Relation entre quatre courbures. — La formule connue
devient d'abord, à cause de
/' dij = —tix, dz^f'dx, f/*x = 0, etc. :
rYfi^dx
'dW (d--zY (dy d'z dz d'y
p- (/■'* -t- 9'' -4- /■'"'(p"*f L WxV \(/a"/ \dx dx' dx dx'
(*) On peut abréger ce calcul, mais en le nndant moins clair.
( 210 ) puis
■i^.r- L(/"^" - ^V")' -+- f"\'' -^ iT\- (8)
Or:
Doue
ou
\ sin'^a sin^|5 sin^x
III. Remarque. — Si '/ = ?; les relations (A), (B) deviennent : sin*a sin^p d sin®a sin^p
On conclut, de celles-ci :
Ainsi : le rayon de courbure, d'une ligne (juekonque, est égal à la somme des rayons de courbure des projections de cette ligne sur deux plans parallèles au pronier rayon, et perpendiculaires entre eux (*).
(*) Charles I)ipi\, Développements de Géométrie, p. 88
CCI^X:«LXI1I. — ThéorcniCM d'Aritlimctl«iuc.
{Mai 1887.)
I. Le triple de la somme de quatre carrés est toujours la somme de quatre carrés.
(le ihéorùme résulte, immédialemeiit.. de ridentité
5(a* -+- (r -+- r' -+- d') = {a -t- b — cf -^- {a -*- d — bf ) H- (« -t- c — df H- [b -t- c -t- (//. )
On peut supposer que les nombres a, b, c, d soient rangés par ordre de grandeur décroissante. Cela étant, on a
Donc, dans le second membre de Tidentité, aucun terme n'est nul.
II. Le quintuple de la somme de quatre carrés est toujours la somme de quatre cannés.
On a, identiquement,
g(<,*-+-/;^^c-+rf^)=(2a-t-6)--H(« — 26)--+-(2c-4- rff -+- (c — 2^/)-. (2) Et comme on peut supposer
a^ b ~^ c '^ d^ aucun des binônées n'est nul.
III. Le produit de la somme de quatre carrés, par la somme de deux carrés inégaux, est toujours la somme de quatre carrés.
Dans ridentité connue
(«' ^ 6^ -+- (•' -*- <nir- + r) = (/« + 9^f + iga - fhf i
H (/c + gdf + (gc - {d)\ S ^''
je suppose
« < ^, c <^ à, g <[• Aucun des binômes n'est nul; etc.
IV. Corollaire. — Si p est un nombre premier, ayant la farine 4a 4- 1, /e produit d'une soynme de quatre carrés, par p, est toujours }a somme de quatre carrés.
Addition. — (Mai 1888.)
V. Le produit d'une somme de quatre carrés, par un nombre impair, est la somme de quatre carrés (*).
VI. Tout nombre 8n -i- 4 est la somme de quatre carrés impairs, dont deux, au moins, sont égaux (**).
(*) Théorème empirique.
{") La première partie est connue (Recherc/ies sur quelques produi(s indéfinis, p. 99). Quant à la seconde, clje semble résulter des décompositions suivantes :
4= 1 -+- 1 -+-1 -f- 1, -28 = -2ri -+- 1 -+- 1 -+- I , ri-i = 2.") -t- 2o -4- 1 -+- I , 70 = 4!» -t- 25 -+- 1 -f- 1 , (111 = SI -+- <l-t-9-H I,
1-2= It-f- 1 H- 5(5 = -25-+- !•-+- GO = 25 H- 2i-Hl 84 = 81 -+- 1-4- 1(18 = 81 -+--25-+-
-4-1, 20= 9 -H il -4- I -4-1,
-4-1, il2 =81 -4-9-+- 1 -4- 1,
( iii^ )
CCI.ILXXIV. — Huv le» lisucM jS!;éodéNi«|ucM des surfaces de rév«»lutioii (').
(Mars 1887.)
Remarques sur la Note.
t. Le curieux théorème de iM. Jamet résulte de réqualion u^da=k(ls (**), (!)
laquelle résulte, elle-même, d'une combinaison convenable des
relations
ds du
— = consl, jr -— = consl. ("2)
dt dt ^ '
La première exprime que loule ligne géodésique est la trajectoire d'un point matériel animé d'une vitesse constante (***).
2. D'après la seconde des équations (2) : Soit une ligne géodésique, tracée sur une surface de révolution. Si l'un projette cette ligne sur un plan perpendiculaire à l'axe, le principe des aires a lieu pour la projection; ou, ce qui est équivalent :
Soit une surface S, dont toutes les 7iormales rencontrent une droite fixe, D; et soit C une ligne géodésique de S. Si l'on
(*) Bulletin de l'Académie de Dehjiquc (1887). A l'occasion d'une Note de M. Jamet {Bull., avril 1887).
('*) Je modifie un peu la notation adoptée par l'honorable Auteur. ('*') Propriété bien connue. Dans son premier Mémoire sur les lignes géodésiques, Liouviilc s'énonçait ainsi : « Je prends pourpoint de départ » ce théorème connu (ou, si l'on veut, cette définition), que la ligne géo- « désique pour une surface est celle que décrirait, à la suite d'une impul- » sion quelconque, un mobile assujetti u demeurer sur la surface et dont « le mouvement ne serait altéré par aucune force accélératrice. » [Journal de Mathématiques^ t. IX, p. iOl.)
projette C sur un plan perpendiculaire à D, le principe des aires
a lieu pour la projection de C .
En effet, la condition
V 'I déduite des équations
prouve que S est une surface de révolution (*).
3. Naturellement, M. Jamet a formé les équations (2) en Si\)\)\\(\ui\nl\e principe des forces vives et la théorie des moments (**). Cette méthode, employée par Liouville (***), est ingénieuse et simple; mais elle a un défaut : elle introduit des éléments étrangers à la question. Or, il est très facile de former, directement, l'égalité (1).
