II. Reprenons les ôjîîi

lU'S

(j 1 )!' ' = |»y,.r, = Y* =fc pZ' (*).

Il en résulte

4[(x — I)"-' -t- Vpx] = V ± pZ\ Y* 4(x — 1)"-' = ;>[4Pj- =f Z'J ,

ou encore :

[y -+- i2(x — I j' - J [y — ^lix—ï)'^ J = /)[4Px =p Z']. (0)

Tous les termes du second fadeur sont divisibles par p (**). Donc

divise 4Px q= Z .

III. Remarques. — 1° Si p = 4p. — 1, Y e.s7 divisible par X— 1 (***).

Donc, d'après l'égalité (o), 4Px — Z^ est divisible par (x — 1)^.

2' Si p = h-[). -+■ \ et que Ton suppose x = \, la même relation prend la forme

Mais /i = 0- H- 6^; donc B est une somme de deux carrés, divisible par p. De plus,

4 + e = . TTC (7>) (■').

(*) On sait que le signe supérieur correspond au cas de p=^i[i — 1.

(**) Propriété connue. Voir la T/iéoric des Nombres, de Logendre, t. II, p. 194.

('**) Propriété connue.

(") On peut consulter, relativement à cette question, le Mémoire sur certaines décompositions en carres.

ce — Sur un théorème de M. Delboeuf.

(Septembre 1886.)

i. Dans le dernier numéro de la Revue scientifique, le savant professeur à l'Université de Liège donne, sans démonstration, un théorème sur la divisibilité des nombres, que l'on peut énoncer ainsi :

Étant donné un nombre entier N, on le décompose en deux parties aa', bb' telles, que les facteurs a, b soient premiers entre eux, et que les facteurs a', b' soient, aussi, premiers entre eux.

D'autre part, x, x' étant deux nombres entiers, pris arbitrairetuent, on cherche quatre nombres entiers, A, A', B, B', satisfaisant aux conditions

Aa-+-B6 = Nx, A'o' -+- A'6' = Na;'.

Cela posé, on a

AA'-+- BB' = Jîl(N).

Des relations

aa'+66'=N, Aa + Bi = Nx,

on déduit :

puis,

A^a'x-^bd, B = b'x — aô; (1)

0 étant un entier quelconque, positif ou négatif.

De même,

A'=ax'-t-6'9', B'=6x'— a'â'. (2)

Par conséquent,

AA'-+- BB'=N(xx'-f- Qà'). (3)