AP — AI) . (AP — AK) . (AP — AL

•• ■ =IP.KP.LP=j : . PM.P/w.Pp.

Donc le produit des trois segments PM.Pm.Pu, termi- . nés au point P et à la courbe, est au produit des segments analogues PI.PK.PL, dans le rapport constant du coefficientyà l’unité. Ces raisonnements s’étendent à une courbe d'un degré quelconque; et, par conséquent, le théorème est démontré. .

3. Dans le numéro précédent, nous avons supposé que l’abscisse AP rencontre la cçmrbe du troisième degré en trois points réels I, JÇ., L. Afin de généraliser cet important théorème, supposons actuellement que la rencontre n’ait •’ lieu qu’en un seul point réel A (ét, pour plus de simplicité, prenons ce point pour l’origine des coordonnées). D’après cette hypothèse , -x doit- s’évanouir en même temps que y, ■ èt par conséquent le dernier terme, de l’ équation est nécessairement de la forme

• fx 3 — gx 3 4 -hx =fx | X 3 — Çy —y j

Prenons de A vers P ( fig . 2 , PI. IF) une longueur Ad == -2- ^

' ■ , . . if

.çt , au point a, élevons sur AP la perpendiculaire

' al — 'jÆKîzJl.

il viendra

fx 3 — gx' -+• hx=f. AP. ^ aP ■+■ ab ^ rî= /. AP. AP; et puisqu’on a, par le théorème précédent, ,

PM . P m . Pft = fx 3 — gx’ ■+• hx.

PM . Vin . P fi AP.Âp’

-f— constante.

D’ailleurs, la valeur de la perpendiculaire ab est toujours réelle quand la transversale AP ne coupe la courbe qu'en un seul point; car, dans ce cas, les racines de l’équation du deuxième degré fx? — ■ gx -+- h sont imaginaires et, par suite, on a 4 ce qui rend réel le radical y 4 fb — g >. Donc on peut dire que si une transversale quelconque rencontre en un seul point réel une courbe du' troisième degré, le produit des ordonnées PM. Pm. P jx est au produit de l’abscisse AP, multipliée par le carré de la distance du point P à un certain point déterminé b, dans un rapport constant. Et il est facile de voir que ce point b ne change pas, lors mêmeque l’angle des coordonnées varie, pourvu que l’origine A et la transversale AP demeurent , invariables . • •

. ‘ 4. Avant de passer à d’autres propriétés des courbes géométriques, rappelons le leinme suivant, qui résulte des premiers principes du calcul des fluxions.

Lemme. — Les quantités x, y, z, u. . . étant des variables indépendantes, ainsi que les quantités X, Y, Z, V,..., si le produit des premières est à celui des secondes dans un rapport constant, on a (en employant la notation iicvylev-, nienne pour représenter les variations différentielles des variables) ;■ v •• "• “ •

• •— -4— — —4— — — j— — . . . cr ,

Rappelons encore qu’on a coutume d’appeler quantités réciproques l’une de l'autre celles dont le produit donne

l'unité, telle que ^ et x, etc.

5. Théorème. — Que, par un point fixe pris dans le plan d'une courbe géométrique , on mène une tranversale qui la rencontre en autant de points quelle a de dimensions ; qu’efi ces points on mène les tangentes à la courbe et que, par le point fixe , on tire une seconde droite de direction arbitraire, mais qui restera fixe : les segments,

, compris sur cette droite entre le point fixe et toutes les tangentes à la courbe, auront la somme de leurs réciproques (ou valeurs inverses) constante , quelle que soit la première transversale.

Cette, somme sera égale à celle des réciproques des segments compris, sur la même droite fixe, entre le point fixe et ceux où cette droite rencontre la courbe.

On doit avoir soin, en faisant cette somme, d'affecter de signes contraires les segments situés de côtés différents du point fixe. •»

Démonstration. —Soient (fig. 3) Plepoint lixe donné; PA, Prt deux transversales quelconques' issues de ce point, qui rencontrent la cqurbe chacune en autant de points

(*) Voici la démonstration du lcmme : on a , par hypothèse,

v . donc , en prenant Içs. dérivés , , . * . ’ *

f.s.x x.s y - h x.y. z -h. . .==/( Y.Z.tf. -fOLZ.Ÿ -4- X V.Z)

et si l’on divise, membre à membre, cette équation par la précédente , il vient */ , * . ' - . ' . , <•

. ( Nnifi du traducteur t '

A, B, C , . . . , et a, b, c , . . . , que celle-ci a de dimensions. Soient PK, PL, PM, . . . , P k, P/, - P/n,. . . , les segments interceptés, sur la transversale fixe PE,. par les tangentes AK, BL, CM,. , . , ak , bl, cm, . . . , on aura , disons-nous, la relation. . ‘

PK PL PM ’ P* VI Pm

et cette somme demeurera constante tant que le point P et la droite PE ne changeront pas.

En effet, supposons que les droites ABC, abc, se meuvent parallèlement à elles-mêmes , de telle sorte que leur point de concours P s’avance le long de la droite fixe PE. Comme on a, d’après le théorème du n° 2 ,

AP.BP.CP... —f. «P.ôP.cP, . ., on aura aussi, en vertu du lemme précédent , .. •

AP BP AP + BP

CP

CP

JP

by

èP

cP

cP

mais, puisque AP se meut d’un mouvement parallèle, il est facile de voir (*) que la fluxion AP de AP est à la ; fluxion EP de EP dans le même rapport que AP est à la

(*) En effet , les triangles semblables PAK , Y A' K donnent ' AP PK

- • •.' A'P' - PK'’ ‘

d'où ....

AP — A'P' PK — P'K- . . . ’ ' AP ~ PK

Or, le point A' ( fig . 4.) étant infiniment vpisin' du point A , ÀP — A'P' n’est autre chose que la fluxion AP de AP , et PK — P'K est la fluxion EPdoEP. Donc . .