demi-circonférence de cercle • les points ou cette demi-circonfé— rence coupera tous ces plans inclinés j seront ceux oit les divers mobiles qui les parcourent , partis au même instant , arriveront en même temps , et au moment où

(4) Pour la vitesse finale du corps qui tombe par AC , on a : y — gt ; et pour celle du corps qui tombe par AB , v' sz gV. ’En mettant dans cette dernière formule les valeurs de g' et de

t' qui sont 4 S ^- , et , il vient v' = gt. Donc , v' = v. Lest

vitesses finales sont donc égales; mais leurs directions sont différentes.

De la pesanteur modifiée. 1

celui qui tombe par la verticale sera arrivé en C. D’ailleurs tous ces mobiles parvenus à la même horizontale , jouiront tous de la même vitesse, chacun suivant sa direction particulière , et ils auront mis pour y arriver , des temps proportionnels aux longueurs de ces plans.

Le moyen dont on vient de faire usage pour résoudre la dernière question , nous met en droit de conclure , que dans un cercle dont le plan est vertical , toutes les cordes qui partent de l’extrémité supérieure de son diamètre , et par suite toutes celles aussi qui aboutissent à l'extrémité inférieure de ce diamètre , sont toutes parcourues en des temps égaux , quelle que soit l’inégalité de leurs longueurs ; et ce temps est le même que celui qu’il faut à un corps pesant pour tom- ' ber de toute la hauteur de ce diamètre.

On emploie en physique un appareil particulier pour démontrer cette conséquence. C’est une grande surface plane sur laquelle est tracée une demi-circonférence de cercle. Une règle creusée en gouttière , s’applique contre cette surface , et remplit les fonctions d’une corde du cercle. A l’extrémité supérieure du diamètre posé verticalement, est fixée une poulie fort mobile , sur laquelle on fait passer un cordon qui sert à soutenir une balle de plomb. Une balle pareille doit rouler en' bas le long de la gouttière , que l’on peut incliner plus ou moins , mais qui se termine toujours à l’extrémité inférieure du diamètre vertical. Si on laisse donc tomber à la fois les deux balles , l'une librement du haut du diamètre , et l’autre sur la règle du point où elle coupe la circonférence, on remarquera quelles arrivent à terre toutes les deux en même

’îGo Première Section. Chapitre VIII.

temps ; et comme l'oreille est ici meilleur j uge que l’œil , on observera que les deux balles ne frappent qu’un seul coup , ce qui prouve clairement quelles arrivent en bas dans le même instant. Au reste , l'expérience n’est ici qu un moyen de rendre sensible une vérité qui est d’ailleurs parfaitement démontrée.

a. Mouvement le long de plusieurs plans inclinés.

Voyons à présent ce qui arrive lorsqu’un corps pesant parcourt successivement plusieurs plans de plus en plus inclinés à l'horizon. D'abord en parcourant le premier plan , il acquiert une vitesse égale à celle qu’il eût acquise en tombant librement de la hauteur de ce plan : mais cette vitesse, il l’a dans le sens du plan qu’il a parcouru ; et comme le plan subséquent est incliné à celui-là , il fait nécessairement obstacle à cette vitesse. Le mobile vient donc heurter ce nouveau plan , et il est obligé de changer la direction de son mouvement. Or, ce choc, et ce changement de direction lui font éprouver une perte , qu’on peut déterminer de la manière suivante.

Soient AB , BC , CD (fig. 21 ) plusieurs plans inclinés disposés les uns à la suite des autres , et un mobile M qui doit les parcourir successivement par la seule action de la pesanteur. Le mobile en parcourant le premier plan AB , a au point B la même vitesse , que s’il était tombé de la hauteur AH : mais cette vitesse est dans le sens de AB prolongé. Représen tons-la par BG. Comme au point B la direction du mouvement doit changer , il faut décomposer la vitesse acquise BG en deux , l’une BE perpendiculaire au nouveau plan , et qui sera détruite par la résistance de ce plan ; et

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Vautre BF dans la direction du second plan , et qui subsistera en entier , puisque rien ne s’y oppose. C'est donc avec cette dertiière vitesse que le mobile passera sur le plan BC : mais il est facile de voir quelle est moindre que la vitesse acquise BG. Si du point B , et d’un rayon égal à BG , on décrit un arc de cercle GK , la vitesse restante sera à la vitesse acquise comme BF esc à BK. Mais BK. est le rayon de l’arc décrit , et BF s’appelle le cosinus de cet arc , ou de l’angle FBG , qui est l’inclinaison mutuelle des deux plans consécutifs. Donc la vitesse conservée est égale à la vitesse acquise multipliée par le cosinus de l’angle que les deux plans, font entre eux.

C’est avec la vitesse qu’on vient de déterminer , que le mobile passe sur le plan BC : mais la pesanteur qui continue d’agir sur lui , augmente encore cette vitesse pendant son mouvement sur ce plan ; de façon qu'arrivé en C , il a de plus toute celle qu’un corps peut acquérir en tombant de la hauteur du plan BC. En opérant comme on vient de faire , on trouvera de même la vitesse que conserve le mobile en passant sur le troisième plan ; et on l’augmentera de celle qu’il acquiert en parcourant ce plan : et ainsi de suite , s’il y en avait un plus grand nombre. On peut donc toujours trouver facilement la vitesse finale d’un mobile , qui est descendu par une suite de plans dont les inclinaisons sont connues , vitesse qui est toujours plus petite que celle, qui est due à la somme des hauteurs de ces plans , tant qu’ils font entre eux des angles sensibles.

1 6 a Première Section - . Chapitre VIII.

3* Mouvement d'un corps pesant le long d’un arc de courbe en général.

Si le mobile au lieu de parcourir les côtés d’«« polygone , descend par un arc de courbe dont le plan est vertical ; on considérera cette courbe comme composée de petites droites infiniment courtes , et formant entre elles des angles infiniment ouverts. Or le cosinus d’un angle de cette espèce ne diffère pas du rayon : donc la vitesse du mobile n’éprouvera aucun déchet en passant d’urt point de la courbe au point suivant ; et lorsqu’il sera arrivé au point le plus bas , il aura la même vitesse , que s’il était tombé de la hauteur verticale de l’arc qu'il a suivi.

Un corps qui est tombé d’une certaine hauteur jouit comme on a vu , d’une vitesse capable de le faire remonter dans le même temps à la même hauteur, nonobstant l’action continuée de la pesanteur sur lui. Donc un mobile qui est descendu par un arc de courbe, est capable en suivant la même courbe ou une autre , de remonter jusqu’à la hauteur d’où il est tombé. H en est de même d’un corps qui descend par un seul plan incliné : il a au point le plus bas une vitesse capable de le faire remontera la même hauteur sur un plan semblablement incliné, ou non , en supposant que la direction de son mouvement soit convenablement changée.

Le temps qu’il faut à un corps pour tomber d’une hauteur donnée , se détermine facilement par ce qu’on a vu ci-dessus , lorsque la chute se fait , ou par une droite verticale, ou par un plan uniformément incliné; parce que dans ces deux, cas l’action de la pesanteur est

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dans tous les instans , égale à elle-même. Mais lorsque le mobile descend par plusieurs plans diversement inclinés , et surtout s’il suit une ligne courbe ; alors la détermination du temps nécessaire pour qu’il arrive du point le plus élevé au point le plus bas , est fort difficile , par la raison que l’action de la pesanteur sur ce mobile varie pendant la durée de sa chute. 11 est évident que le temps de la descente par cette courbe , sera plus long ou plus court , selon que dans ses différens points , elle sera plus ou moins opposée à la pesanteur. Nous nous contenterons d'exposer ici les résultats donnés sur ce sujet par le calcul , et d’indiquer les expériences qui peuvent servir à en vérifier une partie.

/j. Mouvement d'un corps pesant par un arc de cercle.

Lorsqu’un corps descend par un arc de cercle dont le plan est vertical , et dont l'extrémité inférieure est parallèle à l’horizon , le temps qu’il emploie pour parcourir cet arc , est plus court que celui qu'il lui faut pour décrire la corde du même arc. Cette assertion est singulière, et néanmoins elle est prouvée d’une maniéré incontestable. De deux chemins partant d’un même * point et aboutissant à un même point , l’arc de cercle et sa corde , parcourus- l’un et l’autre en vertu d'une même puissance , la pesanteur, cest le plus long tjui exige le moins de temps.

On peut entrevoir la raison de ce fait. La moitié supérieure de l’arc DFE ( figure 22 ) étant moins inclinée à l’horizon que la moitié correspondante de la corde DE , la pesanteur a dans cette partie plus?

i6 4 Première Section. Chapitre VIII.

davantage sur le mobile qui décrit l’arc , que soc celui qui suit la corde. Le premier arrivera donc en F, milieu de sa course, avant que l’autre soit arrivé en K r milieu de la sienne. Mais à ce point F de l’arc , la vitesse acquise est plus grande que celle qui a lieu au point R de la corde , parce que le premier point est 'verticalement plus bas que le dernier , et que la vitesse y est due à la hauteur DG , plus grande que DI , hauteur correspondante au milieu de la corde. Le mobile qui descend par l’arc de cercle a donc jusque-là un double avantage sur celui qui parcourt la corde de cet arc. A la vérité dans la dernière moitié de leur route , la pesanteur a moins de prise sur le premier mobile que sur le dernier; l’accélération de celui-là diminue tandis que l’accélération de l'autre se fait toujours suivant la même loi. Mais ceci ne fait perdre au premier mobile qu’une partie de son avantage , et n’empêche pas qu’il n’arrive encore avant I autre au point le plus bas de leur chute.

On appuyé ce raisonnement du secours de l’expérience , en faisant usage de l’appareil décrit ci-dessus. On attache au centre du demi-cercle un fil que l’on Élit de la longueur du rayon , et qui porte une halle de plomb. Une autre balle pareille à celle-là est suspendue à l’extrémité supérieure du diamètre vertical , tandis que la première est portée en quelque point de la circonférence. Tout- à-coup on les abandonne l'une et l'autre à la pesanteur , et l’on remarque que celle qui a décrit l’arc de cercle , est arrivée au point le plus bas , avant la balle qui est descendue par le diamètre vertical. Or le temps de la chute par ce diamètre est , comme on a vu , égal au temps par

De la pesanteur modifiée. i65

la corde qui se termine à son extrémité inférieure. Donc le temps par un arc de cercle est plus court que le temps par la corde de cet arc : ce qu’il fallait prouver.

Le rapport de ces deux temps , lorsque l’arc est fort petit , est celui de 3, 1 4 * à 4 > ou le même que celui du quart de la circonférence au diamètre.