Du cas où le lévier est appuyé par ses deux extrémités

Dans nos expériences le point d’appui a été remplacé par une force telle qu’il convenait pour l’équilibre ; et en effet ce point fixe rendit les fonctions d'une force égale et opposée à la résultante des deux qui agissent

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aux extrémités du lévier. Mais il y a plus : les deux forces elles -mêmes pourraient être remplacées par deux appuis , tandis qu’une force unique agirait sur quelque point de la longueur du lévier. Dans ce cas la force étant donnée , ainsi que son point d’application , il sera facile de déterminer quelle est la charge que supporte chacun des appuis.

Si la force est appliquée au milieu de la longueur du lévier , les appuis en porteront évidemment la moitié chacun. Ainsi deux hommes qui soutiennent un poids de cent livres suspendu au milieu d’une barre , qu’ils tiennent par les deux bouts , portent chacun un poids de cinquante livres. Une poutre d’égale épaisseur qui repose horizontalement par ses extrémités sur deux murs parallèles, est soutenue également par l’un et par l'autre. On peut considérer son poids comme réuni à son centre de gravité qui est au milieu de sa longueur , et ce cas se trouve alors le même que le précédent.

Si le fardeau au lieu d etre attaché au milieu du lévier , était appliqué en tout autre endroit de sa longueur, au quart par exemple , alors l’homme qui en serait le plus près , en soutiendrait la plus grande partie , les trois quarts dans l’hypothèse présente; tandis que l'autre n’en aurait à soutenir que la moindre partie , le quart dans la même supposition. L’on pourra donc en partant de là , disposer un fardeau , de manière que deux hommes de forces inégales qui seraient obligés de le soutenir , en portassent chacun une portion proportionnelle à sa force.

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9 . Equilibre entre plusieurs forces appliquées au même levier.

Au lieu de deux forces appliquées aux extrémités du levier , il pourrait y en avoir plusieurs distribuées en différens points de sa longueur , et les conditions de l’équilibre se trouveraient encore facilement. Il suffit pour cela que la somme des mornens des forces placées d’un même côté par rapport au point d appui , et que nous supposons agir dans le même sens , soit égale à la somme des momens de celles qui sont situées de l’autre côté. Si les forces agissaient dans des sens opposés , il faudrait en général que la somme des momens de toutes les forces qui tendent à faire tourner le lèvier dans un sens , fût égal à la somme des momens de celles qui tendent à le faire tourner en sens contraire.

Soitdoncun lévier AB ( fig. 56 )dont le point d’appui est en C au quart de sa longueur , et qui est chargé aux points D , E , B de poids égaux d 'une once chacun : on demande quelle doit être la grandeur du poids appliqué en A, pour faire équilibre à ceux-là. Les distances CD, DE , EB étant supposées égales entre elles , et au bras AC , que je considère comme Y unité , j’ajoute ensemble les trois distances CB, CE, CD, ou les nombres 1 ,2,3: ce qui me donne 6 pour la somme des momens des poids donnés. Ce nombre exprime doncaussile moment de la force qui doit être appliquée en A ; et puisque sa distance AC a été laite égale à Y unité , il faudra donc suspendre en A un poids de six onces , pour tenir en équilibre les trois onces placées de l’autre coté,

Du Levier. 333

On n’a eu ici aucun égard au poids du levier luimême. Si l’on voulait en tenir compte , le levier étant supposé uniformément pesant , l’on considérerait le poids de chaque bras comme concentré dans son milieu. Ainsi le poids de BC triple du poids de AC se trouverait encore à une distance triple du point d’appui , et. aurait par conséquent un moment neuf fois aussi grand. Pour tenir donc le lévier en équilibre , il faudrait appliquer au milieu de AC , un poids égal à huit fois le poids de ce bras AC , ou à deux fois le poids du lévier AB tout entier ; ou enGn suspendre en A un poids qui fût égal à celui de AB.

Comme on a trouvé le poids unique qui peut faire équilibre à des poids donnés , lorsque les points d’application sont déterminés , l’on peut aussi trouver quels sont les poids nécessaires pour contre-balancer une résistance donnée , et à quelles distances du point d'appui ils doivent être placés.

Puisque le moment d’une force devient plus grand à proportion quelle s’éloigne davantage du point d’appui, il suit qu’un même poids pourra foire équilibre successivement à des masses très-inégales , en faisant varier sa distance à ce point d’appui. C’est sur ce principe qu’est fondée la construction dune sorte de balance trèsusitée , dont il sera bientôt question.

io. Du lévier tle la seconde espèce .

Le lévier de la seconde espèce est celui , où la résistance est placée entre la puissance et le point d'appui : celui-ci se trouve donc à une des extrémités du levier , (tandis que la puissance agit à l'autre extrémité. Les

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deux forces que ce levier sert à mettre en équilibre , étant placées du même côté par rapport au point fixe , il est nécessaire que ces forces qui doivent se combattre , agissent en sens contraire. Si donc la résistance est un fardeau à soutenir , il faut que la puissance agisse de bas en haut ; ce qui ne peut se faire si ellemême est un poids , qu’au moyen d’un cordon passant sur une poulie fixe , que l’on appelle dans ce cas poulie de renvoi , parce quelle sert à changer la direction de la force , sans rien changer aux conditions de l’équilibre.

La puissance dans l'espèce de levier que nous considérons ici , étant toujours plus éloignée du point d’appui que la résistance , il suit que la masse de cellelà est toujours plus petite que la masse de la dernière, et d'autant plus qu'il y a plus d'inégalités dans leurs distances au point fixe. Mais aussi la vitesse virtuelle de la première est proportionnellement plus grande , et il y a encore égalité dans les produits des masses par leurs vitesses respectives. Si donc. en employant le levier de la seconde espèce on gagne nécessairement du côté de la force , on perd aussi et de même du côté du temps.

Soit donc le levier CB ( fig. ) de la seconde espèce, ayant son point d’appui en C. Si en A , au cinquième de sa longueur, on suspend un poids de cinq onces , il ne faudra à l’extrémite B qu'une force d une once pour établir l’équilibre. Mais s’il faut élever d'un pouce ce poids de cinq onces, le contre-poids d'une once sera forcé de descendre de cinq pouces. On suppose que les forces agissent perpendiculairement à la longueur du lévier. Si cela n était pas, ce ne serait plus aux liras du lévier qu’il faudrait avoir égard , mais aux perpendiculaires abaissées du point C sur les directions des forces.

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Quant à la charge du point d’appui , elle est ici égale à la différence des masses en. équilibre , et elle se fait sentir dans le sens de la plus grande des deux. Puisque les forces agissent ici en sens contraires , leur résultante est simplement égale à leur différence , et comme on sait, l’effort qui se fait sur le point d’appui, est toujours égal à cette résultante. Le point C dans notre exemple, est donc pressé de haut en bas avec une force de quatre onces seulement: l'on pourrait y appliquer une force de cette valeur , et agissant de bas en haut , et l’équilibre aurait également lieu. La charge des points d’appui est donc moindre dans le lévier du second genre , quelle n’est dans celui du premier , parce que les forces agissent dans l’un en sens contraire, et en même sens dans l’autre.

1 1 . Usage de cette espèce de lévier.

On se sert souvent du lévier de la seconde espèce pour remuer de lourds fardeaux. Soit par exemple le bloc de pierre M ( fig. 58 ) que l’on veut tenir sur son arête NP , au moyen du lévier BG appuyé contre le terrein en C. On demande quelle doit être la grandeur de la puissance appliquée perpendiculairement au point B , pour produire l’effet désiré. D’abord il est visible que le bloc étant appuyé sur le sol par son arête NP , il n’y a qu’une partie de son poids qui presse le lévier en A , et qui soit à soutenir par la puissance qui agit en B. G étant le centre de gravité dç la masse M, on peut supposer que tout son poids est réuni en ce point , et que la résistance à vaincre agit par conséquent dans le sens de la verticale GK, Par les points A et K

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pris sur la face inférieure du bloc, on mènera une droite,' qui rencontre en I l’arête NP ; et alors on considérera le fardeau M, comme appliqué en K sur le lévier IA, et on le distribuera sur les deux appuis I et A en parties réciproquement proportionnelles aux distances AK et IK. On saura ainsi quelle est la partie de ce fardeau qui pèse sur le sol, et quelle est celle qui presse le lévier en A. Cette dernière portion est toujours égale à la masse M diminuée dans le rapport de IA à J K. De façon que si IK est le quart par exemple , de IA , la charge du point A ne sera que le quart du fardeau.

A mesure que le centre de gravité G s'élève davantage en tournant autour de l’arête NP , la verticale GK rencontre AI en des points de plus en plus voisins du point I. Il suit de là que la charge du point A devient toujours moindre , jusque - là qu’elle serait nulle , si le centre G parvenait à être verticalement au-dessus de NP. Au contraire lorsque le point G s’abaisse , la rencontre de la verticale GK avec IA s’éloigne de plus en plus du point d’appui I, et la charge en A augmente, jusqu’à devenir à peu près égale à la moitié de M : ce qui arrive lorsque la droite IA est tout près de la position horizontale , où elle est partagée en deux également par la verticale GK.

Maintenant l’effort qui se fait en A et que nous venons de déterminer , se fait sentir suivant la verticale AH. Il faut donc le décomposer en deux, l’un AL perpendiculaire à la longueur du lévier , et qui sera la vraie charge à soutenir , et l'autre LH parallèle à cette longueur , et qui ne peut servir à augmenter cette charge. Celui-ci tend seulement à faire glisser le fardeau le long du lévier , et l’entraînerait en effet dans ce

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sens , s’il netait détruit par la résistance du frottement^ Cet effort se transmet donc en C , et n’ajoute rien à la charge du lévier. Reste donc la force perpendiculaire AL : l’on trouvera facilement que cette force est égale à AH diminué dans le rapport de AH à AL, ou multiplié par le sinus de l’angle AIIL. Or cet angle est celui que la direction du lévier fait avec la verticale. Ainsi l'angle et son sinus diminuant à mesure qtie le lévier approche de cette dernière position , il suit que la puissance a encore un moindre effort à faire , à mesura que le bloc s’élève davantage sur son arête NP.

Enfin dans le lévier de la seconde espèce RC , la puissance devant être à la résistance , comme AC est a BC , il sera facile de déterminer l’effort qu’il faut faire au point B pour tenir en équilibre une masse connue, lorsque la longueur du lévier , son inclinaison et la position du point A seront données. Supposons par exemple , que RC est de cinq pieds , que A est à urt pied de l’extrémité C, et que l’angle avec l’horizon soit de 45 degrés , ce qui donne la même grandeur pour l’angle du lévier avec la verticale; si d’ailleurs le point K répond au tiers de AI ; on aura la puissance égala à la quinzième partie de la masse , multipliée par le sinus de 45 degrés. Ainsi avec une force de 47 livres , on pourra tenir en équilibre dans les circonstances supposées , une masse pesant mille livres.

1 3. Dit lévier du troisième genre.

Pour avoir le lévier du troisième genre il suffit de' considérer comme puissance ce que nous avons appelé résistance dans celui de la seconde espèce , et de placer la véritable résistance à l’une des extrémités du lévier ,

,aa

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tandis que le point d'appui est toujours à l’autre extréu ynité. On doit voir clairement par cette disposition de® forces , que dans cette espèce de levier , il est toujours nécessaire pour l'équilibre, que la niasse de la puissance soit supérieure à celle de la résistance. Pour soutenir le poids d 'une livre par exemple , il faudra employer «ne force de deux, trois ou quatre livres , selon qu’on appliquera celle-ci à la moitié , au tiers ou au quart «le la longueur du lévier , à compter du point d’appui.

Le lévier dont il est ici question , nuit donc nécessairement à la puissance , et ne peut être employé avec avantage , lorsqu'il s’agit simplement d’établir l’équilibre. Mais s’il est besoin de communiquer du mouvement, l’on peut alors en tirer une grande utilité, et l’on ne craindra pas d’assurer qu’il est à cet égard beaucoup plus avantageux que les deux autres espèces de lévier. En effet si l’on suppose que l’équilibre est rompu pour «n moment , le mouvement sera évidemment plus grand à l’extrémité du lévier , où est attachée la résistance , qu'au point moins éloigné de l’appui , où la puissance est appliquée. Si donc la masse de celle-ci est plus grande , sa vitesse sera aussi d autant m oindre ; et si l’on a beaucoup de force à sa disposition , et que l’on veuille rtiénager le temps en communiquant beaucoup de vitesse , c’est du lévier de la troisième espèce qu'il faut faire usage.

C’est aussi ce qu’a fait la nature dans la manière dont elle a constitue les membres des animaux , et dans les moyens quelle a établis pour les faire mouvoir. Notre bras par exemple , se trouve organisé comme un lévier du troisième genre. Lorsqu il est tendu en avant, c! renversé dans une position horizontale f ce qui le muiu-

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tient dans cette position , c’est l’action d’un muscle DE ( fig. 59 ) qui part de la partie supérieure du bras AG , et vient s’attacher à l’os de l'avant-bras BC , tout près du coude G , qui est le point sur lequel cet avant-bras doit tourner. Ce mouvement de rotation s’exécute par la contraction ou le relâchement du muscle DE que l’on appelle le deltoïde.

Quand nous avons le bras tendu en avant , comme le représente la figure , le poids de l’avant-bras étant supposé réuni à son centre de gravité G , l'effort que fait en E le deltoïde pour le soutenir en cet état est au poids de cet avant-bras , comme CG est à CE ; de sorte que si cette dernière distance n’est que la dixième partie de l’autre , l’effort au point E sera dix fois aussi grand que le poids qu’il faut vaincre. 11 se fait donc ici une dépense de force bien supérieure à l’effet qu’il s’agit de produire , lorsque l’on ne considère que l’équilibre ; et l’on pourrait croire d’abord qu’il y a eu ou prodigalité, ou imprudence de la part de la nature dans une pareille disposition : mais un peu d’attention nous y fera découvrir au contraire une admirable sagesse.

Ce n’est pas l’éqùilibre que la nature a eu en vue , mais bien le mouvement. Nous avons besoin à chaque instant de plier/et de déployer le bras. Un petit changement dans la longueur du muscle DE , va produire au point G un mouvement dix fois plus grand , et l’ordre de la volonté sera exécuté avec une étonnante promptitude : ce qui était nécessaire vu la brièveté de notre existence , vu surtout le grand nombre de dangers qui menacent notre vie , et qu'il fallait pouvoir repousser avec célérité avant qu’ils nous eussent atteints.

La distance du point où le muscle deltoïde est atta-

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ché, au point sur lequel se fait le mouvement (la l’avant-bras, est à la longueur de cet avant-bras et de la main reunis , comme 3 est à 100. Ainsi pour soutenir un poids de trente litres suspendu au bout des doigts , le bras étant renversé et tendu horizontalement , il en coûte à la puissance un effort de mille livres. Il ne faut donc pas être surpris si nous éprouvons tant de difficulté à soutenir de cette manière des poids médiocres.

i4- Usage des léviers de tous genres.

Les léviers de toutes les espèces se rencontrent fréquemment parmi les outils ou machines dont nous faisons continuellement usage. Nous ferons bientôt connaître plus particulièrement quelques-unes de ces machines. Pour le moment nous nous contenterons de faire remarquer , t.° que les pinces ou badines dont on se sertpour remuer les tisons, sont des léviers de la troisième espèce. Le point d'appui est à l’endroit où se joignent les deux branches : la puissance ce sont les doigts qui pressent sur ces deux branches pour les rapprocher entre elles ; et la résistance c’est le tison qu’il s'agit de soulever. L’effort à faire est ici d’autant plus grand , que la main est placée plus près du point d’appui : cet effort diminue à mesure qu’elle s’approche du fardeau à remuer.

2. u Le couteau du boulanger est un levier du second genre. Il est fixé , comme on sait , par son extrémité. Le pain qu’il s'agit de couper , et qui remplit ici les fonctions de la résistance , est placé sous le tranchant j et la main qui tient le manche , et qui est la puisi gance , est appliquée à l’autre extrémité,

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3 .* Les ciseaux à couper sont des leviers de la première espèce assemblés par paires. Le point d’appui qui est le clou qui les attache l’un à l’autre , est placé entre les doigts qui sont la puissance , et le corps qu’on veut couper qui est la résistance. Selon que le point de jonction de ces leviers est plus près de l’une ou de l’autre , les ciseaux sont propres à couper des corps plus ou moins durs , et leurs pointes font plus ou moins de mouvement.

On peut aussi considérer les rames du batelier comme des leviers du deuxième genre. C’est ici l’eau qui fournit le point d’appui : la résistance c’est le bateau à mouvoir , et le bras du batelier est la puissance. Il en est de même des mâts de navires , où l’on voit l’impulsion du vent , la masse à pousser , et le point d’appui disposés dans le même ordre. Au reste , les trois espèces de lévier n’en font réellement qu'une seule , quand il s’agit d’équilibre. En effet , lorsque trois forces se contre-balancent mutuellement, rien n’empêche de considérer l’une quelconque d’elles , comme étant fixe , et servant par conséquent d’appui au système.

Nous n’avons considéré que des léviers droits : mais les conditions de l’équilibre sont les mêmes pour les léviers courbés ou coudés comme on voudra. Si donc on a un lévier angulaire ACB ( fig. 60 ) dont le point d’appui est en C , les forces appliquées perpendiculairement en A et B , devront pour l’équilibre , être entre elles comme BC et AC. Si leurs directions n’étaient pas perpendiculaires aux bras du lévier , il faudrait du point d’appui C abaisser des perpendiculaires sur ces directions , et les substituer aux bras

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correspondans. C’est en général de cette manière qu’on trouve le rapport des forces qui se tiennent en équilibre au moyen d'un lévier de forme quelconque. Ainsi dans la manivelle courbe , on n’a aucun égard à la courbure ; et l’on ne tient compte que de la distance directe de la main au centre du mouvement : c’est cette distance qui est la longueur du lévier.