III. — Sur une formule (CJusenslein (mai
Celle formule, qui donne une transformalion de la série de Lambert, est
•[ri
(■1 -z){ I -z')[ I -z') ( I -z)(l - z'){ 1 -z')(1 -z*) E = (l — z)(l — x^)(l — c^)(|~z*)...= l — z — z^'-t-z^-Hz' — z'-^ —
On peut écrire autrement le second membre. En général,
^HT^r^ïiTri.) = |/(^'/')-^ («)
F(n, /?) est le nombre des décompositions de n, en parties égales ou inégales, non supérieures à p {Recherches..., p. 47). Donc
Soit
Pip -I- 1)
ou
Alors
é</fl/e le nombre de manières de partager i\ en p parties inégales
(*) Journal de Crellc, t. XXVII.
(**) Introduction à l'Analyse, p. 2i5; Rechercltex..., p. 54.
( 200 ) Ainsi, le coefficient de z^ est
Soit maintenant G(N) le nombre des diviseurs de N. Il est visible que, dans le premier membre de (A), le coefficient
de z^ est
G(N) — G(N — 1)— G(N — 2)-+-G(N — 5)-hG(IV — 7) — G(N— 12)
On a donc cette relation entre deux fonctions numériques, bien différentes :
(N,1) — ii(N, 2) -f- 3(N, 3) drN(N,Ni
= G(iN)-G(N — 1)— G(N — 2)-+-G(N — D)-+-G(N — 7)— .
Application. — Soit i\ = 19. On doit trouver
ou (**)
ce qui est exact.
Si j'avais sous les yeux les Mémoires de Liouville, je pourrais, peut-être, tirer quelques conséquences de celte égalité (B). En attendant, si ^N) représente chacun des deux membres, on a (sauf erreur de calculs) :
o(2) =1, a(3) ==—1, a(4) =-i, a(5) =-3, aify) =0, o(7) =-—1, ,:r(8) =1, n.(9) =2, a(10)=l, a(ll) = 2,
Ces coefficients semblent osciller entre deux valeurs extrêmes. Qu'en pensez- vous?
(') Esl-ellc connue?
('*) liecherches..., Tal)le I. .
D'après votre obligeante indication, j'ai consulté le Mémoire de Liouville (Journal de Mathématiques, L V, \>. 445). Notre illustre Maître dit :
, d*z . dz
a {X - X') — -+-(1 — 5X') - XZ = 0,
dx dx
» ou plutôt l'équation plus simple
dx* i{x — x')
» que l'on en déduit en posant
Rien de plus. Il ne fait pas observer que, si l'on prend
\=Vx j 'rf(pl/l — X*
on a
Somme toute, mon équation
est un peu plus simple que l'équation (5); et l'on en peut écrire, tout de suite, l'intégrale générale.
Aussitôt après vous avoir envoyé ma vieille formule
1 -4- .r"*+* -+-1^1-+- x*"^' j'ai reconnu (ce qui n'était pas difficile) qu'on peut la généraliser
ainsi
Soit y une fonction impaire de x, telle que la quantité
!J reste finie, quand \ varie entre — a et -+- a. Cela pose
dx
1 ■+- y -t- \\ ■+■ if
\ oilà donc une infinité d'intégrales ayant même valeur. Je n'ai pas besoin d'ajouter que la proposition est presque évidente. A-l-elle été remarquée?
Je vous souhaite, mon cher Monsieur Hermite, la quiétude ei la bonne santé dont jouit, à Spa,
Votre bien dévoué très Ancien, E. C.
S|.a, 27-2S juin t886.
CCIiXXllk. — <'lrconfércnccM focalcK (*j.
(Janvier 1878.)
I, Quand on identifie l'équation
«'(/^ H- tV — a'/^* (1)
avec
{x — a)- -t- (y — pf = {mij -+- nx -+- /)-,
on trouve, comme expressions des rayons vecteurs :
puis les équations des deux directrices :
Semblablement, l'équation (1), mise sous la l'orme
{x — a)- -+-(]/— ^)* — R''' = ti'iij -+- nx -+- If. donne, non seulement l'équation des circonférences focales :
{x-a)^-^t/=b'-l^\-Çj n; (2)
mais encore les équations
de deux séries de droites, que Ton peut appeler droites radicales. Chacune de ces droites eslla corde de contact (réelle ou imaginaire) commune à l'ellipse donnée et à une circonférence focale (***).
(*) A propos d'une Note de M. Doset (Blll. de l'Académie, juin 1887).
(**) Loc. cit.
r**) En effet, l'élimination de y', entre les équations (I), (2), conduit à
De plus, la dislance d'un point M, de la courbe, à la droite radicale, et la longueur de la tangente correspondante MT, sont dans un rapport constant (*).
II. L'équation générale des courbes algébriques, susceptibles d'admettre des circonférences focales est, évidemment,
P, Q étant des polynômes entiers (**). Par suite, si une courbe donnée admet de telles circonférences, son équation devra pouvoir être identifiée avec la relation (3).
ÏII. Application. — Soit la conchoïde représentée par
Si Ton met cette équation sous la forme
on voit que l'on peut prendre :
Donc la conchoïde a un foyer, comme l'a trouvé M. Boset.
IV. L'équation (3) permet de généraliser les propriétés des circonférences focales et des droites radicales, relatives aux coniques. En effet, M étant le premier membre de cette équation, soient S la courbe donnée, et L la ligne représentée par
(*) Ce rapport égale celui qui existe entre les distances de M à la directrice et au foyer correspondant.
(**) Ces polynômes peuvent contenir a, 3, R. Par exemple, dans le cas de l'ellipse, l'équation (ô) est
(Bulletin, juin 1877.)
Léqualioii (5) esl une conséquence de celle-ci ei de
M=0. {li)
Donc : l'intersection de chaque circonférence focale, avec la lir/ne radicale correspondante, appartient à la courbe donnée.
CC1j1LX.1L. — ^iur les nonibrcM parfaite*.
(Lettre à M. Mansion.)
Hier, seulement, j'ai pu prendre connaissance de rintéressanle Note de M. Sylvester, relative aux Nombres parfaits (*), itnpairs. Il me semble qu'elle peut être abrégée et simplifiée.
Soit
a, b, c, ... étant premiers, impairs, et rangés par ordre de grandeur croissante. Si N esl parfait, on doit avoir
ou
al / ^ 2 ^ '
Soit P(/) le premier membre de la seconde inégalité. La Théorie des Nombi^es, de Legendre, contient une Table des valeurs de P(/), prolongée jusqu'à / = 1229 (***). Soit Q(n) le produit de n facteurs, choisis parmi
{') Mathesis^ mars iSSS.
(**) La relation (1), bien conaue, a été employée par MM. Servais et Sylvester.
(***) Le produit P(/) a pour limite zéro. (Voir, par exemple, les Exercicca d'Analyse numérique, de Le Besgue, p. 158.)
11 esl visible que :
1" Le minimum de Q(1) est
^" Le minimum de Q(2) est
PC') = 7— = - • 7 = Tïï '
etc.
En effet, nous avons
abc
Cela posé :
1° Si N esl composé d'un seul facteur jyremier {*), la condition (2) se réduit à
Celle-ci n'est pas remplie; donc aucun notubre parfait n'est composé d'un seul facteur premier;
2" Si IN est composé de deux fadeurs, le minimum de Q(2) est
donc aucun notnhre parfait n'est composé de deux facteurs
premiers;
etc.
Pour arriver à un résultat plus curieux, admettons ce Lemme, dû à M. Sylvcster :
Aucun nombre parfait, impair, n'est divisible par 105. Alors,
(') On fait abslraclioii îles exposants.
ou
c'est-à-dire
ou encore
D'après la Table, celte condilion est remplie à pariirde /= 1"27.
Eli conséquence (et c'est par là que je termine, faute de temps) : Si ttn nombre N, premier avec 105, est parfait, il est composé d'au moins vingt-six facteurs premiers, inégaux.
4 mars 1S88.
P. S. Le logarithme du produit
est compris entre 44 et 45. Donc le plus petit Nombre parfait, impair (s'il existe), contient quarante-cinq chiffres.
CCIiXXXI. — Lettre à M. Arthur Cayley.
Monsieur,
Un hasard heureux (je me trouve à Paris en ce moment) me permet de lire l'intéressante ÎNote que vous venez de fnire paraître dans les t. R. (5 avril 1888). Je vous remercie, vivement, de votre appréciation de mon vieux théorème. La démonstration contenue dans le Journal de Liouiille (t. VII), si elle est exacte, est beaucoup trop longue. .Mais, vous le savez : les choses simples arrivent toujours tard. Aussi, c'est seulement vers 1866, que, laissant de côté mes anciens calculs, j'ai trouvé une démonstration géométrique, contenue en quelques lignes. Cette démon-
siration qui, me semble-l-il, diffère peu de la vôtre, a été imprimée dans mes Mélanges mathématiques (1" édition), puis dans la seconde édition du même ouvrage (t. I, p. 62).
Agréez, Monsieur, l'expression de mes meilleurs sentiments.
Paris, 10 avril 1888.
Vous rappelez-vous que je vous ai fait une petite visite en 18^1 ? Nous étions jeunes, alors!
CC'IiXXXII. — Sur la courbure des lijçnes.
{Mars 1876.)
1, Proulème. — Trouver la relation qui existe entre les courbures des trois projections orthogonales dune ligne L.
Soient MA, MB les projections de L, sur les plans cMj/, zMx, perpendiculaires entre eux (*).
Soit, dans le plan zMx,
l'équation de MB.
De même, dans le plan zMy, soit
l'équation de MA.
L'ensemble de ces équations représente L, dont la projection, sur le plan xM/y, est représentée, elle-même, par
Si l'on prend x comme variable indépendante, on tire, de celte équation (5) :
r/x (p' ' dx- (p'^
(*) I>e U'cteur est prie de faire la figure.
Par conséquent, A, B, C désignant les rayons de courbure des trois projections :
Si a, h, r sont les cosinus directifs de la tangente à L :
donc, a, [3, y étant les angles correspondants :
sin^'a sin'S
9"C0s'Yi' /""cOS'a '
sin^vcGsr
^= T— r- TT — — ( )•
ces a ces p(/ COS"a- (f COS'IS)
Eliminant /", cp", on trouve cette relation entre les courbures des trois projections :
cosÊsin^S cosasin^a cosrsin^r
