Chute d'un corps par un arc de cycloïde

L’arc de cercle n’est pas la courbe par laquelle un corps descend dans le moins de temps. Il est une autre espèce de courbe plus favorable encore au mouvement des corps qu’entraîne la pesanteur : c’est la cycloïde , ou la courbe que décrit un point de la circonférence d’une roue qui roule sur un plan.

Soit AGE ( fig. a3 ) un arc de cercle, et la droite AE sa corde. Soit encore ABE un arc de cycloïde , terminé aux mêmes points A et E, et embrassant l’arc de cercle (i). Le tout est supposé dans un plan vertical. On pourrait, en raisonnant comme nous avons lait pour le cercle , reconnaître d’abord que le mobile qui suit l’arc de cycloïde , se prête mieux à l’action de la pesanteur dans le commencement de sa chute , que celui même qui descend par l'arc de cercle ; d’où l’on peut inférer que l’accélération acquise compensant et au-delà le désavantage de la dernière partie de la courbe , ce mobile doit arriver au point le plus bas , non-seulement avant celui qui tombe par la corde AE , mais même avant le mobile qui décrit l’arc de cercle

(i) Cet art de cycloïde EBA est censé décrit par le point E de la demi-circonférence OCE , lorsqu’en roulant elle s’applique sur la droite OA.

166 Première Section. Chapitre VIII.

AGE. Mais ces aperçus sont insuffisans sans doute , et ceux qui sont initiés dans la connaissance des calculs transcendans , doivent recourir ici aux livres des mathématiciens , qui leur prouveront que de toutes les courbes qui sont tracées sur le même plan vertical , et terminées par les mêmes points , et qui sont parcourues en vertu de la pesanteur , la cycloïde est celle qui exige le moins de temps ; ce qui l’a fait appeler la courbe de la plus vite descente.

En physique on peut suppléer à ces démonstrations rigoureuses par des preuves plus matérielles. On a une pièce de bois , sur l'épaisseur de laquelle on a creusé trois gouttières , l’une en arc de cycloïde , la seconde en arc de cercle , et la troisième en ligne droite. Ces trois routes différentes commencent au même point , et se terminent aussi à un même point. L’appareil étant mis dans une position verticale , on laisse tomber à la fois du point le plus élevé trois balles de plomb ou de cuivre d’égale grosseur ; et l’on observe que celle qui a suivi l’arc de cycloïde , arrive la première , ensuite celle qui a décrit l’arc de cercle ; et enfin la balle qui descend par la droite qui sert de corde aux deux arcs , est celle qui arrive la dernière.

Ce n'est donc pas le chemin le plus court qui exige ici le moins de temps. Non-seulement l’arc de cercle a [de l’avantage à cet égard sur sa corde : mais l’arc de cydoïde en a encore plus , comme le prouvent l’expérience et le calcul ; ce qui vient sans doute de ce que , dans sa partie supérieure s’éloignant moins de la direction verticale , le mobile qui la parcourt , acquiert plus de vitesse au commencement de sa chute , et parvient ainsi à franchir avec plus de célérité la partie inférieure de la courbe.

De la pesanteur modifiée • 167