î<î/t'. — Dans la formule

mnpq

'2ç[tiV 4p^ — 7" -+- qV 4p- — n^\

substituons les valeurs précédentes, en supposant, comme nous venons de le faire,

Ai = {—ni-+-n-*-p-^q){m — ii-hp-i-q]()n + n — i)-i-q)hn-*-ii-hp-hq). (62)

Un calcul facile donne

mnpqV Aj

4p(»i;j -+- pq){mq + 7ip) Et comme

il vient, finalement,

mnpq/\i

i-{mn -+- pq){mq ■+- )ip)\/ N»

33. Remarque. — On a, entre le layon r du cercle inscrit ;iu polygone P, et le rayon p du cercle circonscrit au polygone Q, celle relation assez simple :

4(j/JJi -t- ])q){inq -+- >ip)

Quelques réductiotis.

SA. Valeur de I. — Afin de simplifier les relations (53j et suivantes, nous allons exprimer le périmètre du quadrilatère P, en fonction des éléments du quadrilatère inseriptible Q.

Supposons a = 0. Alors P se réduit au triangle MCD, La construction indiquée (*) donne

MM'=2msinN, MM"=:27sinN,

ânî''* = mm"'* h- MM"* ■+- 2MM . MM ces P;

/- = 4sin*N(»r -»- 9' — ImqcosM).

Soient MP = a:, NQ = y : nous avons

[mp -+- nq)[mq -h wp) ^ (nip -4- nq)(mn -t- pq)

mn ■+- pq ' "iq ■+■ np

(') Problèmes et Théorèmes, p. 21.

D'autre part, la considération du quadrilatère MNPQ donne ces valeurs connues :

cosM = -— -^ -'^ , (67)

^{mq ■+• np)

sinM=^= '—. (08)

'2p 'iimq -*- np)

sin N = £ = ' '^- ■ (69)

2p 2(m« -+- pg)

Par un calcul facile, on trouve ensuite, au lieu de la relation (Go) :

mp -H nq [mq -+- np){mn -+- pq)

mp -H nq ,__..