MN

si 11 —

'2 sinMsinN ce qui ne diffère pas de la formule 25).

On conclut, de ces deux expressions,

F Y sin(|3— ^/ — r) GY ~ sin(p -H a -f-y)

Ainsi, la droite ZX divise FG dans un rapport très simple.

Relations entre les (quadrilatères P, Q.

91. Soit co la circonférence, inconnue, circonscrite au (|ua-

Fig. 6.

drilatère Q circonscrit, lui-même, au quadrilatère P. Formons,

autour du centre co, les angles A, B, C, U. Si le rayon p a été pris convenablement, le quadrilatère MNPQ sera celui que l'on cherchait.

En effet, d'après cette construction,

A = !2NMP, B = 2QMP; donc

A -+- B = 2NMQ = 2M ;

etc.

Cela

posé,

on a

2psm-.

Va comme

trt

sin

2 sin M sin N '

nous avons ce résultat simple :

4 CCS sin

*8. Si S désigne l'aire du quadrilatère Q, il est visible que

S = ^p*["sinA -f- sinB -+- sinC — sin (A -+- B -t- C)].

Mais, d'après la formule citée plusieurs fois, la quantité entre parenthèses égale

A-hB B-+-C C-hA

4sin sin sin (*).

. A -+- c (*) D'après l'inspection de la figure b, — 5— est l'un des deux an^'les

formés par les diagonales MP, NQ; savoir, celui qui a pour niosurt' arcMN -+- arcPQ

( '85 ) Doue, à cause de la relaliou (37) :

SUl

sin sin

Ainsi, le rayon el l'aire du quadrilatère Q dépetidenf, fort simplement, des éléments du quadrilatère P.

Problème. — Parmi tons les quadrilatères P, de périmètre minimum, inscrits à un quadrilatère Q (*), quel est le plus grand en surface?