De la plus grande amplitude

On a établi pour troisième question concernant lé mouvement des projectiles , la question suivante : Trouver quelle est la direction initiale qu’il faut imprimer au mobile , afin qu’il aille rencontrer le plus loin possible la ligne horizontale , qui passe par le point de départ : ce qui fait la plus grande amplitude de la parabole.

Lorsque le mobile est lancé de bas en haut dans une direction verticale , nous savons qu’il monte et descend par la même ligne droite , et qu’il vient tomber dans le lieu même d’où il était parti. L’amplitude de la parabole est donc nulle dans ce cas , et cette courbe se réduit à une ligne droite verticale. Voilà au moins ce qui paraît à nos yeux , et qui serait exactement vrai , si le mouvement imprimé au mobile n’était pas impliqué avec un autre mouvement général , qui change letat des choses lorsqu’on les considère en elles-mêmes.

La terre , comme on sait , tourne sur elle-même en 24 heures , et de plus elle tourne autour du soleil en un an. Mais si nous n'avons égard qu’au mouvement journalier , il est certain que le point de la surface dn

Mouvement des corps lancés. 22 1 globe d’où le mobile a été lancé , s’est avancé d’une certaine quantité dans le sens de ce mouvement pendant que le mobile était en l’air. Mais comme celui-ci avait dans le même sens la même vitesse que ce point , il a dit avancer aussi de la meme quantité dans le même temps ; parce que l’impulsion verticale qu’il a reçue , étant perpendiculaire à ce mouvement commun , ne peut ni le favoriser , ni le contrarier. Ainsi notre mobile a donc à la fois deux vitesses , l’une horizontale et qui restera la même pendant tout le temps sans éprouver aucune altération ; et l'autre verticale de bas en haut , que la pesanteur combat et détruit bientôt , pour en substituer une autre également verticale , mais de liaut en bas. Le mouvement du mobile se compose donc ; et pour obéir aux deux forces qui l’entraînent , et dont l’une est continue , il décrit dans l’espace une ligne courbe , qui vient se terminer sur la terre au point même doù il était parti. Comme nous avons la même vitesse horizontale que le mobile , celle-ci est nulle pour nous. Le mouvement vertical est le seul que nous puissions apercevoir , et par conséquent il doit se faire suivant une droite apparente. C’est ici le même cas qne celui de l’orange jetée de bas en haut par un cavalier au galop , et qui vient lui retomber dans la main. Le cavalier la voit monter et descendre par une ligne droite , tandis que les spectateurs lui voient décrire une ligne courbe , une parabole ascendante et descendante. Ce qu on avance ici peut être rendu sensible par l’expérience suivante.

Expérience. On a un plan bien horizontal , sur lequel on fait rouler un petit chariot du mouvement le plus uniforme qu’il est possible. Au centre du chariot est

2 o.i Première Section. Chapitre XI.

pratiquée une cavité , dans laquelle on place une bille d’ivoire. Quand le mouvement est bien établi , et que le chariot roule uniformément , un ressort sedébande toutà-coup , et chasse la bille verticalement de bas en haut. Cependant le chariot continue d'avancer , tandis que la bille se meut au travers de l’air : mais celle-ci , après être montée obliquement pendant quelque temps , redescend ensuite de la même manière , et vient retomber dans la cavité oii elle était logée , ayant visiblement décrit une courbe parabolique.

Cette expérience fait voir clairement , que la bille a conservé en s’élevant dans l’air , la vitesse quelle partageait avec le chariot , avant que l’action du ressort l’en eût séparée ; et quoiqu'elle ait réellement décrit une ligne courbe , si l’on conçoit que parle point d’où elle est partie , l’on ait élevé une droite verticale , mobile avec le chariot , la bille en montant et descendant , n’aura pas cessé de répondre à quelque point de cette droite , et aurait paru la décrire à un observateur, qui aurait eu la même vitesse horizontale.

Il y a encore un cas où l’amplitude de la parabole est nulle , au moins par rapport à la ligne horizontale , qui est menée par l’origine du mouvement : c’est celui où le mobile est poussé dans cette même direction horizontale. En effet la pesanteur commençant d’agir sur lui dès le premier pas qu’il fait, l’abaisse de suite au dessous de cette ligne ; et comme les deux forces qui le maîtrisent , sont perpendiculaires entre elles, et ne peuvent se nuire pour cette raison , il est évident que le mobile au bout de la première seconde , aura baissé de 1 5 pieds , quel que soit l’espace qu’il a parcouru en avant pendant ce temps , et quelle que soit la vitesse qui

Mouvement des corps lancés. aa3 lui a été imprimée dans ce sens. Une balle de fusil , un boulet de canon tirés suivant une direction horizontale , s’abaissent nécessairement de cette quantité dans une seconde de temps. Il est donc essentiel lorsqu’il s’agit d’atteindre un but donné , que la vitesse imprimée soit la plus grande possible , afin que l’inter valle soit franchi dans le temps le plus court , et que la pesanteur ait pour agir le moins de temps qu’il se peut.

Les règles établies plus haut nous apprennent , que si un corps tombe de quinze pieds dans une seconde , il ne descend dans une demi-seconde que du quart de cette quantité , et dans un dixième de seconde de la centième partie seulement de quinze pieds. Mais quelque court que soit le temps , le mobile descend toujours de quelque chose. Il suit de là que si le mobile est poussé dans une direction horizontale , et il en est de même pour toute autre direction , il frapperait toujours au dessous du but où l'on a visé , si l’on n’avait égard à cet efFet inévitable de la pesanteur. Dans la construction des armes à feu , on a soin de leur donner plus d’épaisseur dans la culasse , que vers l’embouchure du canon. De cette manière la ligne par laquelle on vise , n’est point parallèle à Y axe de la pièce : mais celui-ci prolongé irait la croiser quelque part , pour s’élever ensuite au’dessus. Or le boulet chassé par la poudre , se meut d’abord suivant cet axe , et il irait frapper au dessus du but , s’il pouvait se maintenir dans cette direction : mais la pesanteur dans l’intervalle le fait descendre d’une quantité suffisante pour atteindre ce but. L’augmentation d’épaisseur dans le fusil ou le canon a été en général calculée pour les distances moyennes ; de sorte quelle tromperait pour les dis-

aa4 Première Section. Chapitre XI.

tances plus grandes ou plus petites : pour celles-là la balle resterait au dessous du but ; pour les autres elle frapperait au-dessus. C’est au reste à celui qui se sert d’une arme à l'étudier pour la connaître , et en tirer le service qu’il désire.

Reprenons le mobile qui est lancé dans une direction horizontale , et cherchons quelle est l’espèce de ligne qu’il suit dans son mouvement. D’abord la vitesse qu’il a dans le sens de l’horizon , est une vitesse uniforme de sa nature, et qui lui fait parcourir des espaces égaux en temps égaux. Quant à la vitesse verticale , c’est celle qui vient de la pesanteur , et qui va par conséquent en croissant suivant la loi connue. Si donc par le point qui est l’origine du mouvement on imagine deqx droites ( fig. 34 ) l’une horizontale , et l’autre au dessous de celle-ci et verticale , le mobile s’éloignera de cette dernière de quantités égales dans chaque seconde de temps , mais il descendra dans le sens vertical de quantités qui croîtront comme les quarrés des nombres de secondés. D’où il sera facile de conclure qu’il décrira une ligne courbe , et que cette courbe est une parabole , dont le sommet est au point de départ , et qui a pour axe la verticale imaginée. Il est facile de tracer , si l’on veut , cette courbe sur le papier , ainsi qu’on voit dans la figure.

On peut demander ici : Où est-ce qu’un mobile lancé dans une direction horizontale , ira rencontrer un plan parallèle à ïhorizon , dont l’abaissement au dessous de l’origine du mouvement est connu.

La réponse à cette question est fort simple. On cherche d’abord quel est le temps qu’il faut à un corps pesant pour tomber de Y origine sur le plan donné ; et

Mouvement des corps lancés. a a 5 l’on mesure sur ce plan , à partir du point où il est rencontré par la verticale abaissée de cette origine , un espace égal à autant de fois la vitesse horizontale que l'on a trouvé de secondes pour la durée de la chute. Le point du plan où l’on arrive ainsi , est celui où le mobile viendra le rencontrer. Ce point est donc d’autant plus éloigné de la verticale , que la vitesse d’impulsion est plus grande , et que le plan donné est plus abaissé au-dessous du point de départ.

Si l’on conçoit qu’une pièce de canon soit posée sur le sommet d’une haute montagne , et qu’un boulet soit tiré- horizontalement , ce boulet ira tomber sur la terre à une certaine distance en décrivant une parabole. Imaginons une poudre dont la force expansive soit beaucoup plus grande que celle de la poudre commune ; le boulet ira tomber plus loin , et aura embrassé dans sa parabole une plus grande portion de la circonférence terrestre. En augmentant ainsi par la pensée la force d’impulsion , on conçoit que le boulet pourrait ne retomber sur la terre , qu’après avoir passé sur la. moitié de sa circonférence ; et même qu’il pourrait revenir au point d’où il est parti. Dans ce cas le mobile continuerait à se mouvoir dans le même sens , abstraction faite de toute résistance , et il circulerait continuellement autour de la terre , comme une petite planète. Ce mouvement de circulation serait le résultat des deux forces que nous avons supposées, la força, d’ impulsion qui toute seule éloignerait le mobile de plus en plus , et la force de la gravité , qui travaille sans cesse à le ramener.

Après avoir examiné avec quelque détail les deux . jjas où l’amplitude horizontale de la parabole est nulle t

sa6 Première Section*. Chapitre XX.

revenons à la question proposée , qui a pour objet del déterminer le cas où cette amplitude est laplus grande. Puisque la parabole se réduit à une droite , et son amplitude à un point , lorsque le mobile est lança verticalement de bas en haut ; que d’un autre côté ella est toute entière au dessous du plan horizontal mena par l’origine , lorsque le mobile est poussé dans la direction de ce plan , on peut déjà présumer que la courbe décrite par le mobile au-dessus de notre plan horizontal , sera la plus ouverte , lorsque la direction initiale de son mouvement tiendra le milieu entre ces deux-là , et qu elle fera avec l’horizon un angle demidroit ou de 45 degrés.

Lorsqu’un corps est lancé obliquement à l'horizon sous l’angle qu’on vient de dire , sa vitesse d’ascensiort est égale à sa vitesse de progression ; et dans le parai» lélogramnie Ab B b' ( fig. 33 ) les côtés A b et A b" sont égaux. Or Ab exprimant la vitesse ascendante , sert à déterminer le temps que le mobile demeure au-dessus de l’horizontale AK.'; et A b' qui est la vitesse progressive , fait connaître Yespace qu’il parcourt dans c» sens pendant ce temps. Si l’angle initial augmente, Ab devient plus grand , et le temps nécessaire pour ramener le mobile à l’horizontale , augmente aussi : mai* A b' diminue en plus grande raison , et l’espace parcouru horizontalement pendant ce temps , devient plus petit. De même si l’angle d’inclinaison est moindre que 45 degrés , la vitesse de progression sera plus grande , mais le temps diminuant en plus grande proportion , l’amplitude de la parabole sera encore moindre que dans le premier cas. L’inclinaison de 45 degrés pst donc celle qui donne la plus grande amplitude , ou

M ouvement des corps tancés. • 2 2 *

tomme on dit , la plus grande portée. On peut trou» Vei facilement une démonstration rigoureuse de ce 1 1 0 proposition, (i)

4 - De la direction Convenable pour atteindra un point donné »

Il reste à résoudre la dernière question : déterminer l’angle d inclinaison nécessaire , pour qu’un mobile lancé obliquement avec une vitesse connue , aide tomber sur un point donné. Cette question, comme il est facile de voir, est accompagnée de plu# de difficultés qu’aucune des précédentes : car il s’amï ici de déterminer une parabole qui doit passer par 1$ point de départ et par le point donné , lesquels , comme il est évident , peuvent appartenir en même temps à des paraboles différentes. Voici néanmoins uns solution de ce problème , graphique et fort simple.

Supposons d’abord qüe le point donné est situé sur la même droite horizontale que le point de départ. Il

(1) En désignant par a l’angle que fait avec l’horizon la direction initiale du mouvement, on a , V cos a pour la Vitesse honsontale , et V sin a pour la vitesse verticale. Le temps de l’ascension est donc, J ; et la demi-amplitude

•st exprimée par V cos a X — sin a cos a. LW

plitude totale est donc , — a sin a cos a = — sin a a. Elle , ^ S

•si donc la pins grande possible, lorsque sin aa = 1 , ouque .

d’angle a est de 4 S degrés.

**8 PaÊMîfcftE StCTfOW. CnAPITRlï XÏ.

«st évident qu’il ne peut pas être éloigné de celui-ci' d’une quantité plus grande que la plus grande portée qui peut avoir lieu sous la vitesse donnée. Si sa distance est égale à cette plus grande portée , le problème est déjà résolu par ce qui a été dit précédemment. Mais si la distance du point donné est moindre , alors il y aura deux inclinaisons qui pourront satisfaire au problème, l’une plus grande , et l’autre plus petite que 45 degrés , et qu’on obtiendra de la manière suivante.

On°cherchera d’abord quelle est la hauteur due à la vitesse de projection , c’est-à-dire quelle est la hauteur d’où un corps pesant doit tomber pour acquérir une vitesse égale à celle-là. On élèvera ensuite par le point donné B ( fig. 35 ) une droite verticale , sur laquelle du point A, avec une ouverture de compas égale au double de la hauteur trouvée , on marquera un point C ; et menant AC, l’angle ACB sera le double de l'angle cherché moindre que 45 degrés. Pour avoir la seconde inclinaison , on fera un angle qui surpasse 45 degrés autant que l’autredéja trouvé en est au-dessous } et la question proposée sera ainsi résolue : c'est-à-dire , que pour atteindre le point donné B, le mobile devr* être lancé ou suivant la droite AF, ou suivant AF'. Dans le premier cas il décrira la parabole ASB , et dan»

le second il* suivra la courbe AS B.

Sur l’a.*e de la parabole est un point remarquable , . que l’on appelle le foyer de la courbe. Ce point a éta ainsi nommé , parce que c’est là que vont se réuni* tous les rayons lumineux, qui tombent sur la concavité de la parabole parallèlement à l’axe , et qui sont réfléchis par cette courbe, Réciproquement lorsqu un point radieux, est placé au foyer d’une parabole, tou*

Mouvement des corps lancés. 1 29 les rayons qui s’en échappent , et qui tombent sur la courbe , sont réfléchis parallèlement entre eux , et à l’axe de cette parabole. La même chose a lieu pour ce ' qu’on appelle le calorique rayonnant.

Outre la propriété physique dont on vient de parler , le foyer de la parabole jouit de quelques propriétés mathématiques dont on parle en géométrie , et il est surtout fort utile pour la description de la courbe. Voici de quelle manière on peut trouver les foyers des deux paraboles , qui donnent la solutiod du problème proposé.

Du point de départ A (fig. 36 ), et avec un rayon égal à la hauteur due à la vitesse initiale , on décrira une circonférence de cercle. Du point B d’arrivée , et avec le même rayon , on en décrira une autre. Ces deux circonférences se couperont en deux points , qui seront les foyers cherchés. Ces foyers seront ici sur une même ■verticale sur laquelle aussi seront placés les sommets des deux courbes.

Pour avoir le sommet de la parabole dont le foyer est en F , je mène par le point D qui est la hauteur, due , l’horizontale DE, qui coupe en K la verticale PF, et je divise KF en deux parties égales. Le point S est le sommet de la première parabole. On aura celui de l’autre parabole dont le foyer est en F', en divisant de même en deux parties égales la distance KF'. On aura enfin les angles de projection demandés, en suivant le procédé exposé ci-dessus.

Si le point qu’on veut atteindre était plus ou moins élevé que l’horizontale menée par l’origine A (fig. 37 ) , je décrirais d’abord de ce point A , et avec un rayon fgal à la hauteur 1 due , une circonférence de cercle.

«j3o‘ Première Sectios. Chapitre XI.

Du point B , et avec ce rayon augmenté , ou diminué de toute la quantité dont le point B est au-dessous ou au-dessus de l’horizontale AH , on décrira une autre

circonférence , qui coupera encore la première en deux points. Ces points qui ne sont plus ici sur la même verticale , sont les foyers des deux paraboles que le mobile peut décrire pour arriver au point donné. En menant par le point D une horizontale , on trouvera comme tout à l’heure , les sommets de ces paraboles. On obtiendra aussi les angles de projection par le même moyen que précédemment.

Dans la pratique du jet des bombes , on détermine communément la force de la poudre , en tirant sous un angle de 4^ degrés. La portée est alors , comme on a dit , un maximum , et la moitié de cette portée est égale à la hauteur doit un corps pesant devrait tomber pour acquérir la vitesse du mobile à son départ. La force de la poudre étant ainsi connue , on peut résoudre aisément notre dernier problème par les méthodes du calcul. Voyez pour cela la Mécanique de Bézouc , ou celle de l’abbé Marie , ou , etc.

5. Influence de la résistance de l’air sur le mouvement des projectiles.

Dans tout ce qu’on a dit jusqu'ici sur le mouvement des projectiles , l’on n’a eu aucun égard à la résistance de l’air. On a supposé que ce mouvement se faisait dans le vide, et que nulle puissance étrangère ne venait troubler l'action des forces qui entraînent le mobile. Il est évident que les résultats no pourront plus être exactement les mêmes, si un fluide oppose son inertie ,

Mouvement cl es corps lancés. 2^1 fet dérobe à tous raomens au mobile une partie de sa vitesse. C’est ce que nous avons déjà vu , lorsqu’il a été question des corps lancés verticalement de bas eu îiaut ; et qui a également lieu , lorsqu’ils sont poussés dans une direction quelconque.

Supposons d’abord que le mobile est chassé horizontalement : la vitesse qu’il a reçue dans ce sens par l'impulsion d’une force instantanée , et que nous avons regardée comme uniforme , va au contraire en s’affaiblissant de plus en plus par la résistance de l’air que le mobile est obligé de traverser et de déplacer. Ce mobile ne se trouvera donc pas au bout d’un temps donné , aussi avancé qu’il l’eût été sans cet obstacle. Il n’y aura donc pas entre son mouvement progressif et son abaissement produit par la pesanteur , le rapport qui nous avait donné une parabole pour la courbe décrite. Cependant celle-ci s’éloignera d’autant moins de la forme parabolique , que la vitesse initiale du mobile sera moins grande , et que l’arc parcouru aura moins d’étendue. Ainsi l’eau qui s’échappe d’un réservoir par un orifice latéral , lorsqu’elle est reçue à peu de distance , décrit assez exactement une parabole.

Si le mobile est lancé dans une direction oblique à l’horizon ; d’abord la résistance de l’air l’empêchera d'atteindre à toute la hauteur due à la vitesse d’impulsion. En second lieu ce même obstacle ne permettra pa.s qu’il arrive à toute la distance ou il serait parvenu sans cela. C’est donc à l'expérience à nous apprendre ce qu’il faut rabattre des résultats donnés par la théorie. On trouve dans la Mécanique de l’abbé Marie , le calcul d'une suite d’expériences faites sous différens degrés d’obliquité avec un canon de »4 chargé de neuf livret

a3a Première Section. Chapitre XI.

de poudre. Voici en gros les résultats que ces expériences ont offerts.

Par un milieu pris entre plusieurs essais, on avait trouvé que la poudre imprimait au boulet une vitesse de 220 toises par seconde. Or en calculant d’après cela les portées ou amplitudes , sous les angles de i 5 , 3 o et 45 degrés , par la méthode exposée ci-dessus , ou telle autre qu’on voudra , on trouve pour la première portée 4836 toises, pour la seconde 8376', et enfin 2)672* pour la dernière. Mais ces’portées ont été réellement et d’après l’expérience, l’une de 1675 toises seulement, l’autre de 1910', et la troisième de 2200'. On ,voit par là combien est grande la résistance de l’air pour de grandes vitesses , et dans quelles erreurs on peut tomber , lorsqu’on manque d’avoir égard à cet obstacle.

Un mobile poussé de bas en haut dans une direction oblique à l’horizon , et soumis en même temps à la pesanteur , doit décrire une parabole dans le vide. Mais sa route au travers du fluide atmosphérique est une courbe d’une forme et d’une nature bien differente. Les géomètres sont venus à bout de déterminer quelques-unes de ses propriétés. Mais comme il n’existe aucune règle pour la décrire , nous n’en dirons pas davantage sur ce sujet, et nous renverrons les curieux aux ouvrages des mathématiciens. On ajoutera seulement qu’il faut sur ce sujet comme sur beaucoup d’autres, consulter l’expérience dans chaque cas particulier, et s en tenir aux résultats quelle aura donnés.

Première S i c t i o ir, à33