AC".BA".CB" = BC".CA".AB

II. Remarque. — On peut dire que les poinis P, Q sonl associés. Cela posé : si P esl le centre de f/ravité, Q est le point de Lemoine ; si P est un point de Brocard, Q est l'autre point de Brocard; etc.

€€IiIII. — Problème de Probabilités (*). (Novembre 1884.)

I. Combien y a-t-il de nombres de n chiffres, composés, chacun, de p chiffres donnés? ou encore :

De combien de manières peut-on remplir n cases données, avec p lettres données, a, b, c, ..., f, g, chaque arrangement devant contenir les p lettres?

Soit 9(n, /)) ce nombre de manières. Considérons les arrangements composés de n — 1 lettres, et contenant, soit les p lettres données, soit seulement p — 1 de ces lettres.

1° A la droite de chacun des premiers, apportons, successivement, chacune des p lettres a, b, c, ...,/", g. Nous obtiendrons 7;(p(n — 1, /)) des arrangements demandés.

2" Parmi les arrangements composés de n — i lettres, il y en a (r,(n — \, p — 1) qui ne contiennent pas a, ç(n — \, p — 1) qui ne contiennent pas b; etc. A la droite de chacun, écrivons la lettre manquante : nous formerons pçp(n — \, p — 1) nouveaux arrangements, faisant partie de ceux que nous cherchions. L'équation du problème est donc

cp(n, p) = p[<p{n - \)p) -h (p(» I , ;, - I)] C). (1)

(*j Extrait d'un Traite, inédit.

(**) Dans mon cours à rUnivcrsilc, j'avais obtenu celte équation (1) au nioyon d'un raisonnement inexact; et, en conséquence, je la croyais /aus5c. M. Bcaupain, l'un de mes meilleurs élèves, me communiqua la démonstration précédcnlc.

II. Oii peut supposer (p(»î, 0) = 0. Uc plus, il esl visible que m(ji^ \^=\. Or, dans le Calcul des différences, on trouve la

formule

dont la vérilication esl facile, el qui a même forme que Téqualion (1). On satisfait donc à celle-ci en prenant

cp(n,;)) = A''(o"),

9(n,p) = p"-^(p-ir-^'^^^^^^/>-t>r-..-±^(l'^ (3)

m. Remarque. — La quantité ^(n, p) est le nombre des cas favorables, dans le problème suivant :

Quelle est la probabilité que les p numéros, contenus dans une urne, sortiront en n tirages (*)?

Le nombre des cas possibles est p". Kn effet, on peut remplacer les n tirages par un seul, effectué au moyen de n urnes (**).

CCLIT. — Quelques déconipoiiiiCious de l'unité

{Juin 1880.) L Théorème ("). — Si xyz = abc, on a :

b{a ah