LUI. — QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES (MAI

I. a étant une variable dont le module est inférieur à l'unité, soit

1 -a' ^' — a* 3* — fl' 4* - W ou, ce qui est équivalent, / 1 1 \ 1/1 1 \ 1^ 1

Soient ensuite

2, + ai

;(fî)'2)

a; la; \ x

\—a 2 2 — a 3 3 — fl

1 + rt 2 2 + ft 3 3 + rt

d'où

dx et, par conséquent ,

^x-lliX +x)- (3).

On a d'ailleurs, par une formule connue (*),

donc

' 2rr \sin air '

(x"-fOl(l + a:)lË = -L[-.Î^I! l) (A).

X ft Ism ftTT '

li. Miiliiplions par ada les deux membres de l'cquation (A), et intégrons à partir de a := 0. A caiise de

]x[ I (l.rr^ I

et de

(*) Traité éîèrnentaire des Séries, p. 115.

nous aurons

/a[x\x' — x~'' ) — {x" -hx'" — y ] ^^ ^ dx , ^sV

1 ,, . (^-^ 1 ^St

III. Si, dans les relations générales (A), (B), on suppose a = -, on trouve, en changeant x en x' :

/ (l+ |jl(l+a;')^^ = ;r-2

L ^ 1 (1 + .1-^ dx=2\j (D).

(x 1 xY 4

IV. Ces mômes relations deviennent , si l'on y remplace a par a \/— 1 :

—, sin \-\x 1(1 + .t) —

Donc, en particulier,

'Jsin - — ixcos - 1 ^ . •' 4 -7-r, Sin - 1 I + :i')— = z;i — = =- ^•

V. Enfin, la combinaison des formules (D), (G) conduit aisément à celle-ci :

x'cos -^ Isin— -+-(1— ic) {x+l)lx+i—x

H{\+x')dx

{xlxY

n TT