Quand plusieurs droites sont parallèles entre elles

elles passent par le. même jMiint à l’infini ; donc les conjuguées sont dans un même plan normal à la trajectoire de eç point (22). Or cette trajectoire, qui est la résultante d’un mouvement de translation suivant l’axe X et d’un mouvement de rotation autour de cet axe, se réduit à un arc de cercle situé dans un plan perpendiculaire à l’axe, et dont le centre est sur l’axe même, parce que le mouvement de translation est, pour ce point, infiniment petit par rapport à l’autre; et cet arc de cercle, d’un rayon infini, est simplement une droite 4inie située dans le plan normal à l’axe. Donc le plan normal à cette trajectoire est parallèle à l’axe de rotation. Ainsi ,

Quand plusieurs droites sont parallèles entre elles, leurs conjuguées sont dans un plan parallèle à l'axe de rotation.

24. Supposons qu’une droite D soit située dans un plan perpendiculaire à l’axe de rotation; les plans normaux aux trajectoires de tous ses points passent par le foyer de ce plan en même temps qu’ils passent par sa conjuguée A. Or ce foyer est le point où l’axe perce le plan (9 et 3) ; donc A passe par ce point.

Réciproquement, si une droite A rencontre l’axe de rotation, les plans normaux aux trajectoires de tous ses points Ct le plan normal à la trajectoire du point de rencontre passent par une même droite D. Or ce plan est normal à l’axe (9); donc D est contenue dans ce plan.

- vV"- *■

Donc,

Quand une droite est située dans un plan perpendiculaire à l’axe de rotation, sa conjuguée passe par le point où le plan rencontre cet axe. Réciproquement , si une droite rencontre l'axe en un point, sa conjuguée est située dans le plan mené par ce point peipendiculairement à l’axe.

25. Quand une droite est tangente à la trajectoire d’un de scs points, sa conjuguée est aussi tangente à la trajectoire d'un de ses points.- Ces deux droites sont à angle droit, et la droite qui mesure leur plus courte distance est celle qui joint, les deux points aux trajectoires desquels elles sont tangentes.

Quand une droite est la caractéristique d'un plan , sa conjuguée est aussi la caractéristique d'un plan ; ces deux plans sont à angle droit; le foyer du premier est sur la deuxième droite , et le foyer du second est sur la première droite. La droite qui joint ces deux foyers est celle qui mesure la plus courte distance des deux droites.

Ces deux théorèmes n’ont pas besoin de démonstration. Us résultent évidemment des n os 13 et 14, et de la simple inspection de la fig. i .

26. Soient m et n les points où deux droites conjuguées D, A, percent un plan quelconque, et soit L la caractéristique de ce plan. La droite tnn rencontre L en un certain point; donc, puisque cette droite qui s’appuie sur deux droites conjuguées D, A, s’appuie en même temps sur une troisième L, elle doit s’appuyer aussi sur la conjuguée de L (19). Or cette conjuguée est la normale au plan meuée par le foyer (14), et elle ne coupe le plan qui contient mn qu’en ce seul point; donc mn passe par le foyer du plan. Ainsi

Deux droites conjuguées rencontrent un plan quelconque en deux points qui sont toujours en ligne droite avec le foyer du plan.

27. Prenons deux droites conjuguées D, A et un plan M quelconques. La caractéristique de ce plan et la normale menée par son foyer sont également deux droites conjuguées (14). Donc ces deux couples de droites conjuguées sont quatre génératrices d’un même mode de génération d’un hyperboloïde à une nappe (19).

Cela posé, les deux droites D, A rencontrent le plan M en deux points d , d qui sont en ligne droite avec le foyer F de ce plan (26). Soit c le point où la droite r/d rencontre la caractéristique L du plan M. Par le foyer F et parla normale au plan , menons un plan M' normal à la caractéristique. Ce plan M' aura pour foyer le point F' où il coupe L (14), et il aura pour caractéristique la normale au plan

Soient d', d' les points où les droites D, A rencontrent le plan M', et d le point où la droite d 1 à' rencontre la caractéristique de ce plan. Culte droite passera par le foyer

Les droites Fc, c' F' s’appuient sur quatre génératrices de l’hyperboloïde. Donc les quatre points F, d , d, c ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points homologues d, d 1 , d', F' ( Mémoire (*) sur les surfaces du deuxième degré engendrées par ime ligne droite , n° 27). * ■

Projetons orthogonalement les points d , d', d', F' sur le plan M. On aura les quatre points F", d, d", F', dont le rapport anharmonique sera encore le même.

Ainsi , sur les deux droites F c , FF', on a deux séries de quatre points correspondants et qui ont leurs rapports anharmoniques égaux, savoir, F, d, d, c sur la première, et F, d"., d", F' sur la seconde. Or les deux homologues F, F' coïncident-, donc ( Géométrie supérieure , n° 38) les droites dd", dd", cF' concourent en un même point. Or, cF' est la caractéristique L du plan M, et les droites dd", dd"

(*) Je ne reproduirai pas ici le texte des diverses propositions de ce Mémoire sur lesquelles je m'appuie ; cela m’entraînerait à trop dd détails , parce qu’il faudrait parfois reprendre les choses de loin. Mais je ne puis qu’engager vivement le lcetcur à étudier cet écrit, où se trouve un ordre de questions très-propres à montrer les usages du rapport anharmonique.

DK GÉOMÉTRIE PURE. ai

sont les projections orthogonales sur ce plan des conjuguées D, A. Donc

Deux droites conjuguées quelconques étant projetées orthogonalement sur un plan quelconque , leurs projections se coupent, en un point de la caractéristique de ce plan.

Construction etc l'axe de rotation.

28. Soient a , b, c trois points du corps. Les plans menés par les points a , b perpendiculairement aux trajectoires de ces points, se couperont suivant une droite qui sera la conjuguée de la droite ab. On cherchera la droite qui mesure la plus courte distance de ces deux droites ; elle s’ appuiera sur taxe de rotation X et lui sera perpendiculaire (21). On déterminera de meme, avec les deux points a, c ou b, c, une autre droite jouissant des mêmes propriétés. L'axe X sera donc déterminé.

Celte construction, indiquée par M. Chasles, n’a pas besoin de justification après ce qui précède.

Propriétés de l’ hyperboloïde à une nappe.

29. Les propriétés dés systèmes de deux droites conjuguées donnent lieu à des propriétés nouvelles de l’hypcrboloïde, propriétés dont la démonstration directe ne serait peut-être pas sans dilliculté.

En effet , deux systèmes de deux droites conjuguées D, A et iy, A' forment quatre génératrices d’un même mode de génération d’un hyperboloïde. Réciproquement, quatre génératrices d’un hyperboloïde peuvent être prises deux à deux , et être regardées comme formant deux systèmes de deux droites conjuguées relativement au mouvement infiniment petit d’un corps solide.

Soit donc un hyperboloïde à une nappe, et ne considérons que les génératrices d’un même mode. Que, dans un plan transversal mené arbitrairement, on mène, par un

même point, des sécantes dont chacune rencontrera deux génératrices; 'ces génératrices, ainsi conjuguées deux à deux, jouirontde touteslespropriétés de deux axes conjugués, de rotation d’un corps. Par exemple, tout autre plan transversal rencontrera deux génératrices conjuguées en deux points qui seront en ligne droite avec un certain point de ce plan. (Ce point et celui d’où partent les sécantes jouent le rôle de foyers de leurs plans respectifs.)

La droite qui mesurera la plus courte distance de deux génératrices conjuguées passera par un même axe auquel elle sera perpendiculaire, etc.

La condition à laquelle est assujettie la conjugaison des génératrices deux à deux mérite d’être expliquée. Elle est une conséquence du théorème du n° 26. On peut bien conjuguer arbitrairement deux génératrices D, A et deux autres génératrices D', A'; mais alors toutes les autres se trouvent conjuguées (Lune manière déterminée. En effet, menons un plan transversal M , qui coupe ces quatre droites en d , à, d', à' ; les droites dâ, d'd' se rencontrent en un point F, qui est 1 e foyer du plan , ou du moins qui en joue ici le rôle , et par lequel doivent par conséquent passer toutes les autres droites analogues.

, Réciproquement, on peut prendre pour foyer du plan M un point quelconque de ce plan; mais alors toutes les droites dà, d'd', devant passer par ce point, conjuguent les génératrices deux à deux d’une manière qui n’a plus rien d’arbitraire; ce qui justice le procédé indiqué parle texte. •

§ IV. — Propriétés relatives aux trajectoires des points et aux caractéristiques des plans d’un corps en mouvement.

30. Prenons une droite dans deux positions infiniment voisines. Soient a, b, c, d, etc., des points de cette droite,

. qui sc trouvent transportés en a 1 , b', d, d', etc. Par le

point a', menons une parallèle à la première position de la droite, et soient a.', b", d', d", etc., les positions des points et, b , c , d, etc., sur cette parallèle. Les droites b b", cc JI , dd", etc., sont parallèles entre elles; il en est de même des droites b' h", de", d'd", etc.; donc les plans b b' b", ede", dd! d" , etc., sont parallèles entre eux et à au! . Donc les trajectoires au', bb' , cd , etc., ou bien les tangentes à ces trajectoires sont parallèles à un même plan.

Donc les tangentes aux trajectoires des différents points d’une droite forment wi paraboloïde hyperbolique.

31. Chacune de ces tangentes D est la caractéristique ’d’un plan (13), auquel sa conjuguée est normale (14) et qu’elle perce en un point F qui est le foyer du plan (25). La droite qui mesure la plus courte distance de ces deux droites conjuguées, est comprise dans le plan M, et elle rencontre A au foyer F (25). En outre, cette plus courte distance rencontre l’axe de rotation, et c’est également sur clleque se mesure la plus courte distance de cet axe aux deux droites (21). Ainsi la suite des foyers des plans qui correspondent aux tangentes ou trajectoires consécutives , considérées comme étant des caractéristiques, peut s’obtenir en menant par l’axe de rotation [qui est normal au plan directeur du paraboloïde hyperbolique dont les conjuguées D, A sont des génératrices (20)] toutes les droites dont chacune mesure la plus courte distance entre cet axe et chaque génératrice du paraboloïde, et en prenant les pieds de ces droites sur chacune des génératrices.

Or on démontre, à l’article 79 du Mémoire sur les surfaces réglées du second degré, que toutes ces plus courtes distances forment un second paraboloïde, et que leurs pieds sur les génératrices du premier sont sur une courbe à double courbure du troisième ordre.

Tout cône qui passe par cette courbe à double courbure, et qui a son sommet en l’un de ses points, est du

second degré. Car tout plan mené par son sommet ne coupe la courbe qu’en deux autres points, et, par conséquent, ne coupe le cône que suivant deux arêtes , ce qui prouve qu’il est du second degré.

Les plans dont les tangentes aux trajectoires des points d’une droite sont les caractéristiques , ne sont autre chose que les plans normaux aux trajectoires des foyers de ces plans. Donc ils enveloppent une ligure corrélative de celle de ces foyers (15). Or celle-ci est une courbe à double courbure du troisième ordre; donc la première est une surface développable du quatrième degré. Un point de la courbe correspond à un plan tangent à la surface; le cône qui a son sommet en ce point et qui a la courbe pour base, correspond à la courbe suivant laquelle le plan, tangent coupe la surface. Or le cône est du second degré/, donc la courbe est une conique. Ainsi on a ces deux théorèmes :

Chacune des tangentes aux trajectoires des points (T une droite est la caractéristique d'un plan; tous ces plans enveloppent une surface développable du quatrième degré , cl ils ont leurs foyers sur une courbe à double courbure du troisième ordre.

Tout plan tangent à la surface développable la coupe suivant une conique; et tout cône qui passe parla courbe à double courbure et qui a son sommet en un de ses points, est du second degré.

En remarquant que la caractéristique d’un plan se meut dans ce plan , on peut donner au premier de ces deux théorèmes l’énoncé suivant :

Quand un corps est en mouvement , les tangentes aux trajectoires des points cf une droite se meuvent , pendant un instant, du mouvement , dans des plans qui forment une- surface développable du quatrième degré. (Aperçu historique , page 4°7-)