I. La formule

■Ce — ^)=-^-*-^-+- ^+ •■•'

équivaut à

Développant chaque exponentielle, on trouve, comme terme général du produit,

T{a -t- i) 2T{6 + 1) 5T(c -+- I) Si donc

le coefficient oc", dans le second membre de l'égalité (1), sera

^r(« + 'l).6T(/>+l).5T(cH-l)... '

le signet s'étendant à toutes les solutions entières, non né(jatives, de l'équation (2). En conséquence, on a ce théorème d'Arithmétique :

La somme de toutes les fractions

2* . 3^ 4" ... r(« -+- i)r{l> -H 1 )T{c + I ) ... est 1.

II. Remarques. — 1° Le nombre de ces solutions est le coefficient de ç", dans le développement de

c'est-à-dire ^(n) (*).

(') Hechurches sur quelques produits indéfinis, p. ^l.

"2" Il y II uulunl de tnanirre.s di- ilevomposcr u eu parités entières, égales un inèfjales (*), f/»'/7 y en a de décomposer n en un )iiulliple de I, uuyiuenté d'un multiple de 2, (iiif/menfé d'im multiple de 3, »'tc.

Soil, pnr cxempli', n = 5. Les di'cuiiijfDsitioiis indiquées soiii

D'après la proposition énoncée, on doit trouver 1 I I I t I 1

420 2^ 2 2.6 2.5 4 5 6 C'est ce qui a lieu.

m. L'identité

^ 2' . 5' . 4"... Via -H 1 )r(6 h- 1 )r(c -i- I ) . . peut être écrite ainsi :

(*) Ce nombre est ■■{'{»■}■

Par conséquent :

Si un nombre n est décomposé, de toutes les manières possibles, en parties a, (3, y, ..., appartenant aux progressions

la somme des fractions ' égale l'imité (*).