Les équations (!25) et (26) peuvent être écrites ainsi

sin— sin- sin- sin —

= = = = - sin M sin >'. »

Donc, si le quadrilatère Q est donné, les angles du quadrilatère P sont connus (**).

Si Ton désigne par u l'aire de P, on a

2u = a(/sin A -«- 6csinC, (39)

2î/ = a6 sin B -+- cd sin D. (40)

Soient a', b', c', d' les dérivées de a, b, c, d, relatives à une variable indépendante t. La condition du maximum, appliquée à l'équation (59), donne

(ad' H- da') sin A h- (6c' h- cb'} sin C = 0. (41 )

(') Toujours supposé inscriptible à une circonférence. ■(**) Cette remarque préliminaire est importante.

( 186 ) Mais, par les équations (3), (4), (5)

o'sinNcos — = — 6'sinM cos - ,

osinMcos- = — c'smNcos— , 2 2

c'sin N cos - = — d'sm M cos — ; 2 2

pins

sinNcos —

sin M cos

cos — cos - 2 2

cos - cos — 9 '■2

sinNcos -

sin M cos —

Donc l'équation (41) devient, après quelques réductions,

sin —

sin -

— asinNcos — h t/sinMcos —

osinMcos- — c sin N cos — 2 2

L'équation (40) donnerait, semblabicment,

sin - — fisinJ 2L

. Dr c

sin— c sinNcos- 2L 2

M cos — HO sin N cos -

(/sin M cos

(;on)bina!il, par soustraction, (45) et (44), on a

— asin^ sin h osinM sin

— csinNsin -»- «sinMsin

Ainsi, le quadrilatère cherché est circonscriptible à une circonférence.