De la charge des appuis

Les conditions de l’équilibre dans le treuil ayant été trouvées , il faut à présent chercher quelle est la charge que supportent les appuis. D’abord la machine entière a un certain poids , que l’on peut considérer comme

(1) Les deux triangles GHK et CMK sont semblables; d’où KH : KM : : GH : CM ; et par conséquent MR : Q : : GH : CM. Mais les deux triangles MON , CMF sont aussi semblables , et l’on a par suite , MN : ON = MR : : CM : CF. Multipliant ces deux proportions par ordre , il vient , MN ou P : Q : : GH : CF. Ce qu’il fallait prouver.

Du Treuil et du Cabestan. 3yg résidant dans son centre de gravité. Or le centre de gravité du cylindre est dans l’axe au milieu de sa longueur : celui de la roue est aussi dans l’axe au centre de la roue. En partageant la distance qui sépare ces deux points , en parties réciproquement proportionnelles aux poids de la roue et du cylindre , on aura le centre de gravité commun , c’est-à-dire le point où le poids de toute la machine est censé réuni. Maintenant cette partie de la charge doit être distribuée , comme on a vu , sur les deux appuis en raison inverse de leurs distances à ce point.

En second lieu le fardeau et la puissance qui lui fait équilibre , agissant aux extrémités d’un levier fictif , qui a son point d’appui sur l'axe , le cas est le même à cet égard que si les deux forces étaient immédiatement appliquées à ce point de l’axe. Cette charge qui est verticale comme la précédente , se partagera encore entre les deux appuis en raison réciproque de leurs distances.

Reste enfin la force horizontale que nous avons trouvée par la décomposition de la puissance donnée. Celle-ci est comine appliquée au centre de la roue , et étant distribuée de la même manière , elle fait naître sur les deux appuis une pression horizontale , qu’il faudra combiner avec les pressions verticales déjà trouvées , pour avoir la grandeur absolue , et la véritable direction de l'effort que ces appuis ont à supporter , et auquel il est nécessaire qu’ils puissent résister.

Donnons un exemple de ces calculs. Soit un treuil ( fig. y 5 ) dont le cylindre AB a huit pieds de longueur, et un demi-pied de rayon , et dont la roue a un rayon de quatre pieds. Supposons que le centre de la roue soit placé au quart de la longueur de l’axe , et que le

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fardeau réponde aux trois quarts de cette longueur. 1 D’abord l’équilibre exige ici que la puissance soie a la résistance , comme un est à huit ; c’est-à-dire que cent livres font ici équilibre à un poids de huit cent livres. Mais cette puissance est censée agir perpendiculairement au rayon de la roue , dans une direction inclinée , ou non , à l’horizon.

Si la force employée est verticale, elle ne se décomposera point , et elle ne produira aucun effort horizontal contre le point C qui est le centre de la roue , ni par conséquent contre les appuis; mais la pression verticale en sera plus grande. L’axe dans le cas présent , est donc chargé quelque part d’un poids égal à la somme des deux forces. Pour trouver le point qui supporte cette charge, il faut partager la distance CG qui est de quatre ■pieds dans notre exemple , en neuf parties égales , et compter huit de ces parties depuis le centre de la roue. Ce sera là le point cherché , lequel est placé par conséquent à î J pieds de l’extrémité B du cylindre. C’est dans cet endroit que l'on doit supposer réunis le fardeau de 800 livres et la puissance qui est de 100. Pour disx tribuer ensuite la totalité de cette charge sur les deux appuis , on fera connue il va être dit.

Dans le cas où la puissance est inclinée à l’horizon , ellesc décomposera en deux , et produira deux pressions. Si l’on suppose l’inclinaison de 45 degrés, ce qui donne pour chacun des côtés MR et MO du parallélogramme une valeur de 71 lorsque la diagonale MN vaut 100 , on trouvera que le point K de l’axe est chargé d’un poids de 871 livres , et qu’il est situé sur l’axe à une distance de C telle que GK. est à CK., comme 71 est à 800 , ou

Du Treuil et du Cabestan. 38 r bomtne i esc à 1 1 à peu près. On divisera donc la distance CG en douze parties , et on en comptera onze à partir du point C. Le point ainsi trouvé sera le point cherché K , qui est par conséquent distant de l’appui A de 68 pouces , et de l'appui B de 28 pouces seulement.

La charge totale du point K étant de 871 livres dans le cas présent , il faut la partager en deux portions , qui soient dans le rapport des nombres 68 et 28 , ou ce qui revient au même des nombres plus simples 17 et 7. Ces portions sont de 254 livres et de 617. L’appui B éprouvera donc une pression verticale de 617 livres , et l’appui A une seulement de 254 livres , par l’effet du fardeau et de la force qui le tient en équilibre. Il faut observer que cette charge varie pour chaque appui , à mesure que le fardeau répond à des points différens de l’axe ; elle diminue pour l’appui dont il s’éloigne , et augmente au contraire pour celui dont il s’approche.

La pression qu’on vient de trouver , est accrue par le poids de la machine elle-même. Si l’on suppose que le cylindre pèse 4oo livres , et la roue 200 , le centre de gravité du cylindre étant au milieu de sa longueur , et celui de la roue étant à son centre de figure , 011 divisera la distance qui sépare ces deux points en trois parties égales ; et le centre de gravité commun sera à la seconde division à partir du point C , c’est-à-dire qu’il sera à 16 pouces de distance du centre de la roue ; et par conséquent ce point est éloigné dë> l’un des appuis de 4 o pouces , et de l’autre de 56 . Le poids total de la machine qui est de 600 livres , étant partagé réciproquement à ces distances , donne pour la charge de l’appui B 25 o livres , et 35 o pour celle de l’appui A. Ainsi la pression verticale en B est en totalité de 867; livres j et celle en A de 5 04 livres.

Diç

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Reste la partie de la puissance P qui est dirigée horizontalement contre le point C , et qu’on a supposée aussi équivalente à 71 livres. Si l'on décompose cette force en deux forces parallèles et horizontales appliquées en A et en B , on aura pour la première 53 livres , et jy y pour la seconde. Ainsi finalement l’appui A est sollicité par deux forces , l’une verticale de 5o4 livres , et l’autre horizontale de 53 livres à peu près. Comme celle-ci est un peu plus que la dixième partie de cellelà , pour les composer ensemble , on construira dans un plan vertical perpendiculaire à l’axe un parallélogramme rectangle, dont le côté horizontal soit un peu plus grand que la dixième partie du côté vertical ; et la diagonale de ce parallélogramme exprimera la direction et la grandeur de l’effort que supporte l’appui A , et auquel il est nécessaire qu’il puisse résister. Quant à l’appui B , on trouverait de même la résultante des deux pressions qu’il éprouve. Mais comme la pression horizontale n’est guère que la 48 . ime partie de celle qui agit dans le sens vertical , on voit qu’on peut ici la négliger sans inconvénient , ou que du moins 1 effort qui se fait sur cet appui , s’éloigne fort peu de la direction verticale