Lois du mouvement elliptique

Lorsqu’un mobile est soumis à une force constamment dirigée vers le même point , alors quelle que soit la nature de la courbe qu’il décrit , les aires que trace son rayon vecteur , sont égales en temps égaux. On appelle rayon vecteur la droite menée du point eu question à un point quelconque de la courbe , et l’on considère ce rayon , comme tournant autour de son origine sur le plan de la courbe , s’accourcissant ou s' allongeant selon qu’il est nécessaire pour atteindre toujours à cette courbe. On suppose qu’il porte le mobile à son extrémité la plus éloignée , ce qui lui a feit donner le nom de vecteur.

210 Première Sectiow. Chapitre X.

Pour prouver la proposition qu’on vient d établir, supposons que le mobile ait parcouru la petite droite AB (fig. 3i ) dans la première unité de temps. S’il pouvait continuer sa route dans le même sens , il décrirait dans l'unité suivante BD égale à AB , et Vaire du triangle BCD seraitvisiblement égale à celle du triangle ACB. Mais si au point B il est obligé de fléchir sa route , comme il a été expliqué ci-dessus , et de suivre la diagonale BF ; alors le rayon vecteur aura décrit dans la deuxième unité de temps l’aire du triangle BCF , qui est égale à celle du triangle BCD, à cause de Y égalité des bases et des hauteurs. Par conséquent cette aire BCF est aussi égale à ACB , et le .rayon vecteur dans la deuxième unité a tracé une surface de la même grandeur que celle décrite dans la première. Les aires décrites sont donc en général proportionnelles aux temps : ce qu’il fallait prouver. Il est évident que la grandeur de la force accélératrice ne fait rien ici , pourvu que cette force soit toujours dirigée vers le même point.

Réciproquement si les aires décrites sont égales en temps égaux , on peut en conclure que le mobile , outre la force d’impulsion , est soumis à une autre force qui le pousse ou le tire constamment vers un même point. Car si la force qui change la direction du mobile au point B, n était pas dirigée comme précédemment au point C , les triangles BCD, BCF, n’auraient plus la même hauteur , et leurs bases demeurant égales, leurs aires ne pourraient plus être les mêmes ; ce qui est contre la supposition. Cette proportionnalité des aires aux temps a été reconnue 'par observation dans les mouvemens des planètes autour du soleil , et l’on en a conclu avec raison qu’elles étaient soumises à une força

Du Mouvement en ligne courbe. 21 1 accélératrice dirigée vers cet astre , ou qui paraissait émaner de son sein.

La proposition qu'on vient de prouver , sert ellemême de base à une autre loi également importante , concernant l’espèce de mouvement que nous considérons ici. La vitesse d'un mobile qui décrit une courbe fermée autre que la circonférence du cercle, varie à chaque point de sa révolution : mais il est facile d'avoir la loi de ces variations. En effet, puisque les aires décrites en temps égaux sont égales , prenons en des points différens de la courbe , deux arcs AE , PF ( fig. 3o ) que l'on supposera parcourus en des temps égaux inliniincnt courts. Les aires ACE , PCF devant être égales d'après la loi , si l’on considère ces triangles comme rectilignes, leurs bases seront entre elles dans le rapport renversé de leurs hauteurs. Or l’on peut prendre les arcs AE , PF pour les bases de ces triangles , et leurs hauteurs seront les perpendiculaires abaissées du point C sur ces arcs , ou plutôt sur leurs tangentes. Les longueurs des arcs décrits sont donc en raison inverse de ces perpendiculaires; et comme on a supposé que les arcs choisis avaient été décrits dans des temps égaux, les longueurs de ces arcs expriment donc les vitesses du mobile en ces deux points de sa révolution : d’où il suit en général que les vitesses d’un mobile qui se meut en ligne courbe comme on a dit, sont entre elles réciproquement , comme les perpendiculaires abaissées du point C sur les arcs décrits.

Aux points A et P que nous avions choisis et qui sont, l’un le plus loin et l'autre le plus près du centre C , les perpendiculaires demandées ne sont autre chose que les rayons vecteurs CA, et CP. Donc à ces deux

2 la Première Section. Chapitre X.

points les vitesses du mobile sont réciproques a tut rayons vecteurs.

Après avoir trouvé la loi des vitesses dans le mouvement curviligne qui nous occupe , il resterait à connaître quelle est la manière d’agir de la force accélératrice , lorsque le mobile parcourt une courbe fermée différente du cercle , et qu’il fait ainsi des révolutions sans fin autour du point qui est le siège de cette force. Nous savons déjà que la force centripète en A doit être plus grande que le quarré de la vitesse qui a lieu dans ce point , divisé par la distance AC , et qu’au point P la même force doit être plus petite que le quarré de la vitesse en cet endroit , divisé par CP. L’on peut conclure de là , que le rapport de la force centripète dans ces deux points doit être moindre que le rapport inverse du cube des distances, (i) Mais ces notions ne pouvaient suffire ; et il a fallu tout le génie du grand Neuton pour découvrir que cette force agissait en raison inverse du quarré de la distance : c’est au moins la loi quelle suit dans les espaces célestes.

L’illustre Kepler à force de recherches et d’observations avait reconnu que les planètes décrivaient

(i) Soient u et u' les vitesses en A et P, r et d les distances CA et CP : d'après la loi précédente , on a , u : u' : : r' : r. Or on sait que la force centripète en A , ou f , est plus grande

que — , et que celle en P , ou f , est plus petite que — . Mail

ur=uV. Donc f ^>~ ( et P<; ■— . Ce qui apprend que la

force centrale suit un rapport moindre que celui inverse da cube des distances. Le cube d’un nombre est le produit du quarré du nombre , multiplié par ce nombre lui- même.

Du Mouvement en ligne courbe . ai3

autour du soleil des courbes fermées , et rentrantes sur elles-mêmes ; que ces courbes n 'étaient point des circonférences de cercle , mais quelles étaient de la nature de celles qu’on appelle en géométrie des ellipses , s'éloignant plus ou moins de la forme circulaire ; que le soleil était plaoé , non au centre de ces courbes , mais à l'un des deux points , qu’on appelle leurs foyers ; enfin que la vitesse des planètes s'accélère lorsqu’elles approchent du soleil , et quelle se ralentit quand elles s’en éloignent. Ce grand astronome conclut de toutes ces belles découvertes , que le soleil exerçait une espèce d 'attraction magnétique sur les corps planétaires ; et que ceux-ci , outre une- impulsion primitive reçue de la main puissante du Créateur , étaient encore soumis à une force accélératrice dirigée vers le soleil , et dont la source paraissait placée dans cet astre. iNeucon compléta les découvertes de Kepler en trouvant la loi ci-dessus , suivant laquelle cette force exerce son action , loi qui a été confirmée depuis par toutes les observations astronomiques.

Ce que l’on a dit de la force centrifuge dans le cercle , s’applique à toute autre courbe décrite par un mobile. Dès qu’un corps est forcé d’infléchir sa route , il fait de son côté un effort pour la continuer dans la même direction. Cet effort n’est point une force nouvelle , et créée dans ce moment : c’est le résultat des forces qui agissent sur lui , considéré dans le sens de son mouvement précédent, et en tant que ce mouvement ainsi continué l’aurait éloigné du point central où réside la force accélératrice. Il y a donc une force centrifuge dans tout mouvement en ligne courbe. Soit pris dans une ellipse donnée ( fig. 3o ) un très-

ai4 Première Section. Chapitre X.

petit arc qr : il sera toujours facile de trouver un cercle , dont la courbure sera la même que celle de cet arc , et qui se confondra avec la courbe sur cette petite étendue. Ce cercle s'appelle le cercle oscillateur en ce point. Son centre o est évidemment sur la perpendiculaire à l’arc donné. Le mouvement du mobile pouvant être considéré comme uniforme pendant le temps infiniment court qu’il met à décrire cet arc , sa vitesse sera dans ce moment soumise à la même loi , que s'il parcourait la circonférence du cercle osculateur. Ainsi sa force centrifuge relativement au centre de ce cercle, sera exprimée par le quarré de sa vitesse divisé par le rayon du cercle osculateur. On peut donc à chaque point de la courbe décrite trouver la grandeur de l’effort que fait le mobile , pour continuer de marcher en ligne droite ; et c’est par les accroissemens rapides et successifs de cette force centrifuge , qu’on expliquera pourquoi les planètes après setre approchées du soleil depuis leur aphélie A jusqu’à leur périhélie P , commencent alors à s’éloigner de cet astre , quoique à ce point elles soient en prise à une attraction plus puissante.

Prb si ière Section.

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