sinj/ 1 sin2y i sin3?/ 2 ~ cosy 2 cos'?/ 3 cos'y

Il est bien vrai que, quelques lignes plus bas, l'auteur ajoute : « Nous retrouverons la plupart d'entre elles {la pln- » part de ces séries) par d'autres procédés qui nous permet- » tront de décider dans quels cas elles sont applicables. » M. Bertrand s'est-il réservé le plaisir d'apprendre plus tard , à ses lecteurs , qu'il a voulu leur tendre un piège mathématique? Ce serait là une étrange espièglerie (***).

(*) Le Cours de Sturm a été publié, après la mort de l'auteur, par Prouhet, l'un de ses meilleurs élèves , dont la fin prématurée est bien regrettable. Il est donc possible que la faute signalée ne soit pas le fait du profond Géomètre qui sut toujours , dans ses démonstrations , allier la rigueur à la simplicité.

( ** ) Tome I , p. 304. — Ce volume , publié en 1864 , est le seul qui ait paru.

("*) Le grand Traité de M. Bertrand , beaucoup plus complet, beaucoup plus exact que celui de Lacroix , ne remplacera pas cette œuvre remarquable : il y manque (je parle du Traité nouveau) l'ordre et le style. Puis, contrairement à son respectable devancier, qui cherchait à rendre justice à tous, M. Bertrand ne cite presque personne , sauf ses amis, bien entendu. Croirait-on que, dans la Table des matières, M. Liouville est signalé, nnu[U6mcai , pour avoir inventé une dénomination î

V. Dans un Cours de Calcul différentiel et intégral (sic) , que fait paraître M. Serrât, ou lit :

« Réciproquement , la série

te,, u. , u,, u , , . . .

» est convergente lorsque la somme

» tend vers zéro, quel que soit p, quand n augmenle indcfininieni.

«En effet, désignons par t une quantité positive aussi » petite que l'on voudra, et par S la somme des n premiers

» termes de la série. Gomme la différence

» tend vers zéro, quel que soit p, par hypothèse, quand n ^) tend vers l'infini, on peut donner à n une valeur déterminée » assez grande pour que la différence dont il s'agit soit com- » prise, quel que soit/?, entre — s et + e. On aura donc

» Gela posé, le nombre n restant invariable, faisons tendre jy ' vers l'infini... »

On voit que le théorème de M. Serret est la proposition de Gauchy, accompagnée d'une démonstration très-peu claire : l'auteur en convient. On voit aussi, par les derniers mots cités, que, suivant M. Serret, le nombre p doit être supposé indéfiniment grand. Nous avons déjà démontré (§ II) que la proposition de Gauchy , entendue ainsi, équivaut à ce théorème inattaquable : Une série est convergente quand elle est convergente; mais, afin d'élucider entièrement une théorie sur laquelle tant de Géomètres se sont trompés, croyonsnous, nous allons, à propos du théorème de M. Serret, reprendre et compléter notre démonstration.

Soit

Si, laissant n constant, on fait croître j^ indétlniment, il peut arriver deux choses : ou Y {n, j?) tend vers une limite finie et déterminée X = F (», oo) = <p (n), ou le contraire a lieu. D'après l'énoncé de M. Serret , la seconde hypothèse doit être rejetée : car dire qiiune quantité infinie tend vers %éro quand on fait croître une variable n qui ni/ mtre pas, ou quune fonction de n , périodique, a pour limite iéro, c'est proférer deux non-sens. Reste donc le cas où P {71 , co ) = o [n) = l. Mais alors la somme des n + p premiers termes de la série tend vers S^ + 9 {n) lorsque , 71 restant invariable, 71 -{- p croît indéfiniment; ainsi, la série est convergente, et elle a pour somme la quantité constante

Ajouter, comme le fait M. Serret, la condition

lim. (p («) = 0 ,

c'est demander que, dans une série convergente , la différence entre la somme des n premiers termes et la limite de cette somme tende vers zéro ; c'est-à-dire , c'est demander que ce qui est, ait lieu. Le théorème de M. Serret se réduit donc, comme nous l'avons annoncé , à cette naïveté : Une série est convergente , quand elle est convergente.

(* ) Je dis que S^ -h y («) = constante. En effet , S , = S -+- w , ,

et

VI. Le Traité élémentaire des séries renferme à la page ilO, les relations