PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

§ I. — Définitions et principes fondamentaux.

1 . Pour nous rendre compte du mouvement d’un corps, observons d’abord celui de l’un quelconque des plans qui le traversent ot qui lui sont invariablement fixés.

Soient ( fig . i , PI. 1 ) Q l’un de ces plans, etR la position qu’il occupe après un mouvement infiniment petit du corps. Ces deux plans se coupent suivant unc droite a'b' que nous appellerons la caractéristique du plan, suivant l’expression employée par Monge dans la théorie des surfaces développables. Cette droite, regardée comme faisant partie du v » ‘ • ■ ' ’ ■ . ,

(*) Mémoire présenté par M . Chasles à t’Institut de France , le a6 juin i8|3.

a MÉLANGÉS

plan R j occupait dans le plan Q la position ab , et le point de rencontre a de ces {leux droites est venu, après le mouvement, se placer en a', par exemple. Sur le milieu a du côte infiniment petit da\ élevons*dans le plan R la perpendiculaire «O,' et prenons sur cette droite le point O qui donne \

^ ^ angle aOa' = angle bab',

ou, ce qui revient au même, élevons sur le milieu de la

trajectoire bb' d’un autre point b, une seconde perpendiculaire qui coupera la première au point O. Enfin menons lajior.malc OO' au plan Q. Il est clair qu’une rotation du plan Q autour de l’axe OO' amènera la droite ab sur la caractéristique a b', et qu’ensuile (ou, si. l’on veut, simultanément) une rotation du plan Q autour de a'b' l’amènera dans la position précise qu’il occupe après le mouvement, c’est-à-dire en R. Donc le mouvement du plan se réduit à une rotation autour de la caractéristique, pendant que cette droite tourne, dans la position primitive du plan, autour d’un point quon peut considérer comme un point fixe, et que nous nommerons le foyer du plan. On verra plus loin que ce foyer, qui jouit d’une propriété importante dans le mouvement du corps, est aussi le foyer d’une parabole dont la considération n’est pas étrangère aux propriétés géométriques de ce mouvement. C’est donc à trois titres divers que cette dénomination lui a été. donnée.

On peut, d’après ce qui précède, dire en général que tout déplacement infiniment petit d’une figure plane dans l’espace, se réduit à une rotation du plan de la figure autour d’une droite de ce plan , pendant que cette droite tourne elle-même autour d’un point fixe sans sortir de la position primitive du plan. Et cette droite est précisément la caractéristique du plan, c’est-à-dire' l’intersection de ses deux positions infiniment voisines.

2 . Dans l’instant suivant, le planque nous considérons aura pris une nouvelle position infiniment voisine, en tournant autour de sa caractéristique, qui aura subi ellemême un mouvement de rotation autour du nouveau foyer du plan. Donc, si l’on conçoit toutes les positions du plan pendant le mouvement fini du corps, on voit que ces plans enveloppent une certaine surface développîblc , dont les caractéristiques, ou arêtes successives, sont précisément ■ les caractéristiques successives du plan mobile. M. Chasles nomme cette surface la développable trajectoire du plan

( Aperçu historique, page 407). Le plan roule sür cette surface pendant. le mouvement du corps, et, à un instant quelconque, il la touche suivant sa caractéristique actuelle. Cette remarque sera utile plus tard.

3 . Puisqu’on suppose que le mouvement du corps est infiniment petit, le foyer du plan décrit autour de la caractéristique un arc infiniment petit et normal au plan.

Il est évidemment seul dans ce cas. Ainsi ce qui distingue le foyer d’un plan de tous ses autres points, c’est que sa trajectoire est perpendiculaire au plan, ce qui n'a lieu jiour aucun autre de ses points.

4 . Tout autre point M (ftg. 1) a un double mouvement. Il décrit, dans le plan Q, un arc Mm autour du foyer, et, autour de la caractéristique, un arc infiniment petit mm', normal au plan Q. En résumé, il décrit le côté Mm' du triangle M mm'. Le rayon Ont est normal au plan de ce triangle. Si, du point M, on abaisse la perpendiculaire mn sur la trajectoire Mm', le plan O mn sera normal à cette trajectoire. Donc un plan étant considéré comme faisant partie du corps, les plans normaux aux trajectoires de ses points passent tous par un meme point de ce plan , qui est le point que nous venons d’appeler le foyer du plan.

5. Tous les points de la droite ab se meuvent dans le plan Q , et ce sont les seuls qui se trouvent dans ce cas. Donc dans le plan il existe une infinité de points dont les trajectoires sont, comprises dans le plan même; tous ces points sont situés en ligne droite , et cette droite est la caractéristique du plan.

6. Supposons que deux plans se coupent suivant une droite D. Les plans normaux aux trajectoires de leurs points passent respectivement par les deux foyers F, F' de ces plans (4); donc les plans normaux aux trajectoires des points de leur intersection D passent, à la fois, par ces foyers, et, par conséquent, par la droite A qui les joint. Il en est de même pour un troisième plan quelconque passant par D; car les plans normaux aux trajectoires de tous ces points passent par le foyer F" de ce plan. Or, les plans normaux aux trajectoires "des points de la droite D, con-r tenue dans ce plan, passent par A; donc le foyer F" est précisément le point où la droite A rencontre ce plan.

Réciproquement , chacun des points de A se meut normalement au plan qui contient cette droite et dont il est le foÿer (3). Tous ces plans, par hypothèse, passent par D. Donc, si l’on regarde A comme faisant partie du corps, les plaùs normaux aux trajectoires de ses points passent par la droite D. Enfin , regardons A comme l’intersection de deux plans quelconques. Chacun de ces plans a son foyer suc lui-même - , mais, d’après ce qui précède, ces deux foyers doivent être tels, que la droite qui les joint soit précisément D; donc ils ne sont autres que les points d’intersection de D par ces deux plans. Même raisonnement pour un nombre quelconque de plans passant par A. D’où l’on voit que :

Quand plusieurs plans passent par une même droite D, leurs foyers sont sur une deuxième droite A ; réciproquement, si plusieurs plans passent par cette droite A, leurs

foyers seront sur la première D. De sorte que ces deux droites jouissent de propriétés réciproques.

Cela signifie, en d’autres termes , que si Von considère une droite quelconque D comme faisant partie du corps', les plans normaux aux trajectoires des points de cette droite passeront tous par une même droite A; et, réciproquement, les plans normaux aux trajectoires des points de cette droite A, considérée comme faisant partie du corps, passeront tous par la droite D.

Ces deux droites prendront le nom de droites conjuguées! •

7. Quand plusieurs plans passent par un même point M, . leurs foyers sont situés de telle sorte, que le plan normal à la trajectoire du point M passe par tous ces foyers, puisque ce point appartient en meme temps à tous les plans (4). Donc ils sont tous dans ce plan, qui a M pour foyer puisque sa trajectoire est normale au plan. (3). Donc,

Quand plusieurs plans passent par un mémé point, leurs foyers sont tous dans un même plan, quia son foyer en ce point. ’ • ' .

8. Considérons deux droites conjuguées D, A, attachées au corps. Les plans normaux aux trajectoires de A passent par D (6); donc le mouvement de A se réduit à une rotation autour de D, et cette. rotation amène A à sa position définitive.' De même, les plans normaux aux trajectoires des points de D passent par A (6) ; donc le mouvement de D se réduit, à son tour, à une rotation autour de A. De sorte que, pour placer lé corps dans la position même qu’il occupera après le mouvement , il suffit de lui faire éprouver deux rotations successives ou simultanées autour des droites D, A. Ces droites conjuguées sont ainsi deux axes de rotations simultanées qu’on peut imprimer au corps pour effectuer son déplacement . On verra plus

loin (dans la section II, relative aux propriétés métriques) quelle est la valeur de chaque rotation, et quelles sont les relations générales, soit entre les grandeurs des deux rotations, soit entre les relations de leurs axes D, A.

9. Supposons que l’un de ces axes, D par exemple, soit à l’infini, et regardons cette droite comme la commune intersection de plusieurs plans parallèles. Le mouvement dè rotation de A autour de D se réduira évidemment à une translation de A, parallèlement à elle -même, et cette translation l’amènera en X. Supposons que ces deux droites A et D (à l’infini) fassent partie d’uti corps solide qui a reçu un mouvement infiniment petit déterminé. On voit que ce mouvement se réduit à une translation parallèle et à une rotation autour d’une droite X. Ce mouvement total, déterminé par des causes quelconques, est indépendant de la position que la droite D occupe à l’infini, c’est-à-dire de la direction des plans parallèles qu’on a choisis dans le corps pour étudier son mouvement. Et, si l’on prend une autre série de plans parallèles, auxquels correspond une autre intersection D', située à l’infini, et une autre ligne de foyers A', il faut que cette droite A' soit telle, que le mouvement de translation parallèle, auquel se réduit sa rotation autour de D', l’amène dans la position précise qu’occupe X, c’est-à-dire dans celle où a déjà été amenée la droite A, sans quoi le mouvement de rotation, qui se fait ensuite autour de cette droite ainsi transportée, ne communiquerait pas au corps le mouvement qu’on y observe. Done les droites A et A' sont parallèles. Il résulte d’ ailleurs de ce qu’on vient de dire que les trajectoires des points de chaque droite A sont .toutes parallèles entre elles, puisque ces points sont les foyers de plans parallèles entre eux (3); mais il est clair que cette commune direction fait avec celle des trajectoires des points d’une autre droite' A' un angle égal à celui des

DE GÉOMÉTRIE PURE. "j

deux séries xle plans auxquelles elles se rapportent.. Donc •enfin,

Quand plusieurs plans sont parallèles entre eux, leurs foyers sont sur une droite qui est toujours parallèle à un même axe, quelle que soit la direction commune des plans. Cette droite jouit de la propriété que les trajectoires de tous ses points sont parallèles entre elles, de sotte que, dans le déplacement du corps, la droite n'a qu'un mou ventent de translation parallèlement à elle-même.

10. On conclut de là directement, et sans nouvelle démonstration, que:

Si tous les plans sont perpendiculaires à la direction de cette droite, leurs foyers seront sur une certaine droite X , parallèle à celle-là, et dont les trajectoires de. tous les points seront dirigées précisément suivant celte droite X; de sorte que cette droite glissera sur elle-même pendant, le mouvement du corps. Pendant ce glissement., le corps ne pourra que tourner autour de X. Cette droite est appelée l'axe de rotation du corps ( axe spontané glissant, d’après M. Poinsot). On peut donc dire que tout déplacement infiniment petit d'un corps solide libre se réduit à un mouvement de rotation autour d'un axe, qui, pendant celte rotation, glisse sur lui-même. De sorte que le mouvement du corps n'est point autre chose que celui d’une vis dans son écrou.

11 . Cette image saisissante du mouvement le plus général que puisse prendre un corps dans l’espace absolu, se trouve également présentée par M. Poinsot, dans le § 10 du. chapitre 1 er delà Théorie nouvelle de la rotation des corps. Cet illustré géomètre ajoute : « «Pendant ce mouveu* ment, tous les points du corps décrivent, sur des cy- » liudres concentriques, de petits arcs d'hélices qui ont v toutes le même .pas. Dans l’instant suivant, c’est une

» autre vis, d’un autre axe et d'un pas différent, et ainsi » de suite d’un instant à l’autre-, d’où l’on voit comment » se forment les courbes simultanées que décrivent tous les'

» points du corps, et le long desquelles ils se meuvent » comme en autant de canaux curvilignes où ils seraient » enfermés. »

12. Puisque le mouvement instantané du corps n’est autre chose que celui d’une vis dans son écrou , on peut supposer que cette vis soit fixée- au corps. Un plan quelconque du corps coupera la surface de la vis suivant une courbe. Les hélices, qui passent par les différents points de celte courbe, sont précisément les trajectoires de ces points; et, comme ces points sont dans un même plan du corps en mouvement, les plans normaux à ces trajectoires passent par un même point de ce plan (4). Donc les plans normaux aux hélices qui passent par les points d'intersection d’une vis (à filets triangulaires ou carrés, indistinctement ) par un plan, passent par un même point, .situé dans le plan coupant. Ce qui exprime une propriété remarquable de la vis. [Aperçu historique, p. 679 .) Reve-* nons à notre théorie.-

13. La caractéristique d’un plan est tangente h la trajectoire d’un de ses points. Ceci résulte de la seule inspection de la fig. 1 , où a'b'. est tangente à ]a trajectoire au' du point a. Il est de même évident que cette droite est la seule qui jouisse de cette propriété.

Réciproquement, M/n'étant une trajectoire quelconque, si l’on prend sur sa direction un point p' situé, pendant l’instant précédent, en p , les deux droites M p, m'p 1 déterminent un plat» pm'p' , dont caractéristique m'Mp' est'précisément la tangente à la trajectoire Mm! du point M. Donc ,

La tangente à la trajectoire d’un point jouit de la

DE GÉOMÉTRIE PURE. g

propriété d ’ être la caractéristique d’un plan; et, réciproquement, la caractéristique d’un plan est toujours tangente à la trajectoire d'un de ses points.

14. Si-, par le foyer du plan, on mène la normale au plan , tous les points de cette normale n’ont d’autre mouvement qu’une rotation autour de- la caractéristique dans un plan normal à cette droite. Donc elle est la caractéristique de ce plan (13) ; les plans normaux aux trajectoires de ses points passent tous par la caractéristique du premier plan , et réciproquement; cette normale et la caractéristique sont deux droites conjuguées (6). Si l’on fait attention que la normale au plan est tangente à la trajectoire du foyer (3), on peut dire que la tangente à la trajectoire d'un point a pour conjuguée la caractéristique du plan dont ce point est le foyer.

Il faut avoir soin de remarquer qu’en général deux droites conjuguées ne sont tangentes à la trajectoire d'aucun de leurs points, et ont des positions variées l’une par rapport à l’autre. Celles qui nous occupent dans ce paragraphe sont, au contraire, tangentes respectivement à la trajectoire d'un de leurs points, et placées de telle sorte que, par chacune d’elles, on peut mener un plan normal à l’autre. Ce sont donc des droites conjuguées d'une espèce très-partitulière ; elles jouissent de propriétés nombreuses qu’il faut bien se garder d’attribuer à deux droites conjuguées quelconques. INous verrous qu’elles jouent un rôle très-important dans cette théorie.

§ 11. — Analogie r/ui existe entre cette théorie et celle clés figures corrélatives,. — Mouvement d'une surface courbe.

15. Nous venons de démontrer que, quand un corps solide libre 'éprouve un mouvement infiniment petit, les plans normaux aux trajectoires des points du corps situés

io MÉLANGES *

dans un même plan, passent tous par un même point ; et que les plans normaux aux trajectoires des points d’une droite, passent tous par une autre droite. Disons que, dans le premier cas, ces plans enveloppent un point, et que, dans le second, ils enveloppent une droite.

Si le point qui, dans le premier cas, peut être regardé comme engendrant le plan en s’y mouvant, et qui engendre la droite dans le second, si ce point mobile et directeur appartient .à une surface courbe A sur laquelle il se meut (comme point générateur), le plan normal à sa trajectoire'’ touchera une seconde surface courbe A', et si ce point prend sur A toutes les positions possibles, le plan normal à la trajectoire de chacunç de ses positions successives (pendant le mouvement infiniment petit de la surface A) enveloppera la surface A'.

Supposons que la surface A soit géométrique et du degré m. Une transversale D menée arbitrairement la rencontre en m points ; à chacun de ces points correspondra un plan (normal à la trajectoire de ce point) langent à la surface A'; ces plans tangents qui seront en nombre /n, passeront tous par que même droite A (6) conjuguée de la transversale. ,l.a surface A' sera donc géométrique et admettra m plans tangents, passant par une même droite quelconque. ...

D’après cela, quand une figure, de forme quelconque, éprouve un déplacement infiniment, petit, les plans normaux aux trajectoires de ses points enveloppent une deuxième figure qui jouit exactement de toutes les propriétés de celles que M. Chasles a nommées figures corrélatives dans son si perçu historique , et dont la théorie se • trouve exposée, soit dans le beau Mémoire qui fait suite à cet ouvrage, pour ce qui regarde les .figures à trois dirnen-' ■siens, soit dans le chapitre XXVI de la Géométrie supérieure, pouf ce qui regarde les figures planes.

plgitized By Gocgle^

DE GÉOMÉTRIE PURE. u

Mais ici les figures ont une dépendance particulière qui n existe pas dans la théorie générale des figures corrélatives. C’est que chaque plan de la nouvelle figure passe par le point correspondant de la figure proposée. Ceci résulte évidemment des théorèmes (G), (13) et (14), démontrés ci-dessus.

De celte réciprocité découlent les propositions suivantes :

Quand une surface courbe éprouve un mouvement infiniment petit, les plans normaux aux trajectoires de ses points enveloppent une deuxième surface courbe, qui jouit de cette propriété que, si elle était primitivement tracée, et. quelle participât au mouvement de la première surface, les plans normaux aux trajectoires de ses points envelopperaient cette première surface. De sorte que les deux surfaces jouissent de propriétés réciproques, l’une par rapport à l'autre. On peut encore dire que la deuxième surface est le lieu des foyers des plans tangents à la première, et que celle-ci est le lieu des foyers des plans tangents à la deuxième.

Si la première surface est géométrique, la seconde le sera aussi, mais, en général, d’un degré différent [*). Le nombre des plans tangents, réels ou imaginaires, qu’on pourra mener à chaque surface par une même ligne droite, sera égal au nombre de points, réels ou imaginaires, dans lesquels l’autre surface sera rencontrée par une même ligne droite.

11 suit de. là que, si la première surface est du second degré, la deuxième sera aussi du second degré. Ainsi , quand une surface du second degré éprouve un mouve-

(*) Site degré de la première surface est m, ectui de lu seconde sera, en général et au plus , m(ni — i ). (Voir, pour la démonstration de ce principe, V Analyse des transversales , de M. le général Poncelet, Mémoire inséré d»ans le Journal de Mathématiques de Crelle, année i83a, pages 392 et sui~* vantes.)

ment infiniment petit, les plans normaux aux trajectoires de ses points enveloppent une seconde surface du second degré ; et, si celle-ci était tracée primitivement et participait au mouvement de la première, des plans normaux aux trajectoires de ses points envelopperaient cette première surface.

Supposons qu’on coupe une surface du second degré par un plan ; aux points de la conique d’intersection correspondront des plans tangents à la seconde surface, et, comme tous ces points sont dans un même plan, tous ces plans passent par un même point. Donc les plans normaux aux trajectoires des points d’une conique, qui éprouve un déplacement infiniment petit, enveloppent un cône du second degré, qui a son sommet en un point du plan de la conique.

Ce point est précisément le foyer du plan de la conique. En effet, les plans tangents au cône sont tangents à la seconde surface, et ils passent tous par un même point. Donc, tous ces plans ont leurs foyers situés dans un même plan (7), dont le foyer est en ce point. Or ccs foyers sont les points de la conique. Donc le sommet du cône est le foyer du plan de la conique.

Réciproquement, quand un cône du second degré éprouve un déplacement infiniment petit, les plans normaux aux trajectoires de ses points sont tous tangents à une conique dont le plan passe par le sommet du cône.

En effet, regardons ce cône comme circonscrit à une surface du second degré A', dont. la surface corrélative est A. Au sommet du cône correspond le plan normal à sa trajectoire, c’est-à-dire un plan passant par son sommet; à tous les plaiis tangents au cône correspondent des points situés dans le plan en question (7). Or A étant le lieu des foyers des plans tangents à A', ccs points sont sur A; ainsi la conique (C) , intersection de la surface A par le plan

DE GÉOMÉTRIE PURE. i3

(juî passe par le sommet du cône, correspond à ce cône. A une arête du cône, droite d’intersection de deux plans tangents consécutifs, correspond la droite de jonction de deux points consécutifs de la conique, c’est-à-dire une tangente à cette conique. Donc, enfin, aux points du cône correspondent des plans menés par les tangentes à la conique, e’est-à -dire des plans tangents à cette courbe. Or dire que ces points correspondent, aux points du cône, c’est dire qu’ils sont les plans normaux aux trajectoires „ de ces points. Ce qui justifie l’énoncé du théorème.

Supposons, pour donner un dernier exemple qui nous sera utile plus loin, que la première figure soit une courbe à double courbure. A chacun de ses points correspondra un plan dans la figure corrélative, et cette figure sera une surface développable, enveloppe de tous ces plans. A chaque tangente à la courbe correspondra (comme nous tenons de le voir pour le cône du deuxième degré et la conique) une droite qui sera l’intersection de deux pians tangents à la développable, infiniment voisins , c’est-à-dire une arête ou caractéristique de cette surface. A un plan mené par une tangente à la courbe, correspondra un point de la caractéristique correspondante à cette tangente, etc. [Aperçu historique, page 592.)

Si la courbe à double courbure est du troisième ordre , ainsi’ que cela se présente dans la théorie qui nous occupe, la développable sera du quatrième degré. Car cette courbe pouvant être regaidée comme l’ intersection de deux hyperboloides à une nappe qui ont une arête commune , la surface corrélative (c’est-à-dire la surface enveloppe des plans normaux aux trajectoires des points- de la courbe) sera la surface développable circonscrite à deux hÿperboloïdes ayant les mêmes plans tangents suivant une génératrice commune. Or cette surface est du quatrième degré. (V oir SVJémoi re de M. Chasles sur te? surfaces réglées

i4 MÉLANGES

du deuxième degré, n° 69. ) Ajoutons que cette développable du quatrième degré est telle, qu’on ne peut lui mener que trois plans tangents par un point quelconque puisqu’elle a' pour corrélative une courbe à double courbure du troisième ordre, laquelle ne peut être coupée qu’en trois points par un plan quelconque. Cette remarque nous sera utile plus tard. - ■ *

§ III. — Propriétés relâches h deux droites conjuguées.

16. Si la droite D est normale à là trajectoire d'un de ses points, tous ses autres points auront leurs trajectoires normales à cette droite. De sorte que la droite D sera elle-même sa conjuguée.

En effet, regardons cette droite comme située dans le plan qui passe par elle et par la trajectoire à laquelle elle est normale. Le plan normal à la trajectoire coupera celui-ci suivant la droite D elle-même. Or, d’après ce qu’on a vu (1)', ce second plan passe par le foyer du premier. (Sur la fig. i , la droite D est Où', normale à la trajectoire an' du point a'j le premier plan est le plan Q , et le second est lé plan n'OO' qui passe par le foyer O, par la normale 00' et par la droite Oa'.) Donc ce foyer est situé sur D. Considérons maintenant le plan normal n'OO'. Son foyer sera le point a', puisqu’il est normal à la trajectoire de ce point (3). Ainsi, deux plans différents, .savoir Q et a'OO', passant par une même droite D, ont leurs foyers sur cette droite. Donc D est à elle-même sa conjuguée (6).

- Soit maintenant un autre point n de D. Regardons-le comme faisant partie d'un plan quelconque passant par D. Ce plan aura son foyer sur la conjuguée de D (6) , c’est-àdire sur D elle-même. La trajectoire du point n est la résultante de deux rotations , l’une autour du foyer et l’autre autour de la caractéristique de ce plan. Ces deux rotations sont perpendiculaires à D, l’une parce qu’elle s’effectue

DE GÉOMÉTRIE PURE. i5

autour d’un point de 13, l’autre parce qu’elle est normale au plan qui contient D. Donc, D est normale au plan des deux composantes, et, par suite, à leur résultante qui est la trajectoire du point n.

Autrement. I) est, par hypothèse, normale à la trajectoire d’un de ses points. Cette droite étant regardée comme faisant partie d'un plan, il en résulte que cette trajectoire est la résultante de deux rotations, l’une normale au plan, l’autre qui a lieu, dans le plan, autour du foyer de ce plan (3). Puisque D est normale à cette trajectoire résultante, elle l est au plan des eomposantes, ce qui signifie qu’elle passe par le foyer de ce plan quelconque (cela résulte aussi immédiatement de ce qu’elle est à elle-même sa conjuguée) , et , cela étant , il suffit d une simple inspection de la Jig. i, pour voir qu’elle est normale aux trajectoires de tous ses autres points.

17. Il suit de là, sans plus de démonstration, que, quand une droite de longueur constante se meut dans l'espace, de manière à être toujours normale à la courbe décrite par l'une de ses extrémités , elle est normale aussi à la courbe décrite par son autre extrémité. Et si , sur une surface engendrée par une ligne droite, on trace deux courbes qui coupent à angle droit toutes les génératrices, les segments compris sur ces droites entre les deux courbes seront tous égaux entre eux.

18. Supposons qu’une droite L s’appuie, en m et en n , sur deux droites conjuguées A, D. Le point n* n’a aucune rotation autour de A, puisqu'il est' sur cet axe. Donc il décrit le premier élément d’une circonféronce qui sert de base à un cône de révolution dont D est l’axe et n le sommet. nui, arête de ce cône, est donc normale à l’élément de ce cercle, c’est-à-dire à la trajectoire du point m. Même raisonnement à l’égard de n. Donc (16) toute droite qui

’ ' ' Digitizted by

■ 6 MÉr, ANGES

s'appuie sur deux droites conjuguées, jouit de la propriété d’être normale aux trajectoires de tous ses points.

19. Pi ■enons doux droites conjuguées D, A, et deux autres droites conjuguées D’, A'. Supposons qu’une droite quelconque L s’appuie sur les trois premières, je dis qu’elle s’appuiera sur la quatrième. En elFet, puisque la droite L s’appuie sur D et A , elle est normale aux trajectoires de tous ses points (18). Donc le plan normal à la trajectoire du point où elle s appuie sur D', passe par cette droite ellemême. Mais ce plan -passe par A', conjuguée de D'-, donc la droite L s’appuie sur A'.

Or, quand quatre droites sont telles, que toute droite qui s’appuie sur trois d’entre elles s’appuie aussi sur la quatrième, ces quatre droites sont quatre génératrices d’un même mode de génération d’un hyperboloïde à une nappe. Donc deux droites conjuguées D, A, et deux autres conjuguées quelconques D', A’, sont toujours quatre génératrices d'un même mode de génération d’un hyperboloïde à une nappe.

20. Par un point quelconque M de l’axe de rotation X (10), menons, perpendiculairement à cet axe, un plan qui coupe en m et en « deux conjuguées quelconques D, A. La droite à l’infini de ce plan est la conjuguée

de l’axe X de rotation. Joignons par une droite les points M ‘ ' et m\ cette. droite rencontre la droite a- l’infini du plan. Donc elle s’appuie sur deux conjuguées, savoir : X et l’infini. Or elle s’appuie en ni sur D; donc (18) elle rencontre aussi A, conjuguée de D. Ainsi tout plan perpendiculaire h l'axe de rotation rencontre les deux droites D,

A et l’axe lui-même, en trois points qui sont en ligne droite. ... ..

Eu faisant varier le point M, la droite mn change de position dans l’espace 5 mais elledemeure toujours parallèle

à un plan directeur, normal à l’axe X, et comme elle ne cesse pas de s’appuyer sur les deux droites fixes D, A, elle engendre un paraboloïde hyperbolique.

21 . Cette génératrice mobile nin fait avec chacune des deux droites 1), A, un angle qui varie en même temps qu’elle. Parmi toutes ces positions, il en est uneL qui est perpendiculaire sur A; c’est celle qui mesure la plus courte distance de A et de l’axe X. Or les droites D , A, X , sont trois génératrices d’un même mode de génération d’un paraboloïde; donc elles sont toutes trois parallèles à un second plan directeur ( Mémoire sur les surfaces engendrées par une ligne droite, n°71). Donc L, perpendiculaire à deux de cés génératrices, est normale à ce plan directeur, et, par suite, à toutes les parallèles à ce plan, c’est-à-dire à D. Or elle rencontre D. Donc, enfin , L est la plus courte distance des deux conjuguées D, A, et c’est en même temps sur elle que se mesure la plus courte distance de chacune de ces deux droites à l’axe X. Ainsi .

La droite par laquelle se mesure la plus courte distance de deux droites conjuguées D, A, rencontre l'axe de rotation et lui est perpendiculaire.

22. Quand deux droites D, D' se rencontrent, le plan normal à la trajectoire de leur point d’intersection passe à la fois par leurs conjuguées A, A' (6). Donc ces deux conjuguées se rencontrent aussi, puisqu’elles sont dans un même plan. On conclut de là que :

Quand plusieurs droites D , D', etc., passent par un même point, leurs conjuguées A, A', etc., sont dans un même plan, qui est normal à la trajectoire de ce point. Réciproquement, quand plusieurs droites sont dans un même plan, leurs conjuguées -passent toutes par un même point qui est le foyer de ce pian.