Théorème H. — Si par un point S on mène dans le

fy8 . MÉLANGES V "

plan d’une courba géométrique deux transversales parallèles à deux axes fixes , les p induits des segments , réels ou imaginaires , formés sur ces deux droites entre le point S et la courbe, ont un rapport constant, quel que soit le point S.

Ce théorème est aussi démontré dans la Géométrie supé- ' rieure, article 480, page 34<j. Voici la démonstration de ' Maclaurin, qu’il est nécessaire de donner pour -l’intelligence de ce qui suit.

Dans toute équation algébrique (divisée préalablement par le coefficient de la plus haute puissance de l’inconnue), le dernier, terme, qui ne contient pas cette inconnue, est égal au produit des racines de l’équation. Ce principe d’algèbre donne lieu à la propriété importante des courbes géométriques qui vient d’être énoncée.

Supposons, par exemple, qu’il s’agisse d’une courbe du troisième degré , dont l’équation générale est y 1 — ( ax -+• b) y' -4-(cæ’ — dx+ é)y — fx* -k-gx* — hx -+- k =o;

soit Pl\I une droite {*) qui rencontre la courbe aux points M,m,p ; on aura (en vertu du principe d’algèbi;e cité plus haut)

PM . P/n , P (t = fx ’ — gx 7 -t - hx —

( * ) Celte démonstration suppose que In transversale PM ^parallèle à l’ato des ordonnées, est issue d’un point P pris sur l’axe des abscisses. Mais il ést aisé do voir qu'on peut prendre ce point dans toute autre position. Car, si- l’on rapporte la courbe à deux nouveaux axes parallèles aux premiers, et tels, que celui des abscisses passe actuellement par le point P, ce qui revient à Changer dans lequalion /eta:en (/ + a) et ( x ■+■ £ )’, le coefficient /de la plus haute puissance de x n’est pas changé , et , comme c'est le rapport de co coefficient à l’unité qui exprime celui des segments dont il s’agit, on voit que ce dernier rapport demeure invariable, quel que soit le point P, pourvu que les deux transversales restent toujours parallèles à deux axes fixes, ainsi que l’exige l’énoncé du théorème. (Voir à la fin de cette introduction', n tf tfi , comment le théorème actuel conduit très-simplement la. construction générale des tangentes aux courbes géométriques. )

, • * * (Noir du traducteur .) • 1

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• • DK GÉOMÉTRIE PU UK- 199

Soient -I, R, L les trois points où l’axe des abscisses AP rencontre la courbe, et A l'origine des coordonnées; Al,

’ AK et AL sont les trois valeurs de x qui répondent à y = o, c’est-à-dire les valeurs qu’ou déduirait de l’équation . fx s — gx * -h hx — Zr = o , ou , en d’autres termes , les racines de cette équation. O 11 a donc la suite d’cgalrtés :

— y- -t — y = (x — AI).^x— AK) . [x — AL)