VI

11. Déannposition de la série d'Eiilvr (*). — Si l'on v cliarii^c X en (r, elU' doviciii

I n^ ,y' -t- fy'" ^ ,y"

1" Pour la décomposer en deux facteurs, il sufïit de prendre V identité :

En ellet, d'après les formules (21), (Ô4-) : |^^7>^7.o^^". .=(i 7 7^.H7-H-7'o...., 2"9,(n)7". (A)

2" Pour la décomposer en trois facteurs, on peut d'abord observer que les formules (18), (75) donnent

3° Ce n'est pas tout. A cause de la relation (7), on a

(*) Voir p;igc 2;j5, formule (o).

( 256 ) puis, par le développemeni (79) :

= (I - 7 - </' + 7' + 7' - •■) 2 ?•(")'/" X 2 9('07'" D- ( m. Autres décompositions. — Reprenons la formule

cr - 7'

En la combinant avec celle-ci :

(l^-^,/*H,^.o^...,3(,^^^^^.^^*^...)2%,„„(-7)", (41-,) on obtient

puis, à cause de la formule (75) :

Ainsi : 1° de même que la série d'Euler est le produit d'une série par le carré d'une série, (B), son carré est le produit d^une série par le carré d'une série, (D).

(*) On a aussi et, par conséquent,

1 — q^ - ry« + ry'" -h ry'puis

a. = iz P X a.-S ;

(31 ai 1^80.)

( -^57 ) 2" L(i si-riv

I — tjr/ -4- f,(/* — f,:,</"' -^ ... isf un tarré (*).