I. Pronière méthode. — L'équatiori doiince étaul

IVh = "P. -^ '•«-., (1)

soii y la fonction générative de P„, de manière que

y -= Pu -t- Pix -4- P,x' -f- •■ -I- P,x' -4- •••; (2)

puis, par un calcul facile,

dy /, M Po P,

L'intégrale de celte équation linéaire est

-(.+ ') /•x+* /Po P,\

Malheureusement, la quantité placée sous le signe /n'est pas intégrable par les procédés connus ; on ne peut pas même développer, en série, la fonction e

II. Seconde méthode (**). — En l'appliquant, on trouve qu'on satisfait à l'équation (1) par

la vérification est facile (***).

(') Extraite d'un Traite inédit.

(**) Due à Laplace {Théorie des Prohabilités),

(•*•) En effet,

IV=-|P„4-I -P„-l]

III. Remarque. — Si l'on suppose P, = 0, P^ = \, la formule (1) donne, successivement :

Ces nombres sont les dénominateurs des réduites de la fraction

continue

étudiée par Amoretti (*). Ce jeune Géomètre (**) considère la

série