Du mouvement dans d'autres courbes

Lorsque les deux forces qui produisent le mouvement en ligne courbe , étant toujours perpendiculaires entre elles , la vitesse initiale est moindre que celle trouvée ci-dessus pour le cercle , alors le mobile en avançant , commence aussi à s’approcher du point où paraît résider la force accélératrice ; et si les choses sont telles que la force centrifuge ne puisse pas regagner après une demi-révolution tout ce qu’elle a perdu , le mobile continuera à s’approcher de ce point , et il y arrivera enfin après un nombre de révolutions plus ou moins grand. Sa route formera pendant ce temps une courbe continue , roulée en spirale , et pareille à celle que décrit une balle attachée à un fil , qu’on fait tourner autour du doigt , en même temps que le fil s’enveloppe sur ce doigt.

Si au contraire la vitesse initiale est plus grande que celle pour le cercle , alors le mobile dès les premiers pas commencerai par s’éloigner ; et si la force centripète n’a aucun moyen pour reprendre ce quelle a perdu, le mobile s’éloignera toujours davantage , en tournant néanmoins autour du point central, et décrivant encore une spirale continue , dont les révolutions s’écarteront de plus en plus ; comme quand le fil qui tient la balle citée en exemple , étant enveloppé sur le

?.o 8 Première Section. Chapitre X.

doigt , on la fait tourner en sens contraire , en forçant le fil à se développer.

Mais il peut arriver que la vitesse d’impulsion n'ayant pas avec la force accélératrice le rapport trouvé pour le cercle , la courbe décrite soit néanmoins une courbe fermée , et dans laquelle le mobile fasse des révolutions sans fin. V oici de quelle manière on peut concevoir la chose.

Soit A ( fig 3o ) le lieu où est placé le mobile , AR la direction de l’impulsion qu’il a reçue , et C le point vers lequel la lorce accélératrice est dirigée. Si la vitesse dans le sens AR est moindre que celle qui est nécessaire pour décrire dn cercle du rayon CA , le mobile nu lieu de décrire l’arc de cercle AB , suivra un arc plus courbe , tel que AE par exemple ; de façon qu’au bout d’un certain temps, il sera plus près du centre de la quantité BE , et que son mouvement au point E sera dirigé suivant EG. Mais comme il est facile de voir , cette tangente EG n'est plus perpendiculaire à la droite EC. Les deux forces qui agissent sur le mobile , faisant entre elles un angle plus petit que l'angle droit , commencent donc à s’entraider mutuellement : la vitesse du mobile s’accroît , et par conséquent la force centrifuge devient plus grande. Il est vrai que la force centripète augmente* aussi , parce que la distance au point centhd diminue : mais cette augmentation sert encore à accélérer la vitesse du mobile , et à lui donner plus de force centrifuge.

Maintenant lorsqu’en vertu de ces accélérations successives le mobile est arrivé au point P , et qu’il a fait ainsi une demi-révolution , les forces sont de nouveau perpendiculaires l’une à l’autre 5 et si la

Du Mouvement en ligne courbe. 209 vitesse à ce point est plus grande que celle qu’il faudrait pour décrire un cercle du rayôn CP , le mobile commencera à s’éloigner du centre. Bientôt après cela les directions des deux forces étant devenues obliques l’une à l’autre, et faisant entre elles un angle obtus , leurs actions se nuisent mutuellement , et la vitesse du mobile se ralentit. La force qui tend à l’éloigner du centre , diminue donc ; mais l'accroissement de la distance fait aussi diminuer celle qui travaille à l'en approcher ; de sorte que ces deux forces parcourent en sens contraire les mêmes variations , quelles ont éprouvées dans la première moitié de la révolution. Le mobile revient donc enfin au point A d’où il était parti , et où les chpses recommencent dans le même ordre. Pour que le mouvement se fasse comme on vient de dire , il suffit de trouver la loi suivant laquelle la force centripète doit agir eu égard à la distance. t