II. Remarque. — Des égalités (5), (4), on conclut

AC.MB = BA. MC + CB . MA ; propriété connue.

III. Distance du point M à la droite de Simson. — Soit MP cette distance (*). La circonférence, décrite sur MC comme diamètre, passe en A' et en B'. Donc, par le théorème déjà rappelé :

MA'. MB' MB'.MC MC. MA'

MP= = = (o)

MC MA MB ^ '

(*) Non marquée sur la figure.

Addition. — {Février 188(1.)

I\'. TiiKKRK.ME I. — On (Uinnc un (tnt/le BAC cl un jioint V. Par les points F, A, <ni fait /xisscr une circonférence V \\)K. Soit P ta projection de F sur lu corde DE déterminée par les côtés de l'angle. Soient, enfin, H, S les projections de F sur ces cotés. Le lien du point P est la droite RS.

Fil onVi, les points A, E, D, F appaiiiennenl à la circonfcrencc; ADE est lin trinniiio inscrit; etc.

V. Remarques. — 1° La droite de Simson, lieu du point P, est déterminée par le point F et l'angle BAC : elle est indépendante de la circonférence ADE.

2" Considérons la parabole ayant pour foyer F, et, pour tangente au sommet, la droite RS. La corde DE est perpendiculaire, en P, à la droite FP. Donc cette corde est tangente à la parabole. Autrement dit : quand la circonférence A F varie, la corde DE envelojype une parabole connue.

VI. Théorème II. — Soient donnés un angle xAy et un point F. Soient AFGH, AFDE deux circonférences quelconques, passant en A et en F, et dont les cordes GH, DE déterminent PQ, droite de Simson (*).

(*) Voir le théorème I.

Si l'on construit les parallélogrammes GADK, EAIIL, el que Von trace la droite KL :

1° Cette droite est perpendiculaire à PQ;

2° Elle contient le point de concours des cordes DE, GE (*).

VII. Remarque. — Vhexarjone GKDELH est décomposé en deux trapèzes GEDK, GELH, et en deux trapèzes HDKG, HDDL. Le théorème peut donc être énoncé ainsi :

Si un hexagone ABCDEF est décomposé, de,deiix manières, en deux trapèzes: 1" les côtés opposés AB, DE se rencontrent sur la diagonale CF; 2° cette diagonale est perpendiculaire à la droite de Simson déterminée par les circonférences circonscrites aux triangles AOB, DOE (**).

(*) Pour abréger, nous omettons la démonstration. Elle est fort simple si l'on prend, pour axes de coordonnées, les côtés de Tanglc xky.

{*'} Le 1» est un cas particulier du théorème démontré à la page 251.