VI. Séries logarithmiques. — Pour abréger, représentons par

A„ -+- A,x H- AjX* -+- ••-,

la série contenue dans le premier membre de (C), et par

B, -H B,(l— x) -4-B,(l — X)' -4- ..• -f- Bp.,(l — x)" ',

le second membre.

Nous aurons

A,i -f- A,x -+- Ajx'' -+- Ajx' -H •••

= B„(1 — x)-'' -+- B,(l — x)-''+' H- ■.. -+- Bp,(l - x)-- -+-

puis, par intégration,

A„x -+- - A,x -\ — AjX" -4- ••• =

ou

il»

Voici donc une infiiiilé d'infinités (*) de développements du logarithme népérien de (1 — x).

VII. Application. — Soient n=\,p = % auquel cas : An = 2, A, = 3, Ai = 4, A, = 5, A,=^ (),...; B„=B,= 1. (') Les coefficients Aj, A,, ..., B^, B,, ... sont fonctions de u el de p.

( 253 ) La relation (D) se réiluit à

i> 3 4 îi

ce qui ne diiïère, qu'en apparence, de la formule connue (*).

CCXeviII. — i:x.traits «l'uuc lettre à .11. Uernitte.

(16 mai 1880.)

... Je suis prédestiné, semble-t-il, à découvrir des théorènnes connus. Sans la chercher, je viens de trouver une démonstration, simple, du beau théorème que vous avez donné dans le Journal de Borchart :

p étant un nombre premier, impair.

(Vous vous rappelez, peut-être, que je n'ai pas saisi votre démonstration ; mais peu importe).

Depuis que j'ai démontré le théorème de Staudt, je m'évertue à en tirer des conséquences : vous allez voir que votre théorème en est une.

Du temps que..., j'ai donné celte relation :

2C,,+,. , B, -4- 2^C2„+,. , B, -t- - -f- 2^'-C,„+,, , B,„, =-- n [Comptes rendus, t. LIV). Etait-elle nouvelle? Peu importe encore. Considérons, dans le premier membre, les Nombres de Ber-

(*) Le second membre égale

(1-2) a; -4- (l -^) x'-h (l -^] x^+ll-^] x* + ...,

noulli admettant la fraction - (Passez-moi celle loculion abrévialive). Ce sont :

Ces quantités admettent, comme coefficients respectifs :

*■ '-'2.1+1,;' 1' ■^ '-'2n+l,îp-2î ■^ '-'În+J, 3p-3î •••

Ainsi, dans le premier membre, la somme des fractions ayant p pour dénominateur est

r-)p-*r ^- ^^ip-ijf , 93(^-1)/-- . ..I —

- L- ^in+l^p-l ^ - '■'2n+l,2p-2^^ -^ '^2n+l,3p-3 -*^ ' J '

N élant un nombre entier.

Le second membre est entier. Or, les fractions -, —, —,,... ne peuvent se réduire entre elles; donc chacune est réductible à un nombre entier. Autrement dit :

2"-'C,„+,,,, + 2-'"-"C,„+,,p, -H 2^"'-''C,„+,,3p 3 + ... = JTl (p);

ou , en négligeant des multiples de p (d'après le ihéorèrae de Fermât) :

Cs-i+Lp-l ■+- C2„+i,2p-2-+- C,,,^ i,3p 3 -+-••• = 0]X (p)

Notez que c'est seulement après être arrivé à ce résultat, que j'ai songé à votre théorème! ...

CCXCIX. — Sur une applioalioii «lu tliéorènic (le Bayes, faite par l^aplacc (*).

(Août 1888.)

I. Dans son Mémoire, le jeune et savant Professeur à TKeoIe iMiliiaire (**), énonce ainsi le ihéorème, sans nommer Bayes :

Principe. — Si un événement pevt être produit par un nombre n de causes di/Jércntes, les prohabilités de ces causes prises de l'événement (sic) sont entre elles comme les probabilités de l'événement prises de ces causes, et la probabilité de l'existence de chacune d'elles est égale à la probabilité de l'événement prise de cette cause, divisée par la somme de toutes les probabilités de l'événement prises de chacune de ces causes.

Il en fait Tapplicalion au problème suivant :

Si une urne renferme une in/inite de billets blancs et noirs (sic) dans un rapport inconnu, et que l'on en tire p -»- q billets dont p soient blancs et q soient noirs ; on demande la probabilité qu'en tirant un nouveau billet de cette urne, il sera blanc.

Au moyen d'une méthode bien connue aujourd'hui, rillustre Auteur trouve que « la probabilité entière de tirer un billet blanc de l'urne » est

Ici, les réflexions et les questions se présentent en foule. Comment Laplace n'a-t-il pas été frappé de la simplicité de ce résultat? Comment ne s'est-il pas aperçu que son calcul, fort simple dans le cas d'une infinité de billets, deviendrait prolixe et

(*) 3Iémoires de l'Académie des Scioices — Savants étrangers, \~li. (*") En 1774, Laplace, qui avait vingt-cinq ans, signait : de la Place.

( 25fi )

fastidieux si l'on supposait le nombre des billets égal à dix mille, par exemple? Comment ne s'est-il pas demandé si la formule (1) ne subsisterait pas dans le cas d'un nombre quelconque de billets, supérieur k p -h q1 etc., etc. (*).

II. Quoi qu'il en soit, nous rappellerons, ici, la solution du problème général suivant :

Une urne A contenait, primitivement, s boules. On en a tiré, au hasard, m boules blanches, m' boules non blanches. Quelle est la probabilité iVextraire, de l'urne modifiée, une nouvelle boule blanche (**)?

Après la sortie des m-hm' boules, l'urne renferme s — m — m' boules, de diverses couleurs, qu proportion inconnue. Vévénenœnt attendu est la sortie d'une boule blancbe, de l'urne modifiée.

La probabilité P, de cet événement, ne sera pas altérée, si les causes dont il dépend subissent des modifications incontiues (***).

Nous pouvons donc mettre à part, sans les regarder, 1 boule, 2 boules, 3 boules, ..., et même {s — m— m' — 1) boules : P n'aura pas changé.

Mais alors l'urne A est remplacée par une urne auxiliaire ou fictive B, contenant, primitivement, niH-m'-i-l boules, et d'oii il est sorti m boules blanches, m' boules non blanches.

(*) On pourrait faire, aussi, beaucoup de remarques sur la rédaclion. Le futur admirable écrivain s'énonce ainsi : « la probabililc de tirer un billet blanc de l'urne en vertu du rapport x. » — a Si l'on intègre

,p:riyi,^^^j^yd.

comme si l'on intégrait une intégrale! Etc., etc.

('*) Problèmes et lliéorèmes de l'rohabilités; Mémoires de l'Académie de Belgique, 1884, p. 7.

{***) Journal de Liuuvillc, I. \\ (I8il), p. 78; L'n nouveau Principe de probabilités; etc.

( '^■'>7 ) On ne peut faire, sur la composition de B, que t/eî/x hypothèses:

m blanches,

m'-+- I uon liltiHclics;

m -4- 1 hluiirlics, vi' non blanches.

Les probabih'tés de ces hypothèses sont proportionnelles aux

nombres

(m -t- \)m ...2 m'{iii' — I)... 1; ou, plus simplement, prnporiionucllcs à m' -H I , m -\- \.

Ainsi, îô,, 7U.2 étant ces probabilités :

Cl = ; , Cïj = •

Mais, évidemment : la première hijpothèse est incompatible avec l'événement attendu; la seconde le rend nécessaire.

En conséquence, la probabilité cherchée, P, est égale à la probabilité ts-o de cette seconde hj/pothèse. Autrement dit :

m -H JH -+- 2 et ce résultat s'accorde avec la formule (J).

III. Remarque. — Si Ton a tiré, de l'urne A, m boules blanches, m' boules noires, m" boules rouges, etc.; les probabilités d'extraire, à un nouveau tirage, une boule blanche, ou une boule noire, ou une boule rouge, etc, sont :

m ■+- 1 jn'-4- I •

m -f- ni' -i- m" -i- ••• h- le in -\- m'-^ m' m' -4- 1

m -+- m -\- ni -t- •••-<- A; k étant le nombre des couleurs (*).

(*) Ce mot est pris dans son acception usuelle.

IV. Dans son Mémoire, Laplaco donne une dëmonslration du théorème de Jacques Bernoulli, absolumeiil inacceptable. Du reste, les diverses démonstrations de ce beau théorème, que je connais, pèchent toutes en quelque point : sauf, peut-être, celle que m'a communiquée, autrefois, M. Maniron, Lieutenant d'Artillerie. Malheureusement, elle n'a pas été imprimée.

P. S. Une discontinuité. — Soil une urne A, contenant b boules blanches et n boules noires. On les réparfit, sans les voir ni les toucher, entre k nrnes auxiliaires, B, C, D, ... H. Cela posé, la probabilité d'extraire une boule blanche, soit de B, soit de C, etc., égale ^^r-^, excepté si k surpasse b-t-n.

Spa, 50 aoùl li

Fin des Mélanges mathématiques.