Du mouvement dans le cercle

Supposons que les directions primordiales des forces sont perpendiculaires entre elles , et cherchons quel est le rapport quelles doivent avoir , pour que la courbe décrite soit une circonférence de cercle , et que le mobile soit ainsi maintenu constamment à une égale distance du point où l’une des deux forces est dirigée.

Soit O ( fig. 28 ) ce point central , AR et AO les directions des deux forces au premier instant, AB la vitesse d impulsion , AC 1 espace que la force continue ferait parcourir dans la première unité de temps. D'après l’énoncé du problème proposé , il faut que BD , qui est la quantité dotit le mobile se serait éloigné du centre dans le premier instant par l’effet de la force d impulsion , soit égal à AC , qui est la quantité dont' il s'en serait approché dans le même temps , par la seule action de la force continue. Or de cette égalité supposée, il est facile de conclure, que pour que l’effet désiré ait lieu, il est necessaire que la force continue soit égale au q narré de la vitesse d’impulsion divisé par la distance au centre. (1)

(0 si l on suppose l’arc AD très-petit , AC égalera BD. Mais BD = BO — OD = V AO* + Ali- — AO. Donc

190 Première Section. Chapitre X.

Si l’on rapporte le résultat qu’on vient de trouver J à la force d’impulsion , on trouve que la courbe décrite fera une circonférence de cercle , si la vitesse imprimée au mobile par cette force , est égale à la racine fjuarrée de la distance AO multipliée par la vitesse que la force continue communique dans f unité de temps.

Blais cette force continue ou accélératrice quelconque peut être comparée à la pesanteur qui est une force de cette espèce , que nous connaissons suffisamment ; et l'on trouve alors , qu’afin que le mobile soit forcé de décrire une circonférence de cercle , il est nécessaire , que la vitesse d’ impulsion soit à celle d’un corps tombé d’un demi AO , comme la racine quarréede la force accélératrice est à la racine q narrée de la pesanteur : ou plutôt il faut que la hauteur due à la vitesse initiale soit au demi rayon , comme la force accélératrice est à la force de là pesanteur. Telle est la manière la plus simple d’exprimer la condition nécessaire pour que , les deux forces étant d’ailleurs perpendiculaires entre elles, le mobile soit maintenu constamment à une égale distance du point central. (2)

AC + AO = V AO’ + AU’. Soit AC = if, AO = r , et AB = u , il viendra : | f +r = V r’ + u’. D’où l’on tire: f ( * f r ) = u’ ; et en négligeant ’ f , qui est nul vis-à-vis

de r , on a enfin : fr = u’ , ou f rr — .

(a) Un corps qui tombe d'une hauteur égale à 7 r , acquiert une vitesse v = \/gr. Donc en comparant cette vitesse avec la vitesse u ci-dessus, on a , u’ : v* : : f : g. Si l’on appelle h la hauteur due à la vitesse u , j-r étant celle qui produit la vitesse v , on a enfin , f : g : : h : [ r ; ce qui est l’expression abrégée de la condition énoncée dans le texte.

Du Mouvement en ligne courbe. 'igt

Lorsqu'un mobile décrit une circonférence de cercle , en vertu des actions combinées de deux forces telles qu'on vient de les trouver, sa vitesse est la même sur tous les points de sa révolution , et égale à la titesse d’impulsion. Car le rayon est partout perpendiculaire à la circonférence ; et le mobile se trouvant

^^aque instant dans les mêmes circonstances , sa vitesse doit partout conserver le même rapport avec la force dirigée au centre. Son mouvement sur la circonférence se fait donc d’une manière tout-à-fait uniforme.

Au lieu de supposer le corps libre , et sollicité en même temps par deux forces dont l'une est constamment dirigée vers un même point, on pourrait supposer que le mobile est retenu par un fil attaché à un point fixe , autour duquel il peut se mouvoir. Alors si l’on communique à ce corps une impulsion dans un sens perpendiculaire à la longueur du fil , le mobile décrira encore une. circonférence de cercle. Voici de quelle manière il faut expliquer ce qui se passe dans cette circonstance.

Le mobile étant frappé dans le sens AB ( fig, 29), et ne pouvant pas suivre cette direction , parce qu’il est retenu par le fil inextensible AG , il se trouvera forcé de décrire l’arc de cercle AD. Il fiiudra donc considérer la lorce d impulsion AB, comme composée de deux autres forces , l’une AE dans la direction du fil , et détruite par la résistance de ce fil , ou plutôt du point fixe où il est attaché , et l’autre AD qui doit avoir son effet. On construira donc sur AB comme diagonale le parallélogramme ABDE , qui donne AD pour la vitesse effective du mobile j cet arc AD décrit

> g le

Die

192 Première Section. Chapitre 3 C.

dans un j:enips infiniment court , pouvant être considéré comme une ligne droite.

La vitesse imprimée par la force d’impulsion , demeurant toujours la même , et sans qu’il soit besoin que cette force réitère son action , parce que nous faisons abstra<|jpn ici de toute résistance gère ; ce sera encore la même chose dans les insj^s suivans , de façon que le mobile parcourra une courbe circulaire par l’effet combiné d’une force impulsive et d’une résistance centrale. Cette résistance, comme l’observe Bezout , produit ici le même effet qu’une force continue , qui agirait suivant la direction du fil , et détruirait à chaque instant l’effort que fait le mobile pour s’éloigner du point fixe.

Puisque le mobile dans le cas présent , se meut suivant une circonférence de cercle , il faut i.° que sa vitesse soit uniforme , et la même sur tous les points de sa révolution ; 2. 0 que la force par laquelle il tend à s’éloigner du centre de son mouvement, force égale à la tension du fil qui le retient , soit à la pesanteur , comme la hauteur due à la vitesse d impulsion est à la moitié du rayon du cercle qu’il décrit. Ce n’est point ici la force accélératrice qui détermine la vitesse de son mouvement : mais cest fa vitesse du mouvement qui produit la tension du fil , et qui donne par conséquent la mesure de la force employée pour retenir le mobile , force qui tient lieu ici de la force accélératrice constamment dirigée vers un même point.