S II

DBS TRAVAUX d'eUDOXE EN GÉOMÉTIUE.

Les services qu'il a rendus à la géométrie sont résumés dans un passage deProdus (inEuetid., 1, p. 10). lis portent sur quatre points principaux, que M. Ideler explique et commente savamment. £n premier lieu, selon cet auteur» Eudoxe avait augmenté le nombre

m LES ÊCBITS ET LB8 TBàVAUX

des théorèmes généraux (twv y,iy06/.o'j Of^py^uaroiv itiài$oç -hùinvs). £n etïel, selonÀrchimède, oa lui devait plunettTs piindpes de stéréométrie, par exemple iee deux théorèmes relatifs au rapport de la pyramide et du cône au prisme et au cylindre de même base et de même hauteur. Rroelus a donc raison emuiite lonqne^ citant plusieurs mathématiciens auxqfuels la géométrie devait son développement, il nomme £udoxe comme un de eeux qui avaient encore plus perfectionné toutes les parties de cette scienoe, ëtt rcUi6»r^pâcy nrodiw rJb»

. Le deuxième point indiqué par Proclus, dans l'appréciation du mérited*Euikseen géométrie, consiste

en ce (lu'il avait ajouté trois analogies aux trois • 4Min» {xcûç rptffty «MtXoyiaw é^Xtcc rode rpo7e97]XE)« Ce

passage est expliqué par ce que dit Théon de Smyme

sur les lieux mathématiques de Platon, et par les corn* mentaires de Jamblique sur rarilhniétique de ^iicomaque. Le mot analogie répond, ches les anciens mathématiciens à ce que nous appelons proporHoih iféométriqne. Pour exprimer les proport mm continues^ ils se servaient du mot fu^omc» tMdietttt. Jamblique dit que Py thagore et ses disciples admettaient trois juiemtgti^y ïarilhwélique^ la géométrique et ïkarmoniquCy^ qu'Ëudoxe en lyouta trois autres (forà roûra trtpl Et^o^ov ftoc8y;a«rixol éÛJiaç tpUç irpo^mupoyr»; fU(r6tnTxij> Ce que Jamblique appelle aî^omTiç est nommé par Produs àvaiko^iaç. De ces six medieloUit

DTfmoxB n cifiDB. m

les deux premières, V arithmétique et la géomélriqttef sont lesMules qui aajoiird*hiti méntenlqiielqiieatteiition ; les antres ne sont d'aucune utilité pour notre arithmétique.

Le troisiè^me point a plus d'importance. Selon Prochis, Endove avait beaucoup étendu la doctrine des tediom des corps, introduite par Platon (ri mpï tîjv

yev). C'est, eneffet, parcettedoetrîne que Platon s'était acquis un grand mérite en géométrie; car de là dépendent l'analyse géométrique, la théorie des lieux géométriqnes, les sections coniques, en un mot toute la géométrie transcendante, dont nous devons, en conséquence, le regarder comme le véritable auteur.

La doctrine des lieux géométriques lut dès lors appliquée au problème de la duplication du cube, qui occupa les meilleures têtes de la Grèce. Déjà Hippocrate de Chio, si connu par la qnadrature des lunules, l'ayait réduit ' h la recherche des deux moyennes proportionnelles entre le côté du cube donné et le double de ce côté. On pent lire dans Plntarque la fabuleuse histoire de la duplication d'un autel cubique, problème dont Toracie de Delphes mettait la solutioii comme condition de la délivrance des Delphiens affligés de la peste {de Genio Socratig, c. 8). Les Delphiens s'adressèrent à Platon, qui les renvoya à Ëudoxe de Cnide et à Hélicon de Gyzique, comme ^tant ceux que le genre de leurs spéculations

3S0 LBS ÉCRITS BT LBS TIAVADX

mcllail le plus en ëtal de trouver la solution cbercliéc.

Celle hi&iorieUe montre au moios 4|pi*£udoxe 8*ëtatt occapë déjà de ce problème^ et qu'il était arrifé h quelque méthode simple et facile de trouver deux moyenoes proportionelles entre deux lignes droites données. Il se servait, à cet effet, de certaines lignes

courbes {^là twv xaXou/jL6v&)v xa/ixTrvXwv yp!Xfj.uôi'j), dont

Oiogène le fait l'inventeur (YUl, 90); mais il est bien difficile maintenant de s'en former une idée juste. On est cependant assuré qu'elles n'avaient rien de commun avec les seclions coniques, A la vérité, ce que dit Produs, qu*il avait étendu la doctrine de Platon sur les sections des corps, donne lieu de croire qu'il avait déjà reconnu quelques propriétés des tectùmt coniqum: mais cette théorie est due proprement à son disciple Ménechme, qui, au témoignage d*Eutocius, avait le premier enseigné à résoudre le fameux problème par deux sections coniques, an mojen, soit de deus paraboles, soit d'une parabole et d'une hyperbole entre ses asymptotes. Que ce procédé fût autre que celui d'£udoxe, cela résulte des vers d'Ëratostbène (ap. Brunek, ÀnaL^ 1. 1. p. 478; cf. Bemhardy, ad t'taloulh.^ p. 180 sq. ), où l'on voit que les trois sections du cône, qu'ËratostUène appelle Mcvou'x/^etoc T^txiiç parce qu'elles avaient été trouvées par Mé nechme, è savoir, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole, différaient des ligiid courba qu'£udoxe employait pour cette solution.

D*KUDOXE DE CKIDfi. m Enfin Proclus dit, en quatrième lieu, qu'Eudoxe s'était servi, pour les sections (rà mpi xinv rofiyiv), d$ tanalyn (rois «vo^cviy in aùv&v xjpifivéfuitùç). Les Grecs se sont beaoeonp oecnpés de cette méthode, qui appartient proprement à la géométrie transcendante, bien qu'ils n*aieni jamais connu Falgèbre» qnî, depnn Descartes, a donné ans modernes un si grand afan-* tage sur eux.

Des recherches de M. Ideler il résulte qu'Eudoie, par ses écrits et son enseignement, avait, en effet,

beaucoup contribué au développement de la géomélrie, et qu'il doit occuper une des principales places parmi * les mathématiciens de l'école de Platon.

Le savant auteur n'a point négligé, à la fin de son mémoire, l'exanien de la question des emprunts que les Grecs ont pu faire aux Égyptiens matière de géométrie. Ses réfledeiiB, à cet ^ard, méritent d'être transcrites.

«( On peut se demander, dit-il, si les Grecs sont vraiment créateurs en ce genre, ou s'ils n'ont foit que

réunir et coordonner les notions qu'ils ont tirées de r£gypte. Que la géométrie pratique ait pris son origine dans ce pays, c'est Topinion unanime des anciens écrivains, d'un Hérodote, d'un Aristote, d'un Strabon, d'un Proclus et d'autres. Il est, en effet, bien vrai» semblable qu'elle a dû sa formation à un peuple chef qui une division exacte des terres était un premier besoin. Le Mil, qui détruisait fréquemment par ses

m LES ÉCRITS ET LES TRAVAUX

crues périodiques les limiles des terrains, rendait nécessaires de nouvelles mesures lorsqu'il était rentré dans son lit... Telle est l*origîne que la plupart des éerîraîns ont donnée à la géométrie pratique, dont la théorique est issue comme l'indique son nom grec (mesure de la terre)..* 11 n'y a aucun doute que les Egyptiens, ainsi que Jamblique l'assure, étaient en possession de beaucoup de problèmes géométriques, c'est-à-dire qu'ils savaient ré^udre pratiquement les principales propositions de la géométrie élémentaire^ Mais il ne s'ensuit pasqu'ils possédassent une géométrie d^à développée scientifiquement, comme nous la, représentent lee ÉlémênU d*Euclide. D'après tout ce que rhisloire nous enseigne, une telle science ne peut être considérée que comme une eréatîon de l'eapril grec. Nous poovons encore suivre, avec assez de précision, le développement successif de la géométrie élémentaire, depuis les principes planimétriquea de Thalès et de Pythagore jusqu'à la stéréométrie d'Arehimède, qui a couronné la science. Ajoutons que les eonnaissanœ^ étaient, ches les Egyptiens, la propriété des prêtres, qui exerçaient les principales fonctions dans rÉtat, occupaient le premier rang après le roi, et Itinnaîent une sorte d'oligarchie. Les scienees restèrent toujours dans l'enfance chez les peuples où elles appartinrent exclusivement à une caste privi*. légiée; et il n'est pas vraisemblable que les prètto égyptiens atest été, sous ce rapport, beaucoup plus

DIKUDOXfi DE CNIDK. 335 avancés que les brames et les mandarins. Ils entou- . rèrent, à dessein, leurs connaissances d'une enveloppe ra^térieuse; ce qui leur était d*autant plas facile qu'elles étaient exprimées dans un langa^^e et dans un caractère d'écriture qu'eux seuls comprenaient. Par eelte même raiaoïit les philosophes grecs, qui pftraiasent n'avoir pas eu précisément le talent de s'approprier facilement les écritures et les langues étrangères, n*ent eu que peu à apprendre des prêtres égyptiens; et, lorsque enfin les Grecs, parvenus an trône des Pharaons, rendirent les communications plus faciles, ils possédaient déjà leur Platon, leur Eadoie et leur Aristote... »

Ces réflexions nous portent un peu loin de l'opinion de ceux qui attribuent aux Égyptiens une géométrie transoendante et une astronomie presque aussi perfectionnée que celle des modernes. Il y a déjà longtemps que nous aurons été oonduit aux mêmes Tues que M. Ideler sur ce point important de rhistoire* des sciences. Nous persistons h croire que toute recherche . eonsdeneieuae et appro^Dndie y ramteera de plus en plus les esprits impartiaux.

U nous reste à parler du second mémoire sur l'astronomie d-£udoxe, mémoire qui touche à plusieurs questions importantes. M. Ideler les a discutées avec cette lucidité, cette érudition réfléchie, celte réserve judicieuse, qui distinguent tous see écrits» et . que nous STons eu occarion de signaler à nos leeteurs en

' iS4 LES ÉCRITS BT LES TRAVAUX

rendant compte de son travail sur l'origine du xodiaque grec.

S lil.

DES TRAVAUX d'ëUOOXë EN ASTROMOMIfi.

M. Mêler discute plusieurs pointe irès-difiiciles el

fort débattus entre les astronomes et les chronologistes» principalement les opinions d'£udoxe sur les cercles oétesles, sur la place des oolures dans Técliptique, sur la forme de la terre, enfin sa théorie des planètes et celle des sphères. Nous allons toucher auccessivement ces différente pointe, en ajoutent aux vues de i'anleiir celles que nous ont suggérées nos recherches particulières ou quelques éléments nouveaux dans la question*

L'auteur de ['EpinuntidCj probablement Philippe d'Oponte» disciple de Platon, fait une distinction entre ceux qui sont astronomes â la manîèred*Hésiod«, c'est-à-dire (|ui observent les levers et les couchers des astres pour l'usage des laboureurs ou des marins, et les vrais astronomes, qui s'occupent de la redierche des mouvements des planètes. (C. ii, p. 990.)

£n ce sens, il n'y eut peut-être pas un seul asti'onome chei les Grecs a|ant Eudcae. A la vérité les

D^KUDOXS DE Clfl0l. 53»

pliilosophos des écoles Ioniennes et Pythagoricienne avaient déjà pris le monde (xoajiM«) pour siyet de leurs méditations; mais ils se eonleiitaieiii de se lifrer à leur imagination, sans observer sérieusement le del; aussi leurs recherches n'avançaient pas beaucoup la seieoce* Même dans les écrits de Platon, l'astnmomie se présente encore sous une enveloppe métaphysique. U fut cependant le premier à donner aux astronomes le sage conseil d'étudier la géométrie* Ce conseil fui suivi par son disciple Endoxe, qui se montré comme un des principaux promoteurs des éludes mathématiques parmi les Grecs.

Muni dequelques faits positifs empruntés à TËgypte, et qu'une observation continuée pendant plusieurs siècles poQfait seule procurer, doué, en outre, d'un sens géométrique fort remarquable, Eudoxe entreprit de dresser un état du ciel étoile, de donner au calendrier une hase scientifique, et d'établir l'astronomie sur ses iréritables fondements.

Mais on ne doit pas oublier qu'il manquait encore presque entièrement de t4Nit moyen d'observation pré> cise; car, à l'exception du simple gnomon, il ne connaissait aucun des instruments dont se servirent plus tard les astronomes du Musée. U fut donc toujours hors d'étal de prendre des positions exactes d'étoiles. Il savait assez bien observer, mais il ne pouvait ni mesurer ni calculer ses obsenrations.

Nous avons déjà tu qu'il avait écrit deux oumges

88ê LIS ÉCRITS ET LES TRAVAUX

astronomiques, le Miroir et les Phénomènm qu^Aratns

avait pris pour base de son pocme, ou même qu'il «▼ait copiés presque mot à mot. D'après les eairaits que nous en a conservés Hipparque, nous voyons que le ciel étoile d'Eudoxe différait peu de celui de Ptoiémée, et eonséquemment du nôtre. On a beên* coup parlé des andennes sphères orientales qu'il a dû avoir sous les yeux, mais 'tout cela repose sur des hypothèses incertaines. Bien ne nous met en droit de faire remonter au delà de son ëpoque rimeniionrd^une sphère savanle, ni de lui enlever le mérite d'avoir ordonné le ciel d'après des vues qui lui étaient propres.

Pourtant ce mérite ne doit pas être estimé trop haut. Nulle part il ne fait mention dscension droite, de déeUnaiion^ de longitude^ de laUlude* 11 connaissait les principaux cercles du ciel dans lenrs rapports mutuels; mais il lui manquait le moyen d'observer, môme en gros, les hauteurs et les culminations d'^ toiles. Ceci résulte, entra autres bits, de ce qu'il pensait qu'il existe une étoile qui, dans le mouvement diurne, conserve toujours la même place, marquant ainsi le lieu du pôle, opinion qu'Eudide répétait encore un siècle plus tard. Or, de son temps, il n'y avait aucune étoile, visible à l'cail nu, qu'on eût pu appeler étoile pohUre^ Hipparque, qui en fait robsnr- ^tion {odArcU,^ i, 5), dit que le pôle forme, avec trois étoiles, un quadrilatère; indiquant par là, selon tonte apparence, les étoiles de la petite Ourse, que

irsuBOXB n cnidb. si

Bode, dans son Uranographie, désigne par les lellres

Aprds ces prélimiiiaires, le sa^nt académicien

entre dans Tcxamen des points que nous avons indiqués plus haut :

i" Cercles de U sphère.

. M. Ideler remarque que le mot horiwn {6 hplKiw) ne se rencontre nulle part dans lesfragmentsd'Eudoxe ; et il conjecture que cet ancien astronome appelait oe cercle Océm^ de même qu'Aratns^ à la manière des plus anciens géographes, qui se représentaient la terre comme un disque environné par l'Océan. 11 olisenre en même temps qu'on trouve déjà ce mot dans Autolycus, contemporain d'Aristole, et dans Eudide. Nous ayons, quant à nous, peine à croire que cette notion ne remonte pas plus haut, et qu'un géo* mètre tel qu*Eudoxe, qui admettait la sphéricité de la terre, se fût cootenté du terme poétique Ocêan^ qui devait présenter à un astronome une idée si impropre et si bizare^ tandis que Texpression cercle knmeur^ 6 ép/Çftiy xvxXoç, est si naturelle et si simple, qu'elle dsRrail sloffrïr de prime abord à sa pensée. On la trouve, en effet, employée dans le traité astronomique inédit rédigé d'après les idées d'Eudoxe (papyrus du musée

' Selon Dt'Iainiirr;, ce «^«'niionl f'j de la pelile Ourse, a et x du Dragon. {tiisf. de l'asirm. anc, \, p. 110.)

338 LES tCAlTS ET LES TRAVAUX

du Louvre). On y lit (col. 6) : yoftVdo> ôpt Ao€«*I.. i tw xoVfiov âi/^x ^laipûvy ta fu» vitcp [y^èçU ta |#t1 vtfi yiiç* a Qu'on imtgine un tereh borneur... divisant le monde en deux parties, Tune au-dessus, l'autre au-dessous de la terre. »«

TjO même mot est aussi employé substantivemeiit dans cet autre endroit du même ouvrage (col. 14) : dwtoç tov rî^ovy oux tùBûèç tfolwcat ta aatpaj a)iX Sta» è ^Xioç dbrà TOT OPiZONTOS

coucher du soleil, les astres ne paraissent pas tout de suite, mais lorsque ie soleil est distant de ï horizon d*nn demi-signe. » Autolycos ne oonnatt que Fadjeclif (x'J/tXoç optÇo)v) ; Euclide emploie déjà le substantif, 6 ^tCttv» 11 est vrai qu'on le trouve aussi dans le traité qui porte le nom de TiméedeLœret (p. 97, d,); mais ce traité pseudonyme a été rédigé d'après le Timée de Platon, probablement à Alexandrie. (Bockh, de Phkm,^ Corp. mund. fabriea^ p. xs?in»xxx.)

Ëudoxe connaissait l'équateur sous le nom d'icr/:jtjiepivôç, qui a été donné constamment à ce cercle par les Grecs. À cette occasion nous remarquerons qu'ils l'ont toujours nommé d'après V égalilé de jours ^ et les Latins, au contraire, d'après l'égaliU de miU, Car l'adjectif xifuidiiUit est un ardiaisme emprunte aux Grecs, dté seulement par Festus; tandis que l'adjectif tcrovux- 7iog n'existe nulle part : j'ai cru pourtant le découvrir dans un passage altéré du papyrus astronomique. Quand il y existerait réellement, ce mot n'en serait pas

D*BUDOXE DE CIIIDB. 899

moins aussi rare en grec que xquidiaiis en latin* Entre les parallèles, Eudoxe distinguait les deux

tropiques d'ëlé (Otpivéç), d'hiver (/£tueptvo;), et les deux eerclesarctiftie et antarctique^ qui limitent les parlies du ciel toujours visibles, et celles qui ne Tétaient jamais.

Des cercles de déclinaison Eudoxe ne connaît que les eo/uret, xôXeupei. Le méridien, fimfi^pivôç, paraît lui être resté inconnu . Âuiolycus ne le cite pas encore ^ Euclide est le premier qui le nomme expressément parmi les cercles de longitude.

Uipparque (odArcU., i, 5 et 5) ditqu'Eudoxe, dans son Miroir f avait déterminé l'inclinaison du ciel, fyxXi|uta roD xoVpou, précisément comme Aratus, c'est-àdire qu'il avait exprimé, par la proportion 5 : 3 le rapport du segment du tropique que détermine rhoriion. On tire de là, comme robserre Hipparque, une hauteur polaire de 41° (exactement 40" 54'). Eudoxe doit avoir fait cette observation à Cyzique, où il enseigna longtemps; Me convient élément à la Macédoine, où Aratus écrivait.

On doit penser qu'un bomme qui avait observé le dd depùis l'Égypte jusqu'à l'Hellespont savait que les cercles arctique et antarctique varient lorsqu'on s'approche ou qu'on s'éloigne des pâles; cependant les idées de haïUeur 4u pdfo, de elimaii iphirimU àe

* U Bi9t }M«is|iSpw^ ii*«auste pu non plm diml« npjnM aitrono»

Sm LES ÉCRITS ET LES TRAVAUX

la lerre, ne se trouvent nulle part clairement exprimées par lui. Mais nous verrons plus bas qu'on ne

peut lui refuser d'avoir cru la ierre sphériqiie .

Il indiquait la kauUur du pôle par le rapport de la parlîe visible des tropiques à la partie invisible, a II ne remarque nulle part, dit M. Ideler, à combiei} de (Ugréi ces deux cercles étaient éloignés de Véquatcur, eonséquemment quelle ëtaitj selon lui, l'obliquité de Técliptique. » La remarque est parfaitement juste, mais peut-être était-ce le lieu d'ajouter qu'Ëudoxe, dans le cas où il aurait parlé de l'obliquité de Fédip* tique, et il est difficile de croire qu'il ne l'eût point fait dans quelque endroit de ses écrits, n'aurait jamais dit de combien de degré$ ce oerole était incliné sur réquateur, et cela par la raison que, de son temps, le cercle n'était pas encore divisé en dcffrés. C'est un point jusqu'ici négligé par les historiens des mathématiques et de Tastronomie, et que M. Ideler a également passé sous silence. Ce point a cependant une asseï grande importance historique, puisqu'il n*e8t guère possible de parvenir h aucune détermination exacte en astronomie sans avoir une division constante du cercle. Nous avons montré, il y a déjà vingt-trois ans {Jmtmal des Savants, annéo 1817, décembre, p. 745 et suiv.), que l'usage de la division du cerole en degrés ne parait pas étro antérieur à Hipparque, et qu'avant ce grand astronome les angles n'étaient estimés que par le rapport des arcs avec la

cireoDDérence; d'où il résulte que les progrès àe Tas* Ironomie seîentiiiqiie oofueident reellemesi sfee

] 'époque de rintroduclion d'une division de la sphère et des iostnmieDts d*(^rf aiîon. l'on mil fait celte remarque, on aurait Mté hies des disputes et des

discussions inutiles.

2* De la sphère d Eudoxe.

Quant à Eudoxe, nous pouvons affirmer qu'il ne dÎTÎsait pas Tédiptiqne autrement qu^eo douze dodératémorie»^ et chacune d'elles autrement que dans le nombre de jours que le soleil meitait à hi parcourir. U divisait donc le zodiaque en 565 parties, comme encore maintenant les Chinois partagent Téclipiique en 565 1/4 parties. Si donc il avait exprimé quelque part l'obliquité de ce cercley il n'aurait pu le faire qu'à la manière d'Eudémus, contemporain d'Aristote, qui l'exprime par le côté du polygone à quinze faces {vcntMLiènayétw irAïupccv), ce qu'Anatolius (au m* siècle après J. C.) traduit par 24* (or e/mv /uiorpxi tUoaiziTGctpiç^ ap. Fabr., BibL Gr., 111, p. 464, Harles). Cette estimation en gros, il pouvait facilement l'obtenir par construction, au moyen de la plus grande ou plus petite hauteur du soleil mesurée à l oiiibre du gnomon. Nais on doit avouer que rien ne nous apprend s'il a fait réellement quelque essai pour y parvenir.

34i LES fiCRITâ BT LES TRAVAUX

En divisant l'édipLinue en douze dodécatémorim^ il ne distinguait pas, comme on Ta fait plus lard, les

rignei des eOMlellaUons {htfrepKrfJva: %at ^Xtirofma Cui^ta). Le nom d'éclipliquc lui est inconnu; ce qui n'est pas étonnant, ce mot n'ayant été en usage qu'à une époque fort récente. Selon M. Ideler, on le trouve, pour la première fois, dans Macrobe (m Somn. Scip., /, 15). 11 pouvait ajouter qu'on le rencontre vers la même époque dans le Cammeniaire de Servius (ad /Eneid.^Xy 216) ; et, en grec, dans Achilies Tatius (c. 25), ainsi que dans le petit traité imcomplet attribué fiiuBsement à Ératosthène et à Hipparque (ap. Petav.,

in UranoLy p. 2(34, D.) I^tà xal Tiha-AÔ;» , . T:^07xycp£v£rat

xcà exÀe(ffrlxoc^ Selon M« Ideler, Eudoxe se servait de radjectif Co^ioxoç, pris substantivement. Nous doutons

que Tenvploi de cet adjectif soit aussi ancien. Dans les nombreux passages où Hipparque s'en sert, même à Toccasion d*Eudoxe et d'autres, il nous parait que cet astronome traduit à sa manière l'expression différente dont ces auteurs se sont servis. Gela est certain, dn moins pour Aratus, qui ne connaît que radjectif Hat^toç (xJy.Xo;). L'nulour de l'écrit aristotélique de Mvndo emploie l'adjectif (uo^opeç (xux^Lo^^ 11, 6) ; maisEuclide connaît déjà le mot Cw^iaxoç, employé substantivement. {l^hienom.^ p. 560 ed. Greg.) Dans le papyrus astronomique, on se sert constamment des expressions 6

* Ce sens des deux adjectifs iMaxi; et ùXuimMC a éUi omis dans ia nooTelle éditiiMi du Thetaunu.

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DEUDOX£ DE Criiû£. 343

Tûv Çu^^Mv xvxXoç, signifiant tantôt le zodiaque, tantôt seulement VccliiJliijue. C'est très-probablement celle qu'employait Ëudoie. M. Ideler ne Tattribiie qu'aux écriiraiiis d*une époque récente, comme celle de 0 âià itÀQuw Tûv (o)0(biy, dont Ptolémëe se sert le plus souvent; elle est, au contraire, comme on voit, d*un usage assez ancien. Dans la dernière édition du The^aurm lùupxx (Ànecx^ on ne cite point d'auloritc pour remploi de ra4iectif ^«dJcaxô^ (kuhAo^). Outre EuclidCf le commentaire dllipparque sur Aratus en peut fournir une dizaiue. Je ne parle pas des auleurs plus récents, tels que Géminus, Achilies Tatius, Cléomède, i te. , où les exemples abondent.

La position qu'Aratus assigne (d'après Ëudoxe, selon Uîpparque), à la téte du Dragon, qu'il place dans Tarctique (y. 497), contient à la latitude de Cnide (56° 42 ); car y, l'étoile de cette constellation la plus éloignée du pôle, avait alors W 8' dedistanoe polaire. M. Idder conjecture qn*Eudoze avait peut- (Mre (xrit son ]liroir à Cjzique et ses Phénutnènes à Cnide ; mais il observe lui-même que cette hypothèse est détruite par la circonstance que, dans les Phéno^ mèueXf au dire d'ilipparque, le rapport des deux segments du tropique était : : 12 : 7, d'où l'on conclut une hauteur du pôle de 42* 15^

11 est donc encore plus sùr de rejeter toutes ces différences sur l'erreur des observations. On ignore comment Eudoxe avait obtenu ces résultats. H. Ideler