GÉOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE PRATIQUE

Je réunis sous ce chef un certain nombre de problèmes dont la solution est le plus souvent très mal indiquée par les ligures; mais ils sont si connus et si faciles, que c'est la moindre chose que de suppléer aux omissions du démonstrateur. La plupart, comme de juste, ont trait à la construction. Le présent chapitre est donc en quelque sorte l'introduction de celui qui suivra. Villard de Honnecourt qui donne péle-mèle les matières de l'un et de l'autre, annonce ce chaos par une note ainsi conçue : En ces iiij. fuelles a des figures de Vart dejoinetrie, mais al conoistre covient avoir grant esgartki savoir velt de que cascune doit ovrer. ce Sur les quatres pages suivantes sont des ligures de l'art de géométrie ; mais il faut mettre grande application à les étudier, si l'on veut comprendre le sens pratique de chacune. »

1" Trouver le centre d'un cercle (fol. -20 r.). — La ligure ne fait qu'indiquer la solution, car elle consiste seulement en un cercle sur la circonférence duquel sont marqués trois gros points. Légende : Par chu trovom le point en mi on campe à conpas, « ainsi trouvet-on le point du milieu d'un champ décrit au compas. » Ce problème, fameux autrefois parmi les ouvriers tailleurs de pierre, était connu sous la dénomination des trois points perdus.

2" Trouver le centre d'une voussure dans une constructio7i (fol. !21 r.) — Corollaire du problème précédent. La figure représente un claveau, avec deux ficelles tendues dans le sens de ses faces de joint et prolongées jusqu'à ce qu'elles se rencontrent. Légende : Par chu trovom les poins d'one vosure taillie « ainsi trouve-t-on

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les points d'unevVoussurG taillée. » Il dit « les points » parce que la rencontre des ficelles indique non seulement le centre de la voussure, mais l'endroit où ce centre est placé.

3" Déterminer la circonférence d'une colonne engagée (ibl.20r.). — Autre corollaire du problème des trois poinls perdus. Le moyen proposé est d'appliquer sur la surface extérieure de la colonne, pcrpendiculaii'ement à son axe, un compas à coulisse dans le quadrant duquel s'adapte une branche mobile. On ajuste les trois branches de manière à ce qu'elles touchent toutes les trois la colonne. Le compas ensuite couché en plan donnera trois points suffisants pour trouver la circonférence qu'on cherche. Légende : Par eu prenum la grosse d'one colonbe que onne voit 7nie tote.

4" Trouver le module d ujie colonne appliquée dans une encoignure (fol. 20 V.). — La figure est un cercle tangent aux deux C(Més d'un angle droit. Une équerre a l'un de ses bras appliqué contre l'un des côtés de l'angle et l'autre contre le cercle. Cela veut dire que le module cherché, c'est-à-dire le rayon de la colonne, est égal à la tangente conduite perpendiculairement du fût sur l'un des murs qui forment l'encoignure. Légende : Ensi prendés one roonde en on agle, s'en are:- le grose; « ainsi prenez une rondeur dans un angle et vous en aurez la dimension. »

5" Faire un vase double en capacité d'un autre vase donné (fol. 20 r.). — Il y a bien des choses sous-entendues tant dans la légende que dans la figure. Celle-ci consiste tout simplement en une équerre dont l'angle intérieur est inscrit dans un cercle, tandis qu'un autre cercle concentrique mais de rayon plus petit est tangent à ses deux branches. Il y a dessous : Par chu fait om ij. vassias que li ons tient ij. tans que li aires, « par ce, fait-on deux vaisseaux tels que l'un tienne deux fois autant que l'autre, j)

Il est certain que le grand cercle est double en superficie du petit, car son rayon est l'hypoténuse d'un triangle rectangle qui a pour petits côtés deux rayons du petit cercle. Maintenant pour que le vase construit sur le grand cercle tienne le double de l'autre, il faut les supposer tous deux ou cylindriques ou coniques et ayant mêmes hauteurs. Une écuelle ou tout autre vaisseau sphérique exécuté d'après le même procédé ne répondrait pas aux conditions du problème. La figure ne montre rien de tout cela, ni l'explication ne l'enseigne.

6" Décrire trois arcs différents avec un seul rayon (fol. 21 r.). — Cet énoncé est ainsi conçu dans le manuscrit : Par chu fait om trois manires d'ars à coupas ovrir one fois. Je reproduis la ligure en l'accompagnant de lettres pour la facilité de la démonstration.

SLR L ALBUM DE VILLAUD DE IIONNECOURT

Le rayon donné est en avec lequel on décrit d'abord le cercle aiibk dont la moitié aiib est l'un des arcs demandés.

Le second arc est un arc brisé qu'on obtiendra en prenant b pour centre; soit gkb.

Le troisième arc, éi^alement brisé, se décrit en prenant pour centre l'intersection o du dia- / mètre ab, par la perpendiculaire abaissée sur lui du point k, sommet de l'arc précédemment obtenu. On a donc giib.

Si simple que soit cette opération, elle me parait renfermer une donnée capitale pour l'élude de l'architecture du xiii*^ siècle. Les trois arcs engendrés sont de ceux qui constituent la forme des cintres dans les monuments de cette époque. Sur les trois il y en a deux, aiib (le plein cintre) et gkb (l'arc tiers-point) dont la formule est parfaitement connue. Je me demande si giib ne nous donnerait pas celle de l'arc gothique par excellence. L'archéologie, au point où elle en est, n'assigne pas de forme constante aux arcs de l'ère gothique qui no sont ni le plein cintre ni le tiers-point. Ils en ont peut-être une ; du moins l'opération de Villard de Honnecourt, donne à croire que de son temps et du temps de ses maîtres, l'arc brisé le plus en usage, était celui dont les deux centres avaient pour dislance un demi-rayon, dont par conséquent les deux naissances étaient distancées d'un rayon et demi. Ce sera aux praticiens à vérifier ce fait.

7" Détermine)^ le poùit précis où tombera un fruit se détachant de V arbre {îo\. 21 r.). — La chose est autrement énoncée dans le manuscrit : Par chu met om on oef dessos one poire par mesure que H poire chice sor l'uef; a ainsi met-on un œuf sous une poire pour faire que la poire tombe sur l'œuf. » Pour figure un arbre d'où pend une poire; trois jalons déterminant un plan qui passe par l'axe de la poire, et sous la poire une petite croix, indice d'une intersection. Cette intersection qui sera la place de l'œuf, résulte d'une autre ligne de jalons précédemment établie dans le même axe.

J'omets un autre problème, sans doute aussi simple que celui-là, mais dont il m'est impossible d'accorder la solution avec la figure (fol. 20 r.) : Il consiste à faire tomber en un même point deux pierres peu éloignées l'une de l'autre, si toutefois c'est bien là le sens de la légende : Par chu fait om cheir deus pires à un point si tons ne seront.

8" Tracer Faire d'un cloître (fol. 20 r.). — Deux méthodes sont proposées; mais les figures sont si incomplètes qu'on ne peut pas dire au juste par quelle opération s'effectuait ce tracé.

La première figure consiste en deux carrés, l'un inscrit parallèlement dans l'autre. Du centre commun, marqué par une intersection part une demi-diagonale qui aboutit à l'un des angles du carré inscrit. Au-dessous : Par chu fait om on clostre, aulretant es voies com el iJrael; « ainsi fait-on un cloître, tant pour les galeries que pour le préau. ))

Il y a ensuite pour seconde figure, un carré dans les quatre angles duquel sont disposés quatre pentagones ayant chacun trois angles droits, car leur forme est celle d'une équerre de dessinateur tronquée sous ses angles aigus par des lignes perpendiculaires aux côtés qui inscrivent l'angle droit, et l'un des angles obtus que cette section a produite sur l'hypoténuse, indique la direction des diagonales du carré. L'intersection des diagonales est marquée par une petite croix au milieu de la figure. Légende : Par chu assiet 07n les iiij. coens d'an clostre sens plonc et sens livel ; « manière d'établir les quatre coins d'un cloître sans plomb et sans niveau. » Je conjecture d'après ces mots que la méthode proposée consistait à tirer d'abord une ligne droite de la longueur qu'on voulait donner à un côté du cloître, puis à établir successivement les trois autres côtés, au moyen de patrons de bois dont le dessin nous représente la forme. Ces mêmes patrons donnant aussi la direction des diagonales, fournissaient de quoi s'assurer que le tracé du carré était bon.

9" Mesurer la largeur (Tune rivière sans la passer (fol. 20 r.). Une rivière figurée en plan, un point marqué sur l'une de ses rives, et de l'autre côté un instrument à prendre les angles : Par chu prent on la largece d'one aive sens paseir.

Le mérite de ce dessin et de ceux qui le suivent, est de prouver qu'au xiii° siècle, nos praticiens usaient déjà de la méthode trigonométrique des sinus professée par les Arabes. Leur manière d'opérer était d'ailleurs très imparfaite. Le graphomètre dessiné par Villard de Honnecourt se compose de deux règles fixées en arbalétriers sur deux traverses, de sorte qu'on avait la base et deux angles du triangle auquel il fallait dès lors accommoder par des tâtonnements infinis le point saillant qu'on lui donnait pour sommet.

Un instrument analogue (même folio), mais assemblé en quadrilatère rectangle, s'employait pour déterminer à distance la largeur d'une fenêtre, ou, pour parler d'une manière plus générale, l'écartement de deux points fixes. La légende dit : Par chu prent 07n la largece d'one fenestre ki est Ions.

40° Mesurer la hauteur d'une tour (fol. 20 v.). L'opération se faisait d'une façon aussi peu commode que la précédente, au moyen

SUR l'album de VILLARD DE IIO.NNECOl RT 259

d'une éqiierre-trianglc qu'il fallaii liausscr, baisser, rapprocher, éloigner, jusqu'à ce qu'on l'eût mise à son point pour aboutir au sommet de l'édifice. La figure, pour donner une idée de ces tâtonnements, représente l'équerre élevée sur une tablette à pieds pendant que l'opérateur, couché par terre, en mire l'hypoténuse dans le sens des créneaux de la tour. Légende : Par chu prenf om le haiitece d'one toor.

COUPE DES PIERRES ET JL\ÇONXERIE

Si j'étais parvenu à faire dire aux figures de Yillard de Honnecourt tout ce qu'elles signifient, ce chapitre serait de beaucoup le plus intéressant ; on y trouverait, réduite à ses principes, la science qui a présidé à la construction des édifices gothiques les plus grandioses. Je n'ai réussi qu'à en saisir quelques traits ; mais comme ce qui est resté inintelligible pour moi, sera certainement compris par d'autres, afin que les précieuses indications de l'album sur cette matière reçoivent le plus tôt possible les explications qu'elles comportent, je les reproduirai dans leur entier, texte et dessins.

Il n'est pas inutile de rappeler pour la plus grande inlelligence de ce qui va suivre, que la difficulté de toute construction en pierre réside dans les voûtes; que les voûtes gothiques étant fractionnées en une infinité de plans appuyés les uns sur les autres, n'ont de capital dans leur économie que les membrures sur lesquelles est leur premier appui; qu'ainsi toute la difficulté de construction de ces voûtes est réduite à celle de la construction des membrures, simples arcs de pierre, formés de pièces isolées qui s'appliquaient l'une contre l'autre sans enchaînement. J'ajoute encore que les courbes de ces membrures, étant toutes des segments de cercle, ne peuvent donner lieu à aucun problème dont on ne sorte par la connaissance du rayon, toujours si facile à obtenir.

Voilà pour la théorie. Quant à la pratique, supposez qu'on eût à construire aujourd'hui de ces sortes de membrures; pour en exécuter les pièces ou voussoirs, la marche serait celle-ci. On dessinerait répure de chaque arc qu'on diviserait comme il convient pour en tirer le dessin d'un voussoir développé sur toutes ses faces. D'après ce

dessin, on forait des patrons (ce qu'on appelle des panneaux) donnant les formes propres aux diverses faces des voussoirs. Enfin, avec l'aide des panneaux, se ferait le travail du tailleur de pierre.

La méthode des panneaux ou plutôt l'art de les tracer, qu'on appelle le trait, passe pour être une invention des constructeurs gothiques. Ce qui le fait croire, c'est le contraste de l'ignorance manifeste qui a présidé à la construction des voûtes l'omanes, avec la précision progressive des coupes de pierre que l'on remarque dans les édifices bâtis depuis le xiii'^ siècle jusqu'au commencement du xvI^ D'un autre côté, Philibert de Lorme, qui est le plus vieil auteur ayant écrit sur le trait, en parle comme d'une chose que les ouvriers se transmettaient entre eux de temps immémorial. Arrivons à Villard de Honnecourt et à ses méthodes. 1" Exécution du modèle avant de construire un arc (fol. *20 i,). — Voici dès le premier énoncé, inie notion importante pour l'histoire de l'art : c'est qu'au commencement du xiii^ siècle, on exécutait le modèle en relief avant d'opérer la construction. La figure, il est vrai, et la légende ne sont pas sans difficulté; mais quelle que soit l'interprétation précise de l'une et de l'autre, le fait d'un relief préliminaire

n'en restera pas moins acquis. La figure le prouve par la jauge qui est appliquée sur son segment extérieur. Le texte est encore plus explicite : Par chu tait om le mole d'on grant arc dedans iij . pies de terre ; « ainsi taille -t-on le moule d'un grand arc dedans trois pieds de terre » Tailler le moule, c'est découper avec ses élévations et profils, c'est sculpter un claveau qui, d'après les propriétés connues de l'arc plein cintre (que l'auteur appelle grand arc), pourra servir de modèle à tous les autres claveaux du même arc. Maintenant, que les mots dedans trois pieds de /erre indiquent la surface ou le volume de terre suffisant pour l'e-xécution du modèle; que trois pieds soit une quantité réelle ou seulement un indéfini synonyme de peu considérable ; ([ue les trois demi-cercles concentriques de la figure, placés sous le segment que l'opération a pour but de produire, soient là pour enseigner la marche de l'opération ou à toute autre fin : peu importe; l'exécution du modèle en relief est mise hors de doute. En dernière analyse, on n'opérait pas autrement pour les arcs de voûte que pour ceux des baies percées dans les massifs.

2" Taille des voussoirs d'après le modèle (fol. 20 r.). — Avec le modèle en terre de la grandeur de l'exécution, on pouvait se passer de