DU MOUVEMENT DU CENTRE DE GRAVITÉ
Ijorsqd’one puissance quelconque agit sur un corps suivant une droite qui passe par le centre de gravité de ce corps , la vitesse quelle est capable de communiquer , se distribue également à toutes les molécules dont le corps est composé , et elles se meuvent toutes parallèlement entre elles , et avec des vitesses égales. Il est évident qu’il n'y a ici aucune raison pour que les molécules qui sont d’un côté , prennent plus ou moins de vitesse , que celles qui sont du côté opposé. L’impulsion passant par le centre des forces pat allèles , le mouvement du corps se fera d'une manière uniforme, suivant une ligne droite , et sans que les molécules éprouvent aucun changement dans leurs situations rélativement au centre de gravité. Leur vitesse commune sera égale a celle que la puissance est capable de communiquer à une seule molécule , divisée parle nombre
(*) Je préviens le lecteur que ce qui suit jusqu’à la fin de cette première section est un peu abstrait. Cependant on remarquera facilement , j’espère , que les choses ne pou\ aient guère être présentées avec plus de clarté et de simplicité.
s5o Première Section. Chapitre XIIT.
de ces molécules , ou ce qui est la même chose', pat, la masse du corps.
Pareillement lorsque des puissances égales et parallèles agissent sur les différentes molécules dont un corps est composé , l’effet est le même que si une seule puissance égale à la somme de celles - là , agissait dans le même sens sur le centre de gravité du corps , dont toute la masse , comme on sait , peut être considérée comme concentrée en ce point. Le mouvement se fera donc de la même manière que si le centre du corps était uniquement et immédiatement soumis à Cette dernière puissance.
Mais si les forces qui sollicitent les différens points d’un corps , étant toujours parallèles et dirigées dans le même sens ne sont pas égales entre elles ; alors pour savoir ce qui doit résulter de leur action relativement au centre de gravité du corps , il est nécessaire que nous considérions auparavant un système de points matériels , qui seraient indépendans les uns des autres , et soumis à des forces parallèles et inégales .
i . Mouvement du centre de gravité d'un système
de corps dans le cas des forces parallèles.
Soient plusieurs points matériels A , B , C , etc. ( fig. 38 ) mus uniformément suivant les droites parallèles aa' b b' , ce' , etc. avec des vitesses différentes y } y' , V" , etc. : on demande quel sera le mouvement du centre commun de gravité de tous ces corps.
Je dis d’abord que le centre de gravité sera mû sur une droite parallèle aux droites aa' , b b' , etc. En effet si Ton unit le point A , par exemple , avec le point B
Du Mouvement du centre de gravité, a 5 il par des lignes droites dans toutes leurs positions successives et simultanées , le lieu de leur commun centre de gravité divisera toutes ces droites de la même manière : ce qui place tous les points de division sur une même droite parallèle à celles que ces corps décrivent. Il est clair que la même chose doit avoir lieu pour le centre de gravité d’un nombre de corps quelconque , qui se meuvent sur «les lignes parallèles entre elles. Le centre de gravité de notre système A , B , C , ne quittera donc point la droite gg'.
Je dis en second lieu «pie le mouvement de ce centre de gravité se fera avec une vitesse uniforme. Pour le prouver , supposons qu’au bout d’un certain temps t , les mobiles qui étaient d'abord en A , B , C , et dont le centre commun de gravité était en G , soient parvenus ert A', B’, C', et que leur centre de gravité soit arrivé en un certain point G'. Comme ce centre est censé réunir les trois masses, il faut que sa quantité de mouvement, soit égale à la somme des quantités de mouvement des trois mobiles. Or les vitesses ««tant supposées uniformes, sont proportionnelles au temps t. L’espace GG' que parcourt le centre de gravité, est donc aussi proportionnel à ce temps. Donc sa vitesse est uniforme , et elle est de plus égale à la somme des produits de chaque masse multipliée par sa vitesse propre , cette somme étant divisée par la somme des masses, (t)
(i) Soit Cw la somme des trois masses censées réunies au centre de gravité , on aura donc: G X GG' = A. X AA'-f- B X B B' -(- C X CC' ; ou parce que AA', BB', CC/ sont les espaces parcourus pendant le même temps t avec les vitesses V, V', VJ on aura, GX GG' = ( AV + BV / + CV") t ;
i5a Première Section. Chapitre XIII.
De ce qu’on vient d’établir on peut conclure que lé mouvement et la vitesse du centre commun de gravité dans le cas que nous considérons ici , sont les mêmes que si les puissances qui animent les mobiles A , B , et C , avaient agi uniquement et immédiatement sur ce centre de gravité. (2)
a. Mouvement du centre de gravité commun • dans le cas de forces quelconques.
Passons maintenant au cas plus général , où les puissances qui sollicitent les dilferens points du système , ne sont ni égales , ni parallèles , mais où elles sont , comme on dit , quelconques. Dans ce cas chacune de ces forces peut , ainsi qu’on l’a vu (i) être décomposée en
par où l'on voit que GG' croît dans la même raison que t. Er( appelant U cette vitesse du centre de gravité, on tirera de AV + BV' + CV" .
la : U = A ^ j j- ^ — , ce qui est 1 expression traduite
dans le texte.
(2) En effet la puissance qui peut donner au mobile A la
vitesse V , ne pourra communiquer au centre G où les trois
AV
masses paraissent résider, que la vitesse A Pc même
celle qui donne à B la vitesse V' , ne donnerait appliquée à (J
, . BV' . . , . „
que la vitesse A ^ q ; et ainst peur la troisième. Donc
ces puissances en agissant directement sur ce point , lui
. . , . AV -f BV' q- CV"
auraient communique la vitesse — A -i- B 4- C “ ’ T 11
justement la vitesse trouvée du centre commun de gravité.
(1) Voyez à la fin la Note (J>).
Du Mouvement du centre de gravité, -i 53
'trois fortes parallèles à trois droites passant par un même point , et perpendiculaires entre elles. On pourra par exemple , considérer le mobile A comme sollicité en même temps par trois forces F , F' , F* parallèles à ces trois droites , et telles que leur résultante soit en effet la force qui agit réellement sur ce mobile. De même le point B sera soumis à trois autres forces parallèles chacune à chacune des trois précédentes , et qui produiraient par leur concours la force unique qui agit en B. On dirait la même chose de tous les autres points matériels dont l’ensemble compose le système que l’on considère.
Maintenant toutes les forces F qui sont appliquées aux différens points du système , étant parallèles entre elles , sont dans le cas déjà traité ; c’est-à-dire qu’à cet égard le centre de gravité est sollicité comme si toutes ces forces F lui étaient immédiatement appliquées. 11 en est de même pour les forces parallèles F' et F". Donc toutes les puissances qui agissent sur les différentes parties du système , se réduisant à ces trois ordres de forces , et chacun de ces ordres sollicitant le centre de gravité commun de la même manière que s’il était appliqué à ce point , il suit que dans tous les cas , et quelles que soient les forces qui agissent sur les différens points d’un système de corps libres et indépendans , le centre commun de gravité de tous ces corps doit se mouvoir , et se meut en effet de la même manière que sices forceslui étaient uniquement et immédiatement appliquées. Ainsi la direction de son mouvement sera celle de la résultante de toutes ces forces considérées comme appliquées à ce point. Quant à sa vitesse , elle sera égale à celle que cette résuU
254 Première Section. Chapitre XIIT.
tante pourrait faire naitre dans une certaine niasse prise pour unité , divisée par la somme de toutes les masses qui composent le système en question , évaluées en unités de la même espèce.
Le mouvement du centre de gravité se fait encore de la même manière dans un système dont toutes les parties sont intimément liées , et ne peuvent se mouvoir les unes sans les autres. En effet les points A , B , C étant unis entre eux d’une manière invariable , la puissance qui agit sur A par exemple , et qui lui aurait imprimé la vitesse u , si ce point avait été libre, ne lui fera prendre , je suppose , que la vitesse u' , à cause de l’obstacle qui résulte de la liaison de ce point avec les autres points du système. L’on pourra donc concevoir le point A comme sollicité à-la-fois par deux forces , dont l’une tendrait à lui communiquer la vitesse u' qu’il aura réellement , et l’autre une vitesse u" qui sera détruite par l’obstacle , ces deux vitesses étant telles que la vitesse imprimée u soit en effet la résultante de ces deux-là. En raisonnant de même pour tous les autres points du système , on voit que l’on pourra ici considérer deux ordres de forcés ; les unes qui se détruisent mutuellement , et qui ne peuvent par conséquent produire aucun mouvement dans le centre de gravité du système ; et les autres qui auront leur entier effet , et qui agissent sur les différons points comme s’ils étaient tout-à-fait libres. D’où il suit què tout ce qui vient d’être dit touchant le mouvement du centre de gravité dans le cas de X indépendance , doit encore avoir lieu pour le cas où toutes les parties ne sont point libres , et demeurent unies sous une forme invariable.
Du Mouvement du centre de gravité . 2 55 3 . Mouvement ducentre de gravité d'un seul corps.
L’application de ce qu'on vient de dire , au cas d’un corps solide d’une niasse et d’un volume quelconques , est évidente par elle-même. Quelles que soient les forces qui sollicitent les difïerens points d’un tel corps , il est certain que le centre de gravité de ce corps se trouvera soumis à l’influence de toutes ces forces , et qu’il sera mû tout comme si elles agissaient immédiatement sur lui.
Soit donc un corps M ( fig. 39 ) frappé suivant une direction AB qui ne passe pas par son centre de gravité G. Je dis que ce centre de gravité se mettra en mouvement dans une direction parallèle à AB ; et que sa vitesse sera la même que s’il avait immédiatement reçu cette impulsion. En effet on peut supposer que les différentes forces dont il était question dans l'article précédent , sont réduites à zéro , à l’exception d’une seule ; et ce qui a été démontré relativement au centre de gravité n’en sera pas moins vrai. Ainsi le centre de gravité du corps M avancera parallèlement à AB , et tout autant qu’il l’aurait fait , s’il avait lui-même reçu ' le choc. Sa vitesse sera , comme on a dit , égale à celle que la puissance peut communiquer à l’unité de masse , divisée par le nombre de ces unités contenues dans la masse du corps.
Tel est l’effet de l’impulsion supposée sur le centre de gravité du corps. Pour réduire ce centre de gravité au repos , il suffirait de lui appliquer en même temps une force CD égale à l’impulsion , mais dirigée en sens contraire, Le mouvement progressif du centre d<s
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gravité se trouvant ainsi arrêté , celui du corps le serait pareillement. Mais il ne faudrait pas croire pour cela que toutes ses parties fussent amenées à l’état de repos , et que la puissance fût totalement détruite. Les deux forces AB, CD sont bien égales, agissent bien en des sens contraires ; mais elles ne sont pas directement opposées : elles ne sauraient donc se détruire complètement. La force ou l'obstacle qui appliqué en G , suffit pour empêcher le mouvement de ■progression du corps , n’empêche pas que les parties de ce corps ne puissent tourner autour de ce point, et que le corps ne prenne ainsi un mouvement de rotation sur lui-même. Cet effet qui arrive quand le centre de gravité est arrêté , a également lieu lorsque rien ne l’empêche d’obéir à l’impulsion reçue ; de façon que le corps , dans le cas que nous considérons , est à-la-fois animé d’un double mouvement produit par la même puissance ; mouvement de progression qui se fait comme si l’impulsion avait passé par le centre de gravité , et mouvement de rotation qui a lieu comme si ce centre de gravité était immobile. C’est ce dernier mouvement qui nous reste à déterminer,
Première Section.
