LIV. — SUR UNE TRANSFORMATION DE SÉRIE (jUIN 186i

I. Dans un Mémoire sur les Séries des nombres aux jouissances harmoniques {1) , imprimé à Kasan , en 1832, M. Simonoff se propose la question suivante :

Connaissant

tp {x) = Ao + ka + A,a;' + • • . (1)

trouver

P= A, sina' + A, siu 2 a; + • • • (2)

Q = Ao -+- A, cos.r H- AjCOS '2 x -\- • • • (3).

L'emploi des exponentielles imaginaires le conduit aux formules :

2 J/— 1 Prenant 9 (^) = 1 (i + .t^) , ce qui lui donne

Q = ](2cosl.rj,

|/zrï 1 5/ 1 tg t a;

l'auteur arrive enfin aux relations connues :

z: X ~ smx — - sin2« -f- sin 3 a; — -7 sin i a; -f • • • (4) (*),

1 (2 cos- x\ - cosx — - cos 2a; + -cos3a;-- jcos io: + . . (5)(**).

(*) Celle-ci 0 été donnée pîir V our'iev {Tliéoric de la Chaleur, p. 238). (**) Rapportée dans mon Traité élémentaire des Séries.

11. De ce développement, M. Simoiiofï en veut déduire un autre, ordonné suivant les puissances de x ; mais la méthode qu'il emploie est inadmissible ( pour ne rien dire de plus) ; en effet , il s'énonce ainsi :

« La dernière série nous donnera

log cos -a; = — (1 — 2 + 3 — 4 + etc) 7— r-

/yil)

+ etc » (*).

II est facile de trouver, rigoureusement, la série demandée. En effet , de

2/ = 1 12 cos ^ a;j , (6)

on tire

Ay __!. 1

{*) Le Mémoire est plein de résultats de ce genre. Dans son préambule , l'auteur , après avoir dit que l'équation

a (apparence d'un paradoxe, ajoute « Tous les analystes cependant ne conviennent point de ce paradoxe ; « c'est-à-dire, probablement : Tous les anali/stcs n'admettent pas les Séries divergentes. Il ne faut pas oublier que M. Simonoff écrivait en 1832 : à cette époque, un célèbre Géomètre allemand (cité par M. Simonoff) cherchait les sommes des Séries

Or(*)

tga; = 4(4— l)A*a; — 4=(4^— l)A.y + 4M4'— UA.x'-- • • ,

et, par conséquent ,

y = C-(4-1)A,| + (4^-i) A,|^-(4^~l)A.|"+ . . . D'après l'équation (6), C = 1 2 ; donc

-l(cos^a;) = (4-l)A,|'-(4^-l)A.|+(4'-l)Aa|'- . • -(7),

pour des valeurs de x suffisumment petites.