KO

50 -4-3.7 G -4- 4.7 50 -4- 5.15 et tous ces résultats sont exacts.

m. Corollaire. — L'équation

[xrjz — ahcY = 0-, peut être écrite sous les six formes (A).

CCIiV. — CouséqncnccK dai Tliéorciue de Fermât.

{Septembre 1880.)

I. Soient p, q deux nombres premiers, impairs et inégaux. Si p ne divise pas q — \, on a, par le Théorème de Fermât :

Mais

Donc, dans régalilé (1), le premier meml)re est divisible par q. Et comme p, q sont premiers entre eux, eette égalité devient :

(7 — 1)"-'— I = Jll(pr/). (A)

De même, si q ne divise })as p — 1 :

(p-ir'-l =.7R(P7). (B)

Quand les deux conditions ont lieu simultanément :

iq-i)"-' -{p- ir' = Jr^ipq), [q

(7-1) * -^(p-1)^ 1(7-1) ^ (p i)^ J = j|i(pr/).

II. /) étant impair, a''"* — 1 est, algébriquement, divisible par o -4- 1 . Donc ce binôme est, arit/imeliquemenf. aussi, divisible par a + 1 . En conséquence :

p étant un nombre premier, q%ii ne divise ni a «é a -l- 1 :

aF-' — \ = J]l[p(a-4- 1)1. (E)

De même : p étant un nombre premier, qui ne divise ni a

o"-' — d=Jll[p(a-l)]. (F)

Enfin, si le nombre premier, p, ne divise ni a — 1, «î a, ni

aP-^ - \ = J(l\p[a' — \)\. (G)

Soient, par exemple,

On doit trouver

En effet,

(*) Ces trois conditions sont remplies si p surpasse a -t- \.

m. D'après (E) et (F) : si le nombre premier p ne divise pas, à la fois, q -h \ et (\ — 1 :

(,y ^. l)P-i(,/|)r-. = Jï^(p,^,,

ou

iq+V) » H-(7

-ir jL{9-^«i''''-(7-«)'^ J=^n.(pr/). (Hj

IV. Supposons q impair. Alors le premier membre est divisible par 2'' ', nombre premier avce ])q. Done :