I. Soit p «n nombre premier, supèrietir à 2. On forme la

quantité

réductible à Ppx, P désignant un polynôme entier, à coefficients entiers. Dans quel cas P est-il un carré (*) ?

Lorsque ;; = 3, on trouve P == 1 ; et, lorsque p = 7 :

P = .r* — 2x' -t- ôx- — 2x -t- 1 = (x^ — X -H 1)1

Soit, s'il est possible, P = Q2 une autre solution du problème, de manière que

^^-^ — (x-l/-* = /^xQ% (1)

Si, dans cette égalité (1), on fait a; = 2, le polynôme Q devient un nombre entier N, et l'on a

2'' — 2 = 2/?N^ ou

Or, cette équation (2) n'est vérifiée que par

(*) Cette question se rattaclie à la célèbre formule de Gauss :

XP— 1

sur laquelle nous reviendrons.

(•*) Mathesis, t. III, pp. H et 80.

= V^ ± pl\

Addition. — (Scplcmbre 188G.)