I 1 . . TT
siii'9 — -siir 3 :p 4- — sur o(p — • ■=-.-, (1)
II ÎT
cos- ® — - cos"' 3 2. + — cos' 5 9 — • • = — , (2)
que j'ai tirées d'un Mémoire de Lobatto (*).
Si on les ajoute membre à membre, on trouve ce résultat inexact
Pour découvrir où gît l'erreur, posons
sin'ct — - sin* 3(p + — sin'09— • • • =A, (3)
COS* 9 — -cos' 3(p + — cos'oi— • • • =B; (4)
ou , ce qui est équivalent :
- — cos 2 © — — cos 6 9 + — cos 10 © — ■ • = 2 A, 4L '3 ' p J
il 4-1 cos 2 'p ^ cos 6 (p + -:rCOS 10 9 — • -=28.
Or, lorsque l'arc x est compris entre — -et + ■^(exclusivement) , on a ( ** )
cosrc — T-cos3.r4- — cos oa: — • • =— ;
(*) M. Lobatto, Professeur d'Analyse à l'Université de Delft, et auteur d'un grand nombre de travaux intéressants , est mort l'année dernière. (**) Traité élémentaire..., , p. 106.
— ?,n — donc, 29 élanl compris entre les mêmes limites, on a aussi
En résumé, les formules (l), (^2) doivenl être remplacées par celles-ci :
si!i*ç) 5-sin*39 + — sin'oç— • • • =0, (!')
cos* (p — — cos' 3 0/ + — cos' 5 cp — . . . ^ - -^ ,.2'i
auxquelles un doit joindre la double inégalité
Si l'on supposait
on trouverait
relations fausses et contradictoires.
VII. Nous terminerons par deux remarques importantes , déjà publiées (*) :
î" Une série dans laquelle la somme d'un nombre indéfiniment grand de termes consécutifs a pour limite zéro, peut être divercienie.
{') Traité élé,nentaii'e des Séries, p. C et 29.
Soit par exemple, la série divergente
Prenons n termes à partir du n '"' : la somme 1 1
est inférieure à •— ; donc
in
lim (S, — S ) = 0.
2° Une série à termes alternativement positifs et négatifs , dans laquelle le terme général a pour limite zéro , peut être divergente.
La série
satisfait aux deux conditions énoncées. Mais, si on l'écrit ainsi
\V/2— 1 l/2 + l) \i''3— 1 v'^J+i/ li/4— 1 l'î+ij'^'" on voit que
S., = 2 (1 + 1 + -,+ ..+ Al
\1 2 3 ni
donc la série est divergente.
LXIX. - DÉMONSTRATION d'L?sK l'ORML LE DE POISSON' (ll'vnil'.U 18G7).
Pour établir la relation
a -+- — • a p + ■ • ' + Lm.p ^- t
Poisson commence (*) par démontrer que le premier membre équivaut à
Ce lemme préliminaire, qui pourrait être vérifié directement , est inutile.
En effet*, de l'identité
on conclut
r"^ , . / f"~''''dt t r 'dt
(i+Zf)' / (1+0 / (1+0
(*) Recherches sur la probabilité des jugements , p. 189. Dans les équations(I) et suivantes , « + ^ = 1 , is + q = ?» .
("*) On a ainsi une relation simple entre deux intégrales définies très-complexes : chacune d'elles serait exprimée par un polynôme ou par une s^rie.
puis , en multipliant les deux membres par
rj l
Maintenant , si l'on change penp — i , p — 2 . . . 2 , l , 0, et que l'on ajoute membre à membre les p + i équations ainsi formées , on trouve
1 "•■p I t dt
et cette équation ne diffère pas , au fond , de l'équation ( 1 ).
Extrait d'une lettre de M. Honsel.
« après avoir posé l'équation (3) (*), je
dis : « le nomhre m , que nous avons supposé être premier , sera égal à «, ou bien sera premier avec «. »
Cette alternative est trop absolue : m peut être facteur , à la fois, dans a et dans B'.
Soient donc
D et D' étant premiers avec m. Il est facile de voir que D et D' ont les mêmes facteurs; car, d'après l'équation (3), a divise m B' = ?w^'-' D', et B' divise «"-' = ?»"'-'' D'"'.
L'équation (3) devient
a m D ■= ni D' h ^— ^ ■ m D D" -t- • • • ;
d'où
fl"'m"^'-'^-'''-'D"-' = D' +^^^^^m'^^^' ■' DD" + • • • (3')
Comme m est facteur dans tous les termes du second membre, excepté le premier, m ne doit pas diviser le premier membre ; donc
p. {n — ]) ^ u' + 1 , ou
D et D' ayant les mêmes facteurs premiers , supposons D - ri' ^' ■ ■ ■ , D' = (l^'d/> • • • ,
et divisons par D' les deu.r membres de l'égalité (3') : le premier terme du second membre sera l'unité , tous les autres
[') Voyez p. 43.
termes seront encore divisibles par D' ; donc ie premier membre ne pourra plus être divisible par D'. De là résulte (attendu que a^ est premier avec D'),
à' ={n— [)rj, 0/ = {n -1)0,, . .;
et , par conséquent,
L'égalité (3') devient
De plus ,
donc
m L'équation (1) devient, à cause de y — [ +- B ,
a étant divisible par m. Mais ridentification avec
2' = (1 + 2)* — 1 donnerait
ce qui est impossible »
