DD PENDULE SIMPLE

Au lieu de poser le mobile clans un canal curviligne, pour lui faire suivre dans son mouvement une ligne courbe, suspendons-le au bout d’un fil attaché par l’autre bout à un point fixe. D’abord le mobile ne pourra demeurer en repos , qu’autant qu’il se trouvera verticalement au-dessous du point de suspension : dans toute autre position , sa pesanteur ne sera point complètement détruite , et le corps devra obéir à cette force , et se mouvoir avec plus ou moins de vitesse.

Plaçons , par exemple, le mobile en A' (fig. 24). La direction du fil qui le retient , étant CA' , celle de la pesanteur qui le sollicite , sera A'P. Ces deux directions n étant point opposées , ne pourront se faire équilibre , et le mobile ne saurait demeurer en repos dans cette position. Pour trouver comment il doit se mouvoir , et avec quelle force , nous emploîrons toujours la même méthode , et nous décomposerons A'P en deux forces , l’une suivant la direction du fil , et l’autre perpendiculaire à cette direction. Si donc A'F représente l’intensité absolue de la pesanteur, ou l’espace quelle ferait parcourir dans l’unité de temps, A'K. sera la force qui est détruite par la résistance du fil , et A 'G celle qui doit avoir son effet , et produire le

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mouvement. Le mobile commencera donc à se mouvoir suivant A'G , entraîné par une force qui est à la pesanteur absolue comme A'G est à A'F, ou bien comme A'D est à CA'; ou enfin comme le sinus de l’angle d’écartement A'CA est au rayon. Mais comme le fil est retenu , et qu’il est supposé inextensible , le mobile ne pourra pas suivre cette droite A'G : il sera au contraire détourné à chaque pas de sa direction précédente , et il descendra en suivant un arc de cercle A' A dont le centre est au point de suspension , et dont CA est le rayon.

Lorsqu’un mobile retenu par un fil , décrit ainsi un arc de cercle par l’effet ■ de la pesanteur , l’action de cette puissance sur lui diminue encore de plus en plus à mesure que la tangente à la courbe approche davantage d’être horizontale : mais cela n’empêche pas que le mouvement ne s accélère jusqu’au point le plus bas , par la raison que le mobile conserve partout les degrés de vitesse qu’il a acquis jusque-là. Il est vrai que cette accélération n’est pas uniforme , parce que les nouveaux degrés de vitesse ajoutés à chaque instant par la pesanteur, ne sont point égaux entre eux, et vont au contraire en diminuant.

Arrivé au point le plus bas de sa course , et se trouvant ainsi au-dessous du point de suspension , où la pesanteur n’a plus aucune prise sur lui , le mobile ne s’arrête pas pour cela : mais par les mêmes raisons que ci-dessus , il continue de se mouvoir en avant , et monte de l’autre côté suivant un arc de cercle semblable à celui qu’il a décrit en descendant. Parvenu à son maximum d’élévation , il descendra de nouveau pour décrire le même arc de cercle par un mouvement en sens con-

t'ji Première Section. Chapitre IX.

traire , et recommencer encore comme auparavant , jusqu a ce que la .résistance de l’air et celle que le fil éprouve au point de suspension , aient entièrement détruit son mouvement , et le forcent enfin de se fixer dans la ligne verticale , qu’on appelle la ligne de son repos.

Les balancemens que fait le mobile en allant et revenant , s’appellent des oscillations , et le mobile luimême se nomme un pendule. Le pendule simple que nous considérons ici , n’est autre chose qu’nn point pesant attaché à un fil sans pesanteur. On a un pendule physique très-approchant de ce pendule mathématique , lorsqu’on fait usage d'une petite balle d’or ou de platine suspendue à un fil délié.

Le mouvement d’un pendule serait de sa nature un mouvement perpétuel , si les obstacles dont on a parlé , ne travaillaient sans cesse à l’anéantir , en empêchant que le mobile ne puisse à chaque oscillation , atteindre à toute la hauteur d'où il est descendu. Le pendule sarrêtera donc au bout d'un temps plus ou moins long , selon qu’on aura eu soin d’affaiblir plus ou moins les obstacles inévitables qui s’opposent à son mouvement.

La résistance de ces obstacles peut être diminuée au point que le mouvement du pendule dure pendant plu- s sieurs heures.

i. lies pendules de longueurs différentes.

Le mouvement d’oscillation du pendule est une chose très-importante en mécanique , et qui demande \ à être étudiée avec soin. Cherchons d’abord quel rapport il y a entre les durées des oscillations de deux pendules de longueurs différentes.

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Soient D et D' deux points pesans , attachés à deux fils différens CD et CD' ( fig. 25 ). Supposons qu’ils soient écartés l’un et l’autre de la verticale d'une même quantité angulaire. 11 est visible que si on les abandonne au même instant à la pesanteur , les tangentes DB et D'B' étant parallèles, l’action de cette force sera la même sur l’un et sur l’autre , et qu’ils commenceront à se mouvoir avec une égale vitesse. La même chose aura lieu sur tous les points correspondans des arcs qu’ils parcourent , et la pesanteur éprouvera sur chacun d’eux les mêmes décroissemens : seulement l’arc DA étant plus long que l’arc D'A' , il faudra plus de temps pour décrire le premier de ces arcs que pour décrire le dernier. Il s’agit donc de trouver le rapport de ces temps.

Puisque les arcs décrits par les deux mobiles , sont des portions semblables de leurs circonférences , leurs longueurs sont donc entre elles dans le même rapport que leurs cordes; et puisque la pesanteur agit de même sur l’un et sur l’autre , les temps nécessaires pour parcourir les ares , seront dans le même rapport que les temps pour parcourir les cordes. Mais celles-ci qui sont parallèles, peuvent être considérées comme des plans également inclinés à l’horizon ; et dans ces sortes de plans , les temps de la chute suivent la loi des racines quarrées des longueurs de ces plans. Ce sera donc aussi la loi que suivront les temps nécessaires pour décrire les arcs. Enfin si l’on observe que des arcs semblables pris dans des circonférences différentes , sont . entre eux comme leurs rayons , on trouvera pour dernier résultat , que deux pendules de longueurs differentes { et qui sont, également écartés de la verti-.

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cale , font leurs oscillations dans des temps proportionnels aux racines quarrées de leurs longueurs.

Si l’on prend deux pendules , dont les longueurs à partir du point de suspension jusqu’au centre du point pesant , soient dans le rapport d’un à quatre , le plus court de ces pendules mettra la moitié moins de temps à décrire son arc , et il fera deux oscillations , tandis que l’autre en fera une.