Expression d'un cosinus. — Soient, dans la flgure

MON = a, QOP = r.

II est visible que

cos 1^ = -^^ [V/(4R«-a^)(4R-^-r) - ac J :

(*) Ce thcorème ne dilVère pas de la pioj)riélé dciuoiitiée dans la i\o(c CCII (première RemarqunK L'énonce doit être rectifie ainsi : Chacune de ces quatre distances est une quatrième proporfinnnetle au diamètn du cercle circonscrit et aux diatfonaks du quadrilatère.

on, nvec les noiii lions cin paragraphe (*o) :

«-+-•>' AC — acA cos — -- — = . ( T-2)

valeur rationnelle.

Nons avons tronvé :

A= a"'— (//-' -+- r -4- rf •) a — 5>6crf, — C = r=— (a*-+- /r-4- r/*) r — '2al)d.

De pins, eomine on peut le vérifier,

A = —2 «* -t- -^2 "*^' "^ 8a6crf. (75)

De là résultent ces deux formules :

AC — «f A = 2(6* -+- rf- — r^' — c%ab h- c(/)(ari -f- 6c), (74)

a -*- Y 1 6* -»- rf* — a* — c*

cos = - : (75)

puis celle-ci :

A -+- (] 1 n' ■+■ q- — itv — ir

cos = '- '—■ (7G)

2 '■l mp -¥- nq

aî. Remarques. — I. On a vu (»3, note), que -^- est l'angle des diagonales x , y.

Donc, par analogie avec les formules (68), (69) :

sm = (77)

2 2 (m/) -+- pq)

Celle expression, boaupoup plus simple que celle qui a été donnée ci-dessus (52), s'accorde avec la formule (76). Il en résulte, en effet, Videntifé

àt(tnp -+- iiqY r= (n- -h q- — nv — />-)'

{—ni'i-n-*-p-^q){m — n-*-p-*-q)[m-hii—p-^q){in-hn-hp — q). j

II. Si a^ -f- c^ =r 62 4 (fi^ igg angles a, y sont sup])lèmentaires :

cette condition est nécessaire et suffisante (*). Quand il en est

ainsi,

...^ («^ -^ cd)[ad -+- 6c)

ac -H 6a '

(*) Au moyen du raisonnement dont nous avons fait usage dans la Note CCLXV, on rend la propositimi évidente, sans calcul.

CCM^ILVII. — Lettre à M. Ilattaglini f).

Monsieur le Rédacteur,

J'ai reçu, il y a quelques jours, par l'entremise de mon Collègue Ma-nsion, la dernière livraison du Giornale di Matrmatiche. A la page 153, on lit ceci :

« La série a termini positivi

» è convergente, se tutti i suoi teymini decrescono col crescere 1) di n, c se è inoltre, per n = oo , lirn nu„ = 0.. ».

Autrement dit (si je comprends bien) :

« La série à termes positifs

» M, -+- Mj -+-••• -+- «„ -+- •••

» est convergente, si tous les termes décroissent quand n croit, » et si, en outre, pour n = oc , Uni nu„ = 0 ».

Cette proposition, émise, il y a soixante ans, par L. Olivier {Journal de Crelle, t. Il, p. 54), est fausse, ainsi que l'a montré l'illustre Abel (**). Comme son devancier, votre Collaborateur pense que : la série est convergente, si la somme

tend vers zéro, quand n augmente. Or, cette hypothèse n'est pas admissible; car la série (***)

24^2 3.(-'3 (/iH-l)4^(«-f-l) (2n-f-l)y(2»-4-i)

(*) Publiée dans le Giornale di Matcmutichc (septembre 1887).

(■*) OEuvres iV Abcl, publiées par M. Hoimboc ( l" éililioii. l. I, p. { 1 1).

(***) Consiilcréc par Abel.

( 1'J7 ) est divergente, cl cependant

ri 1 "I

Lini h ••• H = 0.

Agréez, etc.

Liège, ^3 septembre 1887.

CCE.XXYIII. — Lettre à M. Hermlte.

Mon cher Monsieur Hermite,

En lisant, l'autre jour, le commencement de votre intéressante Note Sur les valeurs asymptotiques, je me disais : « Il me » semble que j'ai fait des recherches analogues à celles-ci » . Comme vous allez en juger, je ne me trompais pas.

Hier, j'ai été à Liège; et, dans un vieux cahier, à la date du 11 avril 1870, j'ai trouvé ce qui suit :

« D'après une citation de l'auteur (*), Clausen a donné la • formule :

'^^ ï — x" ^^ \ — x" ■ La vérification est facile.

» Le second membre égale

2 a:<-'' [1 H- tJx" -H 2x*" -+- 2x''" -4- •••]

ma ^ -^ ^

,t-t-pn

C) Curtze.

(**) Je crois que la fortiiule de Clausen est, également, dans les Fundamenta.

» Soit Ap, le coefïipient de x^, et soii N = n-' -+- pn. On voit

» que Af, = 2 fois le nombre des solutions de l'équation précé-

« dente, augmenté de 1 si N est un carré. Mais cette équation

» est I\ = n(n + p) : /e nombre des solutions est celui des divi-

» seiirs de N; ce qui fait retomber sur le point de départ. La

» formule de Clausen (formule bien remarquable) est donc

» démontrée '» .

En lisant ce que je viens de souligner, on serait tenlé de croire que j'ai voulu vous copier. Heureusement, les dates sont là!

Parmi les centaines de résultats contenus dans mes Recherches sur quelques produits indéfinis, permettez-moi de vous rappeler ceux-ci :

Si l'on fait n = di (i, impair), le nombre des solutions de

l'équation

tf -t- i\ -i- ••• -+- Il = 8//,

est égal à la somme des cubes des diviseurs d, etc.