V. Application. — Soit, comme ci-dessus, vi = 5, d'où

(*j Chaque progression ne doit pas renfermer plus d'une partie. ('*) Recherches..., p. H.

(•") Ibid., p. 89.

.\l)slr!iC'lioii faiU' îles zéros, les suliiiioiis de rt'(ju:ilion (2) sont :

\)r plus :

Donc

120 r..2 2.4 2.:i 2.Ô 4 o ce qui est exacl.

VI. I{eino7({Ue. — Le nombre des fractions composant '^(n) é(/ale 'l(n).

VII. (iénéraUsation d'une identité connue. — (h) a, quel que soit le nombre entier p :

Kn eiïet, si Ion multiplie par 1 — x, on trouve I = 1 ( *). De là résulte la propriété suivante :

Tout nombre entier est décomposable, d'une seule manière, en parties appartenant, respectivement, aux progressions

p, 2p, ôp, ... {p—\)p; ;r, 2/A 5/,^ ... {p-~\)p'; (•*)•

\'III. Exemple. — Soit /> = o : les progressions sont, si l'on

veut :

0, lu, lu, 20;

{*) .•\vons-nous besoin de dire que la série est supposée convergente? ('*) Chaque progression ne contient qu'une partie, au plus.

On peut donc former tous les nombres, non supérieurs à 100, avec un terme de la première, un terme de la deuxième et un Itrme de la troisième. En particulier, 67 = 2 -i- Ion- oO.

Addition — (Décembre 1882.)